 |
میدان مغناطیسی از یک هادی بی نهایت
معرفی
این مدل مقدماتی یک مدل ساده از مسئله مغناطیس استاتیک با سیمی با طول بی نهایت جریان را ایجاد می کند که معمولاً در کتاب های درسی یافت می شود. از آنجایی که یک راه حل تحلیلی برای این مشکل وجود دارد، می توان از مدل برای مقایسه نظریه با نتایج عددی شبیه سازی استفاده کرد. در این مثال، سیم هنوز شعاع محدودی دارد که راه حل های متفاوتی برای مناطق داخل و خارج سیم ارائه می دهد.
تعریف مدل
ابتدا راه حل تحلیلی این مشکل را در نظر بگیرید که می توان از آن برای مقایسه استفاده کرد. خارج از یک سیم بی نهایت با شعاع r i – یعنی برای r > r i – چگالی شار مغناطیسی B را برآورده می کند.
که در آن μ 0 نفوذپذیری خلاء است، I 0 جریان عبوری از سیم است و 
یک بردار واحد در جهت ازیموتال است. در داخل سیم، جایی که r < r i ، راه حل به جای آن خوانده می شود
یک بردار واحد در جهت ازیموتال است. در داخل سیم، جایی که r < r i ، راه حل به جای آن خوانده می شود
که در آن J 0 چگالی جریان در سیم است. برای مثال، این عبارات را می توان با استفاده از فرمول انتگرال قانون آمپر به دست آورد. از تقارن مسئله چنین استنباط می شود که میدان مغناطیسی صرفاً در جهت آزیموتال است و قدرت آن فقط به فاصله شعاعی از سیم بستگی دارد.
هندسه سیم بی نهایت به دو روش مختلف ایجاد می شود:
• | با استفاده از یک جزء دو بعدی، که در آن رابط میدان های مغناطیسی پتانسیل بردار مغناطیسی خارج از صفحه را حل می کند. سپس جزء 2 بعدی با مقطع سیم بی نهایت مطابقت دارد. |
• | با استفاده از مولفه متقارن محوری دو بعدی و حل پتانسیل بردار مغناطیسی درون صفحه، که با چرخش به سیم کامل تبدیل می شود. شرط مرزی عایق مغناطیسی، که محدودیت n × A = 0 را بر روی مرزهای افقی اعمال می کند، باعث می شود که این نیز معادل سیم بی نهایت باشد. |
وقتی صحبت از حل‌کننده‌های عددی به میان می‌آید، یک تفاوت عمده بین این دو مورد وجود دارد: حل فقط برای مؤلفه پتانسیل بردار مغناطیسی خارج از صفحه، با حذف درجه آزادی اضافی، به عنوان یک اصلاح سنج ذاتی برای مسئله عمل می‌کند. در مقابل، راه دوم شامل حل دو مؤلفه درون صفحه است که به این معنی است که مشکل اندازه‌گیری نشده است. به همین دلیل، نمی توان آن را با یک حل کننده مستقیم حل کرد، که برای همگرایی نیاز به یک راه حل منحصر به فرد دارد. یکی از راه‌های رسیدگی به این مشکل اضافه کردن ویژگی Gauge Fixing for A-Field به آن کامپوننت است. با این حال، به عنوان یک تمرین جالب، یک رویکرد متفاوت در اینجا نشان داده می‌شود، یعنی تغییر حل‌کننده مستقیم پیش‌فرض به یک حل‌کننده تکراری. حل‌کننده‌های تکراری می‌توانند حتی مشکلات اندازه‌گیری نشده را حل کنند، و یک راه‌حل از میان بسیاری از راه‌حل‌های ممکن را پیدا کنند.
نتایج
هنجار چگالی شار مغناطیسی در مولفه 2 بعدی در شکل 1 نشان داده شده است ، در حالی که هنجار چگالی شار مغناطیسی در مولفه متقارن محوری 2 بعدی در شکل 2 (مقطع تقارن) و شکل 3 (هندسه چرخشی) نشان داده شده است. در نهایت، شکل 4 نموداری از چگالی شار مغناطیسی را به عنوان تابعی از مختصات شعاعی برای دو راه حل عددی و همچنین برای حل تحلیلی مورد بحث در بالا نشان می دهد. در آنجا می توان دید که جواب های عددی متناظر با دو رویکرد مختلف چقدر با حل تحلیلی مطابقت دارند.
