 |
هدایت حرارتی در یک دال محدود
معرفی
این مثال ساده، رسانش گرما را در یک دال محدود پوشش می‌دهد و چگونگی تغییر دما با زمان را مدل‌سازی می‌کند. ابتدا مسئله را در COMSOL Multiphysics تنظیم کرده و سپس آن را با راه حل تحلیلی ارائه شده در Ref مقایسه کنید. 1 .
علاوه بر این، این مثال همچنین نحوه جلوگیری از نوسانات ناشی از پرش بین شرایط اولیه و مرزی را با استفاده از تابع گام هموار نشان می دهد.
تعریف مدل
دامنه مدل بین x = – b و x = b تعریف شده است . دمای اولیه در کل دامنه ثابت، برابر با T 0 است. شکل زیر را ببینید در زمان t = 0 ، دما در هر دو مرز به T 1 کاهش می یابد .
شکل 1: دامنه مدل سازی.
برای مقایسه نتایج مدل‌سازی با ادبیات ( مرجع 1 )، متغیرهای بدون بعد جدید را با توجه به تعاریف زیر معرفی کنید:
سپس معادله مدل تبدیل می شود
با شرایط اولیه مرتبط
و شرایط مرزی
راه حل تحلیلی این مسئله این است (رجوع کنید به شماره 1 ، معادله 12.1-31):
برای مدل‌سازی کاهش دما در مرزها از تابع گام هموار زمان f (τ) استفاده کنید .
این روش معمولا از نظر فیزیکی نسبت به تغییر ناگهانی دما واقع بینانه تر است و از نظر عددی نیز بهتر است.
نتایج و بحث
شکل 2 دما را به عنوان تابعی از موقعیت در زمان های بی بعد τ = 0.01، 0.04، 0.1، 0.2، 0.4 و 0.6 نشان می دهد . در این نمودار، مرکز دال در x = 0 با وجه های انتهایی آن x = − 1 و x = 1 قرار دارد . پروفیل های دما نشان داده شده در نمودار با راه حل تحلیلی ارائه شده در Ref یکسان است. 1 .
شکل 2: پروفیل های دما.
نمودار خطای L2 بین راه حل های تحلیلی و عددی در طول زمان (نگاه کنید به شکل 3 ) این نتیجه را تایید می کند.
شکل 3: خطای L2 بین راه حل های تحلیلی و عددی در طول زمان.
ارجاع
1. RB Bird، WE Stewart و EN Lightfoot، Transport Phenomena ، ویرایش دوم، جان وایلی و پسران، 2007.
مسیر کتابخانه برنامه: ماژول_انتقال_گرما/آموزش_هدایت/رسانایی_گرما در دال
دستورالعمل های مدل سازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard ، روی  1D کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Heat Transfer>Heat Transfer in Solids (ht) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Time Dependent را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
هندسه 1
رابط انتقال حرارت در جامدات را می توان برای حل معادلات بدون بعد استفاده کرد. با استفاده از دستورات زیر می توانید ابعاد را خاموش کنید:
جزء 1 (COMP1)
1 | در پنجره Model Builder ، روی Component 1 (comp1) کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Component ، بخش Units را پیدا کنید . |
3 | از لیست سیستم واحد ، هیچکدام را انتخاب کنید . |
هندسه 1
فاصله 1 (i1)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Geometry 1 کلیک راست کرده و Interval را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای فاصله ، قسمت فاصله را بیابید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
مختصات |
-1 |
4 |  روی Build All Objects کلیک کنید . |
تعاریف
یک تابع مرحله برای استفاده در شرایط مرزی اضافه کنید.
مرحله 1 (مرحله 1)
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Functions کلیک کنید و Local>Step را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مرحله ، قسمت پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن مکان ، 1e-6 را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن از ، 1 را تایپ کنید . |
5 | در قسمت متن، 0 را تایپ کنید . |
6 | برای گسترش بخش Smoothing کلیک کنید . در قسمت متن Size of transition zone ، 2e-6 را تایپ کنید . |
به صورت اختیاری، می توانید شکل تابع گام را بررسی کنید.
7 |  روی Plot کلیک کنید . |
یک جفت ادغام غیرمحلی برای محاسبه خطای نسبی L 2 بین راه حل های عددی و تحلیلی اضافه کنید.
