 |
هدایت گرما با منبع گرمای موضعی روی دیسک
معرفی
این مثال تأیید کلاسیک توزیع دمای حالت پایدار را در یک دیسک صفحه‌ای که توسط یک منبع حرارت موضعی در مرکز آن گرم شده است، حل می‌کند. راه‌های مختلفی را برای تعریف منبع گرمایی که در یک دامنه کوچک قرار دارد با نشان دادن آن به عنوان یک نقطه هندسی یا به عنوان یک دیسک کوچک نشان می‌دهد و مقایسه می‌کند.
هر دو مدل سازی دارای راه حل های تحلیلی هستند که می توان نتایج عددی به دست آمده را با آنها مقایسه کرد. نتایج دستورالعمل هایی را برای انتخاب گزینه مناسب بسته به نسبت منبع به اندازه معمول هندسه اطراف ارائه می دهد.
تعریف مدل
این مدل میدان دما را بر روی یک دیسک چوب پنبه ای با شعاع R دیسک = 0.1 متر محاسبه می کند . یک دمای ثابت T 0 = 300 K بر روی مرز دیسک تنظیم شده است، و یک منبع حرارتی با توان کل P = 1 W بر روی یک منطقه دایره ای کوچک ( منبع R شعاع = 10 -2 متر) در مرکز مبدا اعمال می شود .
شکل 1: هندسه و شرایط مرزی.
پیکربندی مدل یک تقارن محوری را نشان می‌دهد که نشان می‌دهد مشخصات دما تنها تابعی از فاصله تا مرکز دیسک‌ها است. در مختصات استوانه ای به این معنی است که مشخصات دما تابعی از r است : T ( r , θ) = T ( r , 0 ) . علیرغم اینکه این آموزش را می توان با استفاده از هندسه متقارن محوری 1 بعدی تنظیم کرد، تعریف آن به صورت دو بعدی گسترش آن را به موارد متقارن غیر محوری آسان تر می کند. به یاد بیاورید که مختصات دکارتی ( x ،، y ) و مختصات استوانه‌ای ( r ، θ) با :
در این سند از هر دو سیستم مختصات به طور مشترک استفاده می شود.
مدل منبع حرارتی وقت شناس
به منظور ساده‌سازی هندسه و جلوگیری از نسبت تصویر بالا وقتی منبع R به‌طور قابل‌توجهی کوچکتر از دیسک R است ، منبع را به‌عنوان یک منبع دقیق که در نقطه مبدا اعمال می‌شود، نشان دهید. این مدل با معادله زیر با یک عبارت منبع منفرد، با فرمول رسمی زیر مطابقت دارد:
که در آن k هدایت حرارتی است، Q = P ⁄ d z منبع گرمای حجمی، d z ضخامت خارج از صفحه و δ توزیع دیراک در مرکز مبدا است. جواب این معادله به صورت زیر است:
(1)
طبق رابطه 1 ، دما هنگام نزدیک شدن به مبدا به ±∞ می رود ( r = 0 ). این تکینگی در شکل 2 نشان داده شده است که در آن هنگام پالایش مش، مقدار دما به طور نامحدود افزایش می یابد.
شکل 2: توزیع دمای نسبی روی دیسک با یک منبع حرارت نقطه ای در مرکز.
منبع حرارت حجمی
همچنین می‌توانید منبع گرما را به طور صریح مدلسازی کنید و آن را روی دیسکی با منبع شعاع R در اطراف مبدا اعمال کنید. سپس، فرمول مسئله برای حل به این صورت است:
که در آن f یک توزیع منبع گرمای هموار است که توسط
راه حل تحلیلی در این مورد عبارت است از:
(2)
گسترش فضایی منبع گرما یک اثر هموارسازی دارد که تکینگی را در مبدا حذف می کند، همانطور که در شکل 3 برای منبع R = 10-2 متر نشان داده شده است :
شکل 3: توزیع دمای نسبی روی دیسک با منبع حرارت حجمی.
معادله 1 و معادله 2 نشان می دهد که پروفایل های دما برای منبع r ≥ R یکسان هستند . همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است ، تنها تفاوت در داخل دیسک منبع مشاهده می شود ( r < R source ):
شکل 4: توزیع تحلیلی دما در امتداد شعاع دیسک برای منبع حجمی در مقابل نقطه‌ای، برای شعاع منبع 2-10 متر .
نکاتی در مورد پیاده سازی COMSOL
COMSOL Multiphysics گزینه‌های مختلفی را برای مدلسازی منبع حرارت موضعی ارائه می‌کند.