شکل 1: هنجار چگالی شار مغناطیسی در جزء 2 بعدی.
شکل 2: هنجار چگالی شار مغناطیسی در جزء متقارن محوری دوبعدی.
شکل 3: هنجار چگالی شار مغناطیسی در مولفه متقارن محوری دوبعدی، که در هندسه چرخشی کامل نشان داده شده است.
شکل 4: هنجار چگالی شار مغناطیسی به عنوان تابعی از مختصات شعاعی رسم شده است. در اینجا، راه حل های عددی از دو جزء مختلف به همراه حل تحلیلی نشان داده شده است.
مسیر کتابخانه برنامه: ACDC_Module/Introductory_Magnetostatics/magnetic_field_infinite_conductor
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard روی  2D کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، AC/DC>Electromagnetic Fields>Magnetic Fields (mf) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
ابتدا پارامترهایی را که در ساخت مدل مورد استفاده قرار می گیرند، تعریف کنید.
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
ری | 1[cm] | 0.01 متر | شعاع هادی |
ro | 10[cm] | 0.1 متر | شعاع حوزه محاسباتی |
I0 | 1[A] | 1 A | جریان رسانا |
J0 | I0/(pi*ri^2) | 3183.1 A/m² | چگالی جریان در هادی |
هندسه 1
یکی از راه های ساخت هندسه سیم بی نهایت استفاده از مولفه دو بعدی است. از آنجایی که رابط فیزیک میدان‌های مغناطیسی به طور پیش‌فرض فقط مولفه خارج از صفحه پتانسیل بردار مغناطیسی را حل می‌کند، این معادل داشتن سیمی با طول بی‌نهایت است، جایی که هندسه دو بعدی با مقطع مطابقت دارد.
دایره 1 (c1)
1 | در پنجره Model Builder ، گره Component 1 (comp1)>Geometry 1 را گسترش دهید . |
2 | روی Geometry 1 کلیک راست کرده و Circle را انتخاب کنید . |
3 | در پنجره تنظیمات دایره ، بخش اندازه و شکل را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متن Radius ، ro را تایپ کنید . |
5 | برای گسترش بخش لایه ها کلیک کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام لایه | ضخامت (متر) |
لایه 1 | ro-ri |
نقطه 1 (pt1)
در نوار ابزار هندسه ، روی نقطه کلیک کنید .
نقطه کلیک کنید .بخش خط 1 (ls1)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  More Primitives کلیک کنید و Line Segment را انتخاب کنید . |
2 | در شی pt1 ، فقط نقطه 1 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای Line Segment ، قسمت Endpoint را پیدا کنید . |
4 | زیربخش End vertex را پیدا کنید . برای انتخاب دکمه ضامن  فعال کردن انتخاب کلیک کنید . |
5 | در شیء c1 ، فقط نقطه 7 را انتخاب کنید. |
6 | در نوار ابزار Geometry ، روی  ساختن همه کلیک کنید . |
مواد
هوا
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Materials راست کلیک کرده و Blank Material را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مواد ، Air را در قسمت متن برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت محتوای مواد را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
نفوذپذیری نسبی | mur_eye ; murii = mur_iso، murij = 0 | 1 | 1 | پایه ای |
رسانایی الکتریکی | sigma_iso ; sigmaii = sigma_iso، sigmaij = 0 | 0 | S/m | پایه ای |
گذر نسبی | epsilonr_iso ; epsilonrii = epsilonr_iso، epsilonrij = 0 | 1 | 1 | پایه ای |
رهبر ارکستر
1 | روی Air کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مواد ، Conductor را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
3 | فقط دامنه 4 را انتخاب کنید. |
4 | قسمت محتوای مواد را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
رسانایی الکتریکی | sigma_iso ; sigmaii = sigma_iso، sigmaij = 0 | 1e6 | S/m | پایه ای |
تنها اصلاحی که باید برای فیزیک انجام شود، اضافه کردن چگالی جریان به سیم است.
