در مجاورت سطح الکترود (در محدوده تا چند نانومتر)، در لایه دوگانه پراکنده، فرض الکتروخنثی بودن به دلیل جداسازی بار معتبر نیست. معمولاً لایه دوگانه پراکنده ممکن است هنگام مدل‌سازی لایه‌های بسیار نازک الکترولیت مورد توجه قرار گیرد، به عنوان مثال در خازن‌های الکتروشیمیایی و مشکلات خوردگی اتمسفر.

برای مدل‌سازی رفتار لایه دوگانه پراکنده، باید معادلات نرنست-پلانک را برای همه یون‌ها در ترکیب با معادله پواسون برای پتانسیل حل کرد. ترکیبی از این معادلات اغلب به عنوان معادلات پواسون-نرنست-پلانک (PNP) نامیده می شود.

مشکلی که هنگام مدل‌سازی معادلات PNP به وجود می‌آید، نحوه رسیدگی به شرایط مرزی برای معادله پتانسیل است. در این مثال، فرض یک لایه استرن با ظرفیت ثابت برای استخراج شرایط مرزی بار سطحی برای معادله پواسون استفاده شده است.

این مدل نتایج بازانت و چو را بازتولید می کند (رجوع کنید به مرجع 1 و مرجع 2 ).

هندسه مدل به صورت 1 بعدی (یک بازه منفرد بین 0 و L) است و از یک حوزه منفرد تشکیل شده است که نشان دهنده فاز الکترولیت، از جمله لایه دوگانه منتشر است.

غلظت c i (واحد SI: mol/m 3 ، i =+،-)، دو یون با بار مخالف (1/-1) در فاز الکترولیت حل می‌شود. شارها ( Ji ، واحد SI: mol/(m2 · s)) اینها با معادله نرنست-پلانک توصیف می شوند .

با D i (واحد SI: m2 / s) ضریب انتشار، u m,i (واحد SI: s·mol/kg) تحرک، F (واحد SI: C/mol) ثابت فارادی، و (واحد SI) : V) پتانسیل.

با فرض عدم واکنش همگن در الکترولیت، معادلات حاکم برای این دو گونه تبدیل می‌شوند:

برای پتانسیل، معادله پواسون بیان می کند

که در آن ε گذردهی (واحد SI: F/m) و ρ چگالی بار (واحد SI: C/m 3 )، بسته به غلظت یون مطابق با:

مرزها در صفحه واکنش الکترودهای هر طرف قرار دارند. همان واکنش الکترود، که در آن یون مثبت، S + شرکت می کند، در هر دو الکترود انجام می شود.

سرعت واکنش r (واحد SI: mol/(m2 · s)) است

که در آن Ka و Kc (واحد SI: m/s) ثابت های سرعت آندی و کاتدی هستند، c M فعالیت گونه های فلزی (واحد SI: mol/m 3 ، ثابت) و α a و α c انتقال آندی و کاتدی هستند . ضرایب (واحد SI: V) اختلاف پتانسیل بین فاز فلزی (واحد SI: V) و صفحه واکنش است: 

واکنش الکترود یک شار به سمت داخل را برای یون مثبت ارائه می دهد

در هر دو مرز برای یون منفی، از شرایط شار صفر استفاده می شود.

با فرض قرار گرفتن صفحه واکنش در مرز بین لایه دوگانه داخلی (فشرده) و پراکنده، و با فرض یک لایه فشرده استرن با ضخامت ثابت، λ S (واحد SI: m)، می توان رابین زیر را استخراج کرد. نوع شرط مرزی برای پتانسیل:

این شرایط برای λ S  =  0 به یک شرایط ولتاژ دیریکله کاهش می یابد ، یعنی در غیاب لایه استرن. در مورد ضخامت لایه استرن غیر صفر، شرایط را می توان به عنوان یک شرط بار سطحی فرموله کرد

مشکل فرموله شده در بالا اکنون می تواند برای ولتاژهای داده شده در فاز الکترود فلزی برای هر طرف حل شود. معمولاً یک الکترود را زمین می‌کند و ولتاژ سلول را V مشخص می‌کند تا بدین ترتیب