1 | پشتیبانی منبع را می توان به عنوان یک نقطه هندسی تعریف کرد. در این مورد، از ویژگی‌های منبع حرارت خطی (متقارن محوری ۲ بعدی و ۲ بعدی)، منبع حرارت نقطه‌ای روی محور (متقارن محوری ۲ بعدی) یا منبع حرارت نقطه‌ای (۳ بعدی) استفاده کنید. این منجر به یک تکینگی در میدان دما در نقطه ای که منبع اعمال می شود، می شود. از نظر عددی، هرچه مش ریزتر باشد، تغییرات دما بیشتر است. به طور کلی، به جز مواردی که به یک منبع واحد نیاز است، باید به جای این گزینه، دو جایگزین توضیح داده شده در زیر در نظر گرفته شود. |
2 | تعریف منبع گرمایی که در بالا توضیح داده شد را می توان به گونه ای تغییر داد که COMSOL Multiphysics اندازه منبع را بدون نیاز به مش یا تغییر هندسه محاسبه کند. در ویژگی های Line Heat Source (2 بعدی و 2D متقارن محوری)، Point Heat Source on Axis (2D Heatsymmetric) یا Point Heat Source (3D)، کادر انتخاب Specify source heat radius را انتخاب کنید و شعاع منبع حرارت را روی منبع R تنظیم کنید . سپس منبع گرما به طور خودکار روی یک دیسک به صورت دو بعدی (یک چنبره در متقارن محوری دو بعدی یا یک کره در سه بعدی) همانطور که توسط دایره آبی روی تصویر سمت راست شکل 5 نشان داده شده است، توزیع می شود، حتی اگر اندازه عناصر مش بزرگتر از منبع R باشد .. |
3 | اگر اندازه منبع در مقایسه با جزئیات هندسی اطراف آن خیلی کوچک نباشد، می توان یک دامنه نشان دهنده منبع گرما ترسیم کرد (دیسک منبع شعاع R در تصویر سمت چپ شکل 5 را ببینید ) و یک ویژگی منبع گرما را می توان ترسیم کرد. در آنجا تعریف شده است. این گزینه زمانی می تواند در نظر گرفته شود که افزایش تعداد عناصر مش ناشی از تغییر هندسه امکان پذیر باشد.  |
شکل 5: پیکربندی های مختلف مش: اندازه عناصر کوچکتر (چپ) و بزرگتر (راست) از شعاع منبع. دامنه منبع با یک دایره آبی در مرکز مشخص شده است.
نتایج و بحث
در این بخش ابتدا از پیکربندی ساده هندسی برای بررسی صحت روش های مختلف با مقایسه نتایج عددی با حل های تحلیلی در زیربخش دقت عددی روش های مختلف استفاده کنید .
با این حال، در بسیاری از موارد عملی، استفاده از ویژگی منبع حرارت به دلیل هزینه محاسباتی گزاف ناشی از مش بندی حوزه منبع گرما، گزینه ای نیست. دقت ویژگی Line Heat Source ، با یا بدون گزینه Specify source heat radius در زیر بخش مش درشت مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد .
در نهایت، نتایج برای تعریف دستورالعمل‌هایی برای مدلسازی یک منبع گرمایی که در یک حوزه کوچک محلی شده است، خلاصه می‌شوند.
دقت عددی روش های مختلف
به منظور بررسی صحت ویژگی Line Heat Source برای یک منبع حرارتی دقیق، توری به تدریج در اطراف منبع گرما با کاهش حداکثر اندازه mh عناصر در همسایگی مبدا از 10 -2 متر به 10 اصلاح می شود. -6 متر
شکل 6: خطای نسبی L2 (تحلیلی دقیق در مقابل حل عددی با ویژگی منبع حرارت خط) به عنوان تابعی از پالایش مش.
شکل 6 نشان می دهد که خطای نسبی L2 با اصلاح مش کاهش می یابد، که استفاده از منبع حرارت خط را برای این نوع مشکلات تایید می کند.
حداکثر مقدار دما که با مش های مختلف به دست می آید، نشان داده شده در شکل 7 ، افزایش دامنه دما را با کاهش اندازه مش نشان می دهد.
شکل 7: حداکثر دما به عنوان تابعی از پالایش مش (راه حل عددی برای منبع حرارتی دقیق).
مدلی با منبع حجمی ( منبع R = 10-2 متر ) در حال حاضر در نظر گرفته شده و همگرایی حل عددی به عنوان مش تصفیه شده بررسی شده است.