میدان های مغناطیسی (MF)
چگالی جریان خارجی 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی قسمت Magnetic Fields (mf) کلیک راست کرده و External Current Density را انتخاب کنید . |
2 | فقط دامنه 4 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای چگالی جریان خارجی ، قسمت چگالی جریان خارجی را پیدا کنید . |
4 | بردار J e را به صورت مشخص کنید |
0 | ایکس |
0 | y |
J0 | z |
مطالعه 1
در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی محاسبه کلیک کنید .
روی محاسبه کلیک کنید .اکنون، مؤلفه دوم متقارن محوری دوبعدی را اضافه کنید که برای نشان دادن رویکرد متفاوتی برای مدلسازی همان مسئله استفاده می‌شود.
اضافه کردن کامپوننت
در پنجره Model Builder ، روی گره ریشه کلیک راست کرده و Add Component>2D Axismetric را انتخاب کنید .
هندسه 2
مستطیل 1 (r1)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  Rectangle کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Rectangle ، بخش Size and Shape را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Width ، ro را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن ارتفاع ، 2*ro را تایپ کنید . |
5 | برای گسترش بخش لایه ها کلیک کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام لایه | ضخامت (متر) |
لایه 1 | ری |
6 | تیک لایه های سمت چپ را انتخاب کنید . |
7 | تیک Layers on bottom را پاک کنید . |
8 | در نوار ابزار Geometry ، روی  ساختن همه کلیک کنید . |
فیزیک را اضافه کنید
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Physics کلیک کنید تا پنجره Add Physics باز شود . |
2 | به پنجره Add Physics بروید . |
3 | در درخت، AC/DC>Electromagnetic Fields>Magnetic Fields (mf) را انتخاب کنید . |
4 | روی Add to Component 2 در نوار ابزار پنجره کلیک کنید . |
مواد
هوا
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 2 (comp2) روی Materials راست کلیک کرده و Blank Material را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مواد ، Air را در قسمت متن برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت محتوای مواد را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
نفوذپذیری نسبی | mur_eye ; murii = mur_iso، murij = 0 | 1 | 1 | پایه ای |
رسانایی الکتریکی | sigma_iso ; sigmaii = sigma_iso، sigmaij = 0 | 0 | S/m | پایه ای |
گذر نسبی | epsilonr_iso ; epsilonrii = epsilonr_iso، epsilonrij = 0 | 1 | 1 | پایه ای |
رهبر ارکستر
1 | روی Air کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مواد ، Conductor را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
3 | فقط دامنه 1 را انتخاب کنید. |
4 | قسمت محتوای مواد را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
رسانایی الکتریکی | sigma_iso ; sigmaii = sigma_iso، sigmaij = 0 | 1e6 | S/m | پایه ای |
میدان های مغناطیسی 2 (MF2)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 2 (comp2) روی قسمت Magnetic Fields 2 (mf2) کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای میدان های مغناطیسی ، قسمت Components را پیدا کنید . |
3 | از اجزای میدان حل شده برای لیست، پتانسیل برداری درون صفحه را انتخاب کنید . |
چگالی جریان خارجی 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Domains کلیک کنید و External Current Density را انتخاب کنید . |
2 | فقط دامنه 1 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای چگالی جریان خارجی ، قسمت چگالی جریان خارجی را پیدا کنید . |
4 | بردار J e را به صورت مشخص کنید |
0 | r |
0 | فی |
J0 | z |
اکنون، یک مطالعه ثابت دیگر برای مؤلفه دوم اضافه کنید و مطمئن شوید که این دو مطالعه فقط برای رابط های فیزیک مربوطه خود حل می شوند.
مطالعه 1
مرحله 1: ثابت
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش مطالعه 1 ، روی Step 1: Stationary کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Stationary ، بخش Physics and Variables Selection را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
رابط فیزیک | حل کنید برای | فرم معادله |
میدان های مغناطیسی (mf) | √ | اتوماتیک (ایستا) |
میدان های مغناطیسی 2 (mf2) | اتوماتیک (ایستا) |
اضافه کردن مطالعه
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study باز شود . |
2 | به پنجره Add Study بروید . |
3 | زیربخش مطالعات را پیدا کنید . در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
4 | روی Add Study در نوار ابزار پنجره کلیک کنید . |
مطالعه 2
مرحله 1: ثابت
1 | در پنجره تنظیمات برای Stationary ، بخش Physics and Variables Selection را پیدا کنید . |
2 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
رابط فیزیک | حل کنید برای | فرم معادله |
میدان های مغناطیسی (mf) | اتوماتیک (ایستا) | |
میدان های مغناطیسی 2 (mf2) | √ | اتوماتیک (ایستا) |
با توجه به فرمول سنجیده نشده، حل کننده پیش فرض پیشنهادی یک حل کننده تکراری خواهد بود.