با این حال، برای حل چگالی جریان سلولی داده شده، سلول i (واحد SI: A/m 2 )، با V از پیش مشخص نیست، از یک معادله جهانی اضافی، حل برای V، استفاده می‌شود که شرط را برآورده می‌کند:

هنگام حل این سیستم برای یک محلول ثابت، غلظت یون منفی به یک “بند چکمه” اضافی برای ارائه یک محلول پایدار و منحصر به فرد نیاز دارد. این کار با اضافه کردن محدودیت کلی زیر به سیستم معادله انجام می شود:

که در آن c 0 غلظت اولیه یون است (واحد SI: mol/m 3 )، برای هر دو یون برابر است.

این محدودیت تضمین می کند که تعداد کل یون های منفی در طول فرآیند حل کننده تکراری حفظ می شود. (برای شبیه سازی های وابسته به زمان، محدودیت را می توان حذف کرد.)

تعدادی از اعداد بدون بعد را می توان مشتق کرد که بر رفتار سلول حاکم است. مشکل با استفاده از یک مطالعه پارامتری برای یک پارامتر بدون بعد ε D  =  (0.001، 0.01، 0.1 ) حل شده است، که به صورت تعریف شده است.

که در آن λ D طول Debye است.

جریان سلول از طریق عدد بی بعد j = 0.9 تعریف می شود .

جایی که i D چگالی جریان محدود کننده نرنستی است.

ثابت سرعت واکنش کاتدی با استفاده از عدد بی بعد kc = 10 تعریف می شود . 

سرعت جمله واکنش آندی توسط عدد بی بعد k r = 10 کنترل می شود . 

و ضخامت لایه Stern با استفاده از عدد بی بعد δ =0.1 تنظیم می شود ،

هنگام ارائه نتایج از متغیرهای بدون بعد زیر استفاده می شود:

شکل 1 غلظت بدون بعد را نشان می دهد. شیب غلظت نزدیک به الکترودها شیب بیشتری دارد.

شکل 2 نمایه چگالی شارژ بدون بعد را نشان می دهد. جداسازی بار در نزدیکی الکترودها اتفاق می افتد. برای مقادیر بالاتر εD ، ناحیه جداسازی بار، لایه دوگانه پراکنده، بیشتر به داخل دامنه کشیده می شود . این انتظار می رود زیرا مقادیر ε D بالاتر به طور موثر به معنای طول دامنه کوتاه تر است.

شکل 3 نمایه پتانسیل را نشان می دهد. برای مقادیر بالاتر εD ولتاژ روی سلول کاهش می یابد. این یک نتیجه مورد انتظار است زیرا طول دامنه کوتاهتر تلفات بالقوه ناشی از انتقال یون را کوتاه می کند.

از منوی File ، New را انتخاب کنید .

در پنجره جدید ، روی  Model  Wizard کلیک کنید .

با بارگیری برخی از پارامترها از یک فایل متنی شروع کنید.

هندسه را به صورت یک بازه واحد بسازید.

با افزودن چند عبارت متغیر ادامه دهید. (برخی از عبارات از متغیرهایی استفاده می کنند که هنوز تعریف نشده اند و از این رو با رنگ نارنجی مشخص شده اند. این مورد انتظار است.)

حالا شروع به تنظیم فیزیک کنید. با تغییر به مدل حفظ بار پواسون در توزیع جریان سوم، نرنست پلانک شروع کنید.

یک محدودیت سراسری اضافه کنید تا میانگین غلظت یون های منفی را به مقدار اولیه محدود کنید.

مقدار دمای مورد استفاده در کل مدل را تنظیم کنید.

توالی مش بندی پیش فرض را ویرایش کنید. پارامتر مش را وابسته کنید تا مطمئن شوید که مش همیشه در مرزها به خوبی تفکیک شده است. (Sweep پارامتریک اندازه هندسه را در طول فرآیند حل کننده تغییر می دهد.)

در نوار ابزار Mesh ، روی  Edge کلیک کنید .

با استفاده از یک جارو پارامتریک مشکل را حل کنید.

ارقام بخش نتایج و بحث را به صورت زیر تولید کنید:

در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add  Plot  Group کلیک کنید و 1D  Plot  Group را انتخاب کنید .