ابتدا از ویژگی Heat Source در حوزه منبع شعاع R استفاده می شود که باید به صراحت در هندسه ترسیم شود. شکل 8 تطابق بسیار خوبی بین دمای محاسبه شده و حل تحلیلی را نشان می دهد.
شکل 8: توزیع دما در امتداد شعاع دیسک برای منبع حجمی، محاسبات تحلیلی و عددی (ویژگی منبع حرارت).
دقت ویژگی Line Heat Source با علامت انتخاب شعاع منبع حرارتی مشخص شده، با استفاده از پیکربندی‌های مش قابل مقایسه در هندسه‌ای که منبع را به عنوان یک نقطه نشان می‌دهد تأیید می‌شود.
شکل 9: توزیع دما در امتداد شعاع دیسک برای یک منبع حجمی، حل های تحلیلی و عددی (منبع حرارت خط با کادر انتخاب Specify source heat radius انتخاب شده است).
شکل 9 تطابق بسیار خوبی بین راه حل تحلیلی و دمای محاسبه شده با استفاده از ویژگی Line Heat Source را نشان می دهد کهباکس Specify source heat radius انتخاب شده است.
شکل 10: خطای نسبی L2 (تحلیلی منبع حجمی در مقابل حل عددی با استفاده از منبع حرارت خطی با انتخاب کادر انتخاب شعاع منبع حرارتی مشخص) به عنوان تابعی از پالایش مش.
همگرایی خطای نسبی L2 برای موارد مش ریز ( mh ≤ 10-2 m ) در شکل 10 نشان داده شده است . این دقت ویژگی خط منبع حرارت را با انتخاب کادر بررسی Specify source heat radius تایید می کند.
محفظه مشبک درشت
وقتی مش بندی دامنه منبع حرارت مقرون به صرفه نباشد، ویژگی منبع حرارت دیگر قابل اجرا نیست. اکنون پیکربندی‌های با وضوح مش کم برای مقایسه دقت ویژگی Line Heat Source ، با یا بدون شعاع منبع گرمایی مشخص می‌شوند .
شکل 11: خطای نسبی L2 به عنوان تابعی از اندازه مش، با استفاده از یک ویژگی Line Heat Source با تیک گزینه Specify source heat radius انتخاب شده است.
مورد mh = 0.06 m (نقطه اول در گوشه سمت چپ بالا) مربوط به مش نمایش داده شده در ستون سمت راست شکل 5 است ، که برای آن دایره منبع شعاع R بسیار کوچکتر از اندازه عنصر مش است. حتی برای این مورد، خطای نسبی L2 در محدوده قابل قبولی باقی می ماند (خطای نسبی کمتر از 0.03 ).
برای ادامه، خطای این مش بسیار درشت برای دو نسخه از ویژگی Line Heat Source مقایسه می‌شود ، یعنی با و بدون انتخاب تیک گزینه Specify source heat radius .
شکل 12: توزیع دما در امتداد شعاع دیسک برای دو نسخه از ویژگی Line Heat Source (با و بدون شعاع مشخص)، روی یک شبکه درشت (mh = 0.06 متر)
شکل 12 نشان می دهد که با انتخاب تیک Specify source heat radius خطای نزدیک به منبع حرارت تا حد زیادی کاهش می یابد
رهنمودها
این آموزش نتایج زیر را در رابطه با مدلسازی منابع گرمای موضعی با COMSOL Multiphysics به ارمغان می‌آورد.
اگر شعاع منبع گرما به اندازه کافی بزرگ باشد تا بتوان آن را بدون هزینه محاسباتی گزاف کشیده و مش بندی کرد، ویژگی منبع حرارت بهترین گزینه است. در موارد دیگر، ویژگی‌های منبع حرارت خطی (متقارن محوری ۲ بعدی و ۲ بعدی)، منبع حرارت نقطه‌ای روی محور (متقارن محوری ۲ بعدی) یا منبع حرارت نقطه‌ای (۳ بعدی) با کادر انتخاب شعاع منبع گرمایی انتخاب شده باید ترجیح داده شوند. چک باکس تعیین شعاع منبع حرارتی فقط برای مواردی که منبع تکی در نظر گرفته شده است پاک می شود.
منبع حرارت خط با گزینه شعاع مشخص شده به عنوان یک جایگزین دقیق برای رویکرد وقت شناس به نظر می رسد. به ویژه دما در محل منبع گرما زمانی که مش تصفیه می شود به یک مقدار محدود همگرا می شود.