3 | در نوار ابزار صفحه اصلی ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
اکنون زمان مقایسه نتایج با راه حل های تحلیلی شناخته شده است. نمودارهایی از چگالی شار مغناطیسی محاسبه شده از هر جزء، و همچنین نموداری حاوی راه حل تحلیلی شناخته شده برای مسئله را اضافه کنید. توجه داشته باشید که راه حل در مناطق داخل و خارج سیم متفاوت است.
نتایج
مقایسه چگالی شار مغناطیسی
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، مقایسه چگالی شار مغناطیسی را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید . |
3 | برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . از لیست نوع عنوان ، Label را انتخاب کنید . |
4 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست Dataset ، None را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | بر روی Magnetic Flux Density Comparison کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 1/راه حل 1 (sol1) را انتخاب کنید . |
4 | فقط مرزهای 3 و 5 را انتخاب کنید. |
5 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت Expression text، x را تایپ کنید . |
7 | برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
8 | زیربخش Include را پیدا کنید . چک باکس Solution را پاک کنید . |
9 | چک باکس Description را انتخاب کنید . |
10 | زیربخش پیشوند و پسوند را پیدا کنید . در قسمت پسوند متن، کامپوننت 1 را تایپ کنید . |
11 | برای گسترش بخش Coloring and Style کلیک کنید . زیربخش نشانگرهای خط را پیدا کنید . از لیست نشانگر ، چرخه را انتخاب کنید . |
12 | از لیست موقعیت یابی ، Interpolated را انتخاب کنید . |
مقایسه چگالی شار مغناطیسی
1 | در پنجره Model Builder ، روی مقایسه چگالی شار مغناطیسی کلیک کنید . |
2 | در پنجره Settings for 1D Plot Group ، قسمت Plot Settings را پیدا کنید . |
3 | چک باکس x-axis label را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، r-coordinate (m) را تایپ کنید . |
4 | کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، هنجار چگالی شار مغناطیسی (T) را تایپ کنید . |
نمودار خط 2
1 | بر روی Magnetic Flux Density Comparison کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از لیست مجموعه داده ، مطالعه 2/راه حل 2 (3) (sol2) را انتخاب کنید . |
4 | فقط مرزهای 2 و 5 را انتخاب کنید. |
5 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، mf2.normB را تایپ کنید . |
6 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
7 | در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید . |
8 | قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
9 | زیربخش Include را پیدا کنید . چک باکس Solution را پاک کنید . |
10 | چک باکس Description را انتخاب کنید . |
11 | زیربخش پیشوند و پسوند را پیدا کنید . در قسمت متن پسوند ، کامپوننت 2 را تایپ کنید . |
12 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . زیربخش نشانگرهای خط را پیدا کنید . از لیست نشانگر ، چرخه را انتخاب کنید . |
13 | از لیست موقعیت یابی ، Interpolated را انتخاب کنید . |
نمودار خط 3
1 | بر روی Magnetic Flux Density Comparison کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از لیست مجموعه داده ، مطالعه 2/راه حل 2 (3) (sol2) را انتخاب کنید . |
4 | فقط مرزهای 2 و 5 را انتخاب کنید. |
5 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، mu0_const*J0/2*r*(r<=ri)+mu0_const*I0/(2*pi*r)*(r>ri) را تایپ کنید . |
6 | قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
7 | زیربخش Include را پیدا کنید . چک باکس Solution را پاک کنید . |
8 | تیک گزینه Expression را انتخاب کنید . |
9 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
10 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
راه حل تحلیلی |
11 | در نوار ابزار مقایسه چگالی شار مغناطیسی ، روی  Plot کلیک کنید . |