مسیر کتابخانه برنامه: Heat_Transfer_Module/Verification_Examples/localized_heat_source
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard روی  2D کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Heat Transfer>Heat Transfer in Solids (ht) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
R_disk | 0.1[m] | 0.1 متر | شعاع دیسک |
منبع R_ | 0.01 [m] | 0.01 متر | شعاع منبع |
T0 | 300[K] | 300 K | دمای مرزی دیسک |
k_cork | 0.042 [W/(m*K)] | 0.042 W/(m·K) | هدایت حرارتی، چوب پنبه |
cp_cork | 1.88 [کیلوژول/(کیلوگرم*K)] | 1880 J/(kg·K) | ظرفیت حرارتی در فشار ثابت، چوب پنبه |
rho_cork | 150 [kg/m^3] | 150 کیلوگرم بر متر مکعب | چگالی، چوب پنبه |
mh | 0.01 [m] | 0.01 متر | پارامتر اندازه مش |
یک تابع تحلیلی برای حل مسئله با منبع حرارتی دقیق تعریف کنید.
تحلیلی 1 (an1)
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Functions کلیک کنید و Global>Analytic را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای تحلیل ، قسمت تعریف را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Expression ، -1/(2*pi*k_cork)*log(sqrt(x^2+y^2)/R_disk) + T0 را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن Arguments ، x,y را تایپ کنید . |
5 | قسمت Units را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
بحث و جدل | واحد |
ایکس | متر |
6 | در قسمت Function text، K را تایپ کنید . |
7 | قسمت Plot Parameters را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
بحث و جدل | حد پایین | حد بالا | واحد |
ایکس | -R_disk | R_disk | متر |
y | -R_disk | R_disk |
8 |  روی Plot کلیک کنید . |
یک تابع تحلیلی برای حل مسئله با منبع حرارت حجمی تعریف کنید.
تحلیلی 2 (an2)
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Functions کلیک کنید و Global>Analytic را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای تحلیل ، قسمت تعریف را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Expression ، if(sqrt(x^2+y^2)>R_source, (-1/(2*pi*k_cork)*log(sqrt(x^2+y^2)/R_disk) را تایپ کنید T0)، (1/(2*pi*k_cork)*(-(x^2+y^2)/(2*R_source^2)+0.5-log(R_source/R_disk)) + T0)) . |
4 | در قسمت متن Arguments ، x,y را تایپ کنید . |
5 | قسمت Plot Parameters را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
بحث و جدل | حد پایین | حد بالا | واحد |
ایکس | -R_disk | R_disk | متر |
y | -R_disk | R_disk |
6 | قسمت Units را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
بحث و جدل | واحد |
ایکس | متر |
7 | در قسمت Function text، K را تایپ کنید . |
8 |  روی Plot کلیک کنید . |
هندسه از یک دایره و یک نقطه در مبدا دایره تشکیل شده است. این هندسه برای تعریف منبع حرارتی وقت شناس یا حجمی با ویژگی Line Heat Source مناسب است .
هندسه 1
دایره 1 (c1)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  Circle کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات دایره ، بخش اندازه و شکل را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Radius ، R_disk را تایپ کنید . |
نقطه 1 (pt1)
1 | در نوار ابزار هندسه ، روی  نقطه کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Point ، روی  Build All Objects کلیک کنید . |
سپس یک ماده جدید (Cork) برای دیسک ایجاد کنید و ویژگی های مورد نیاز را تعریف کنید.
مواد
چوب پنبه
1 | در نوار ابزار Materials ، روی  Blank Material کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مواد ، Cork را در قسمت متن برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت محتوای مواد را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
رسانایی گرمایی | k_iso ; kii = k_iso، kij = 0 | k_cork | W/(m·K) | پایه ای |
تراکم | rho | rho_cork | کیلوگرم بر متر مکعب | پایه ای |
ظرفیت گرمایی در فشار ثابت | Cp | cp_cork | J/(kg·K) | پایه ای |
انتقال حرارت در جامدات (HT)
دما 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی انتقال حرارت در جامدات (ht) کلیک راست کرده و Temperature را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات دما ، قسمت انتخاب مرز را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه مرزها را انتخاب کنید . |
4 | قسمت دما را پیدا کنید . در قسمت متنی T 0 ، T0 را تایپ کنید . |
به عنوان اولین گام، مورد منبع گرمای وقت شناس را در نظر بگیرید. از ویژگی Line Heat Source با تنظیمات پیش فرض برای آن استفاده کنید . بعداً هنگام تعریف منبع گرمای حجمی، این شاخه را غیرفعال خواهید کرد.
منبع حرارت خط 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Points کلیک کنید و Line Heat Source را انتخاب کنید . |
2 | فقط نقطه 3 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات منبع گرمای خط ، قسمت منبع حرارت خط را پیدا کنید . |
4 | از لیست منبع گرما ، نرخ گرما را انتخاب کنید . |
5 | در قسمت متن P l ، 1 را تایپ کنید . |
بعد، یک مش پارامتری تعریف کنید که می تواند در اطراف مبدا دیسک اصلاح شود. به این ترتیب می‌توانید تأثیر پالایش مش را بر محاسبات منبع گرما بدون افزایش بیش از حد اندازه مش مطالعه کنید.
مش 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Mesh 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مش ، بخش Sequence Type را پیدا کنید . |
3 | از لیست، مش کنترل شده توسط کاربر را انتخاب کنید . |
اندازه
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)>Mesh 1 روی Size کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای اندازه ، قسمت اندازه عنصر را پیدا کنید . |
3 | از لیست از پیش تعریف شده ، درشت را انتخاب کنید . |
سایز 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی Free Triangular 1 کلیک راست کرده و Size را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای اندازه ، قسمت انتخاب موجودیت هندسی را پیدا کنید . |
3 | از لیست سطح نهاد هندسی ، نقطه را انتخاب کنید . |
4 | فقط نقطه 3 را انتخاب کنید. |
5 | بخش اندازه عنصر را پیدا کنید . از لیست از پیش تعریف شده ، درشت را انتخاب کنید . |
6 | روی دکمه Custom کلیک کنید . |
7 | قسمت پارامترهای اندازه عنصر را پیدا کنید . |
8 | کادر انتخاب حداکثر اندازه عنصر را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، mh را تایپ کنید . |
9 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
اکنون، یکپارچه سازی و حداکثر عملگرها را در کل دامنه برای پس پردازش تعریف کنید.
تعاریف
ادغام 1 (در اول)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Nonlocal Couplings کلیک کرده و Integration را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای ادغام ، بخش انتخاب منبع را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
حداکثر 1 (maxop1)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Nonlocal Couplings کلیک کنید و حداکثر را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای حداکثر ، بخش انتخاب منبع را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
مطالعه 1: منبع نقطه ای
1 | در پنجره Model Builder ، روی Study 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مطالعه ، Study 1: Point Source را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
جارو پارامتریک
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  پارامتر Sweep کلیک کنید . |
یک جارو پارامتریک بر روی حداکثر اندازه عناصر مش به منظور مطالعه اثرات پالایش مش بر روی محاسبه منبع گرما تعریف کنید.
2 | در پنجره تنظیمات برای جابجایی پارامتری ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 |  روی افزودن کلیک کنید . |
4 | mh را از لیست انتخاب کنید . |
5 |  روی Range کلیک کنید . |
6 | در کادر محاوره‌ای Range ، -6 را در قسمت متن شروع تایپ کنید . |
7 | در قسمت متن Step ، 0.5 را تایپ کنید . |
8 | در قسمت متن توقف ، -2 را تایپ کنید . |
9 | از تابع برای اعمال در لیست همه مقادیر ، exp10(x) – تابع نمایی (مبنای 10) را انتخاب کنید . |
10 | روی Replace کلیک کنید . |
11 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
دما – مطالعه 1
اولین نمودار پیش فرض توزیع دما را در نمودار دوبعدی برای mh = 10-2 m نشان می دهد . برای بازتولید نمودار شکل 2 که با mh = 10-3 m مطابقت دارد، به صورت زیر عمل کنید.
1 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح دو بعدی ، Temperature – Study 1 را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
2 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست مقدار پارامتر (mh (m)) ، 0.001 را انتخاب کنید . |
3 | در نوار ابزار Temperature – Study 1 ، روی  Plot کلیک کنید . |
سطح
1 | در پنجره Model Builder ، گره Temperature – Study 1 را گسترش دهید ، سپس روی Surface کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Surface ، بخش Expression را پیدا کنید . |
3 | در قسمت Expression text T-T0 را تایپ کنید . |
بیان قد 1
1 | در نوار ابزار Temperature – Study 1 ، روی  Height Expression کلیک کنید . |
2 |  روی Plot کلیک کنید . |
3 |  روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
سپس با رسم خطای نسبی L2 بین راه حل های عددی و تحلیلی به عنوان تابعی از 1/ mh به منظور بررسی همگرایی عددی، به بازتولید نمودار شکل 6 ادامه دهید.
خطای L2 از حل تحلیلی – مطالعه 1
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، خطای L2 را از حل تحلیلی – مطالعه 1 در قسمت متن برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 1: نقطه منبع/ راه حل های پارامتریک 1 (sol2) را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در نوار ابزار L2 Error from Analytical Solution – Study 1 ، روی  Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش Selection را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه مرزها را انتخاب کنید . |
4 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، sqrt(intop1((T-an1(x,y))^2))/sqrt(intop1((T-T0)^2)) را تایپ کنید . |
5 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن Expression ، 1/mh را تایپ کنید . |
7 | برای گسترش بخش Coloring and Style کلیک کنید . از لیست رنگ ، آبی را انتخاب کنید . |
8 | از لیست Width ، 5 را انتخاب کنید . |
9 | در نوار ابزار L2 Error from Analytical Solution – Study 1 ، روی  Plot کلیک کنید . |
10 |  روی دکمه x-Axis Log Scale در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
در مرحله بعد، حداکثر دما را به عنوان تابعی از 1/ mh رسم کنید ، مانند نمودار شکل 7 .
حداکثر دما – مطالعه 1
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، حداکثر دما – مطالعه 1 را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید. |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 1: نقطه منبع/ راه حل های پارامتریک 1 (sol2) را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در نوار ابزار Maximum Temperature – Study 1 ، روی  Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش Selection را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه مرزها را انتخاب کنید . |
4 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت Expression text maxop1(T) را تایپ کنید . |
5 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن Expression ، 1/mh را تایپ کنید . |
7 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از لیست رنگ ، آبی را انتخاب کنید . |
8 | از لیست Width ، 5 را انتخاب کنید . |
9 | در نوار ابزار Maximum Temperature – Study 1 ، روی  Plot کلیک کنید . |
10 |  روی دکمه x-Axis Log Scale در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
انتقال حرارت در جامدات (HT)
به عنوان مرحله دوم، مورد منبع حرارت حجمی را در نظر بگیرید. با انتخاب گزینه Specify source heat radius از ویژگی Line Heat Source استفاده کنید و شعاع منبع حرارت را روی مقدار مثبت تنظیم کنید.
منبع حرارت خط 2
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Points کلیک کنید و Line Heat Source را انتخاب کنید . |
2 | فقط نقطه 3 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات منبع گرمای خط ، قسمت منبع حرارت خط را پیدا کنید . |
4 | از لیست منبع گرما ، نرخ گرما را انتخاب کنید . |
5 | در قسمت متن P l ، 1 را تایپ کنید . |
6 | بخش Heat Source Radius را پیدا کنید . تیک گزینه Specify source heat radius را انتخاب کنید . |
7 | در قسمت متن R ، R_source را تایپ کنید . |
در مراحل بعدی، مطالعه 1 را برای استفاده از منبع حرارت خط 1 پیکربندی کنید و مطالعه دومی را ایجاد کنید که از منبع حرارت خط 2 استفاده می کند .
مطالعه 1: منبع نقطه ای
مرحله 1: ثابت
1 | در پنجره Model Builder ، در مطالعه 1: Point Source روی مرحله 1: Stationary کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Stationary ، بخش Physics and Variables Selection را پیدا کنید . |
3 | تیک Modify model configuration for study step را انتخاب کنید . |
4 | در درخت، Component 1 (comp1)>Heat Transfer in Solids (ht)>Line Heat Source 2 را انتخاب کنید . |
5 | کلیک راست کرده و Disable را انتخاب کنید . |
اضافه کردن مطالعه
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study باز شود . |
2 | به پنجره Add Study بروید . |
3 | زیربخش مطالعات را پیدا کنید . در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
4 | روی Add Study در نوار ابزار پنجره کلیک کنید . |
5 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study بسته شود . |
مطالعه 2
مرحله 1: ثابت
1 | در پنجره تنظیمات برای Stationary ، بخش Physics and Variables Selection را پیدا کنید . |
2 | تیک Modify model configuration for study step را انتخاب کنید . |
3 | در درخت، Component 1 (comp1)>Heat Transfer in Solids (ht)>Line Heat Source 1 را انتخاب کنید . |
4 | کلیک راست کرده و Disable را انتخاب کنید . |
مجدداً، یک جارو پارامتریک بر روی حداکثر اندازه عناصر مش به منظور مطالعه اثرات پالایش مش بر روی محاسبه منبع گرما تعریف کنید.
5 | در پنجره Model Builder ، روی Study 2 کلیک کنید . |
6 | در پنجره تنظیمات برای مطالعه ، Study 2: Point Source with Radius را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
جارو پارامتریک
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  پارامتر Sweep کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جابجایی پارامتری ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 |  روی افزودن کلیک کنید . |
4 | mh را از لیست انتخاب کنید . |
5 |  روی Range کلیک کنید . |
6 | در کادر محاوره‌ای Range ، -6 را در قسمت متن شروع تایپ کنید . |
7 | در قسمت متن Step ، 0.5 را تایپ کنید . |
8 | در قسمت متن توقف ، -2 را تایپ کنید . |
9 | از تابع برای اعمال در لیست همه مقادیر ، exp10(x) – تابع نمایی (مبنای 10) را انتخاب کنید . |
10 | روی Replace کلیک کنید . |
11 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
دما – مطالعه 2
اولین نمودار پیش فرض توزیع دما را در نمودار دو بعدی برای mh = 10-2 m نشان می دهد. برای بازتولید طرح در شکل 3 به صورت زیر عمل کنید .
1 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح دو بعدی ، Temperature – Study 2 را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
2 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست مقدار پارامتر (mh (m)) ، 0.001 را انتخاب کنید . |
3 | در نوار ابزار Temperature – Study 2 ، روی  Plot کلیک کنید . |
سطح
1 | در پنجره Model Builder ، گره Temperature – Study 2 را گسترش دهید ، سپس روی Surface کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Surface ، بخش Expression را پیدا کنید . |
3 | در قسمت Expression text T-T0 را تایپ کنید . |
بیان قد 1
1 | در نوار ابزار Temperature – Study 2 ، روی  Height Expression کلیک کنید . |
2 |  روی Plot کلیک کنید . |
3 |  روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
راه‌حل‌های تحلیلی دو مسئله (منابع حرارتی نقطه‌ای و حجمی) را در امتداد شعاع دیسک ترسیم کنید تا نمودار شکل 4 را بازتولید کنید .
Cut Line 2D 1
1 | در نوار ابزار نتایج ، بر روی  Cut Line 2D کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Cut Line 2D ، قسمت Data را پیدا کنید . |
3 | از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 2: منبع نقطه ای با راه حل های شعاع/پارامتری 2 (sol13) را انتخاب کنید . |
4 | قسمت Line Data را پیدا کنید . در ردیف 2 ، X را روی R_disk قرار دهید . |
5 |  روی Plot کلیک کنید . |
راه حل های تحلیلی، منبع نقطه ای با/بدون شعاع
1 | در نوار ابزار نتایج ، روی  1D Plot Group کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، راه حل های تحلیلی، منبع نقطه با/بدون شعاع را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست Dataset ، Cut Line 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (mh) ، First را انتخاب کنید . |
5 | برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . از لیست نوع عنوان ، دستی را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن عنوان ، مقایسه دما با منابع نقطه‌ای مختلف را تایپ کنید . |
7 | قسمت Plot Settings را پیدا کنید . |
8 | کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، Temperature (K) را تایپ کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در راه حل های تحلیلی، منبع نقطه با/بدون شعاع نوار ابزار، روی نمودار  خطی کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در قسمت Expression text an1(x,y) را تایپ کنید . |
4 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از لیست Width ، 3 را انتخاب کنید . |
5 | برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
6 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
7 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
بدون شعاع مشخص |
راه حل های تحلیلی، منبع نقطه ای با/بدون شعاع
در پنجره Model Builder ، روی Anlytical Solutions، Point Source with/without Radius کلیک کنید .
نمودار خط 2
1 | در راه حل های تحلیلی، منبع نقطه با/بدون شعاع نوار ابزار، روی نمودار  خطی کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Expression ، an2(x,y) را تایپ کنید . |
4 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از لیست Width ، 3 را انتخاب کنید . |
5 | برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . از لیست نوع عنوان ، هیچکدام را انتخاب کنید . |
6 | قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
7 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
8 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
با شعاع مشخص |
9 | در نوار ابزار Analytical Solutions، Point Source with/without Radius ، روی  Plot کلیک کنید . |
سپس، با رسم توزیع دما برای حل های عددی و تحلیلی در امتداد شعاع دیسک، برای mh = 10-2 m، به بازتولید نمودار شکل 9 ادامه دهید.
دما در مقابل شعاع – مطالعه 2
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، دما در مقابل شعاع – مطالعه 2 را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید. |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست Dataset ، Cut Line 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (mh) گزینه Last را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در نوار ابزار Temperature vs. Radius – Study 2 ، روی  Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . |
3 | زیربخش Line style را پیدا کنید . از لیست Line ، هیچکدام را انتخاب کنید . |
4 | زیربخش نشانگرهای خط را پیدا کنید . از لیست نشانگر ، دایره را انتخاب کنید . |
5 | از لیست موقعیت یابی ، Interpolated را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن شماره ، 25 را تایپ کنید . |
7 | قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
8 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
9 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
عددی، mh = 0.01 |
دما در مقابل شعاع – مطالعه 2
در پنجره Model Builder ، روی Temperature vs. Radius – Study 2 کلیک کنید .
نمودار خط 2
1 | در نوار ابزار Temperature vs. Radius – Study 2 ، روی  Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Expression ، an2(x,y) را تایپ کنید . |
4 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از لیست Width ، 3 را انتخاب کنید . |
5 | قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
6 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
7 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
تحلیلی |
8 | در نوار ابزار Temperature vs. Radius – Study 2 ، روی  Plot کلیک کنید . |
برای بررسی همگرایی عددی ، با رسم خطای L2 نسبی بین راه حل های عددی و تحلیلی به عنوان تابعی از پارامتر اندازه مش 1/ mh ، به بازتولید نمودار شکل 10 ادامه دهید.
خطای L2 از حل تحلیلی – مطالعه 2
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، خطای L2 را از حل تحلیلی – مطالعه 2 در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 2: منبع نقطه ای با راه حل های شعاع/پارامتری 2 (sol13) را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در نوار ابزار L2 Error from Analytical Solution – Study 2 ، روی  Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش Selection را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه مرزها را انتخاب کنید . |
4 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، sqrt(intop1((T-an2(x,y))^2))/sqrt(intop1((T-T0)^2)) را تایپ کنید . |
5 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن Expression ، 1/mh را تایپ کنید . |
7 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از لیست رنگ ، آبی را انتخاب کنید . |
8 | از لیست Width ، 5 را انتخاب کنید . |
9 | در نوار ابزار L2 Error from Analytical Solution – Study 2 ، روی  Plot کلیک کنید . |
10 |  روی دکمه x-Axis Log Scale در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
سپس، با ترسیم قدر مطلق خطا در امتداد شعاع دیسک بین هر حل عددی و حل تحلیلی برای منبع حرارت حجمی، برای mh = 10-2 m ، به بازتولید نمودار شکل 12 ادامه دهید.
Cut Line 2D 2
1 | در نوار ابزار نتایج ، بر روی  Cut Line 2D کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Cut Line 2D ، قسمت Data را پیدا کنید . |
3 | از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 1: نقطه منبع/ راه حل های پارامتریک 1 (sol2) را انتخاب کنید . |
4 | قسمت Line Data را پیدا کنید . در ردیف 2 ، X را روی R_disk قرار دهید . |
5 |  روی Plot کلیک کنید . |
خطای L1 از راه حل های تحلیلی – مطالعه 1 و مطالعه 2
1 | در نوار ابزار نتایج ، روی  1D Plot Group کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، خطای L1 را از Analytical Solutions – Study 1 و Study 2 را در قسمت نوشتاری Label تایپ کنید . |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست Dataset ، Cut Line 2D 2 را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (mh) گزینه Last را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در خطای L1 از راه حل های تحلیلی – مطالعه 1 و نوار ابزار مطالعه 2، روی نمودار  خطی کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در قسمت Expression text abs(T-an2(x,y)) را تایپ کنید . |
4 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از لیست Width ، 3 را انتخاب کنید . |
5 | قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
6 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
7 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
منبع نقطه ای بدون شعاع مشخص |
خطای L1 از راه حل های تحلیلی – مطالعه 1 و مطالعه 2
در پنجره Model Builder ، روی خطای L1 از Analytical Solutions – Study 1 and Study 2 کلیک کنید .
نمودار خط 2
1 | در خطای L1 از راه حل های تحلیلی – مطالعه 1 و نوار ابزار مطالعه 2، روی نمودار  خطی کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از لیست Dataset ، Cut Line 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (mh) گزینه Last را انتخاب کنید . |
5 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت Expression text abs(T-an2(x,y)) را تایپ کنید . |
6 | قسمت عنوان را پیدا کنید . از لیست نوع عنوان ، هیچکدام را انتخاب کنید . |
| %3 |