ادغام 1 (در اول)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Nonlocal Couplings کلیک کرده و Integration را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای ادغام ، بخش انتخاب منبع را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
انتقال حرارت در جامدات (HT)
جامد 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)>Heat Transfer in Solids (ht) روی Solid 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جامد ، بخش هدایت حرارتی ، جامد را پیدا کنید . |
3 | از فهرست k ، User defined را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، 1 را تایپ کنید . |
4 | بخش ترمودینامیک، جامد را پیدا کنید . از لیست ρ ، User defined را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، 1 را تایپ کنید . |
5 | از لیست C p ، User defined را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، 1 را تایپ کنید . |
مقادیر اولیه 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی مقادیر اولیه 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مقادیر اولیه ، قسمت مقادیر اولیه را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن T ، 1 را تایپ کنید . |
دما 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Temperature را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره Graphics کلیک کنید و سپس Ctrl+A را فشار دهید تا هر دو مرز انتخاب شوند. |
3 | در پنجره تنظیمات دما ، قسمت دما را بیابید . |
4 | در قسمت متنی T 0 ، step1(t) را تایپ کنید . |
مش 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Mesh 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مش ، بخش Sequence Type را پیدا کنید . |
3 | از لیست، مش کنترل شده توسط کاربر را انتخاب کنید . |
اندازه
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)>Mesh 1 روی Size کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای اندازه ، قسمت اندازه عنصر را پیدا کنید . |
3 | از لیست Predefined ، Finer را انتخاب کنید . |
سایز 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی Edge 1 کلیک راست کرده و Size را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای اندازه ، قسمت انتخاب موجودیت هندسی را پیدا کنید . |
3 | از لیست سطح نهاد هندسی ، Boundary را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب ، همه مرزها را انتخاب کنید . |
5 | بخش اندازه عنصر را پیدا کنید . روی دکمه Custom کلیک کنید . |
6 | قسمت پارامترهای اندازه عنصر را پیدا کنید . |
7 | کادر انتخاب حداکثر اندازه عنصر را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، 1e-4 را تایپ کنید . |
8 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
مطالعه 1
مرحله 1: وابسته به زمان
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش مطالعه 1 ، روی Step 1: Time Dependent کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مربوط به زمان وابسته ، قسمت تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن زمان خروجی ، range(0,0.01,1) را تایپ کنید . |
برای اطمینان از اینکه انتقال دمای مرزی از 1 به صفر به درستی توسط حل کننده گذرا نشان داده می شود، از یک گام زمانی اولیه که کوچکتر از ناحیه انتقال تابع گام است استفاده کنید.
راه حل 1 (sol1)
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  Show Default Solver کلیک کنید . |
2 | در پنجره Model Builder ، گره Solution 1 (sol1) را گسترش دهید ، سپس روی Time-Dependent Solver 1 کلیک کنید . |
3 | در پنجره تنظیمات برای حل وابسته به زمان ، برای گسترش بخش Time Steping کلیک کنید . |
4 | کادر مرحله اولیه را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، 2e-7 را تایپ کنید . |
5 | از لیست محدودیت حداکثر گام ، Constant را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن حداکثر گام ، 1e-3 را تایپ کنید . |
7 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
دما (ht)
نمودار پیش فرض توزیع دما را در امتداد دال برای تمام مراحل زمانی نشان می دهد. می توانید راه حل محاسبه شده را با Ref مقایسه کنید. 1 با رسم دما برای یک مجموعه معین از زمان های خروجی، مانند شکل 2 .
1 | در پنجره Settings for 1D Plot Group ، بخش Data را پیدا کنید . |
2 | از لیست انتخاب زمان ، از لیست را انتخاب کنید . |
3 | در لیست Times (ها) ، 0.01 ، 0.04 ، 0.1 ، 0.2 ، 0.4 و 0.6 را انتخاب کنید . |
4 | در نوار ابزار دما (ht) ، روی  Plot کلیک کنید . |
نمودار خطی
1 | در پنجره Model Builder ، گره Temperature (ht) را گسترش دهید ، سپس روی Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، برای گسترش بخش Coloring and Style کلیک کنید . |
3 | زیربخش نشانگرهای خط را پیدا کنید . از لیست نشانگر ، چرخه را انتخاب کنید . |
4 | برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
5 | از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید . |
6 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
افسانه ها |
= 0.01 |
= 0.04 |
\tau=0.1 |
\tau=0.2 |
= 0.4 |
= 0.6 |
7 | در نوار ابزار دما (ht) ، روی  Plot کلیک کنید . |
سپس خطای نسبی L 2 بین راه حل های عددی و تحلیلی را در طول زمان رسم کنید.
خطای نسبی L2
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، خطای نسبی L2 را در قسمت متن برچسب تایپ کنید . |
نمودار خطی 1
1 | در نوار ابزار Relative L2 Error ، روی  Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش Selection را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
4 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، sqrt(intop1((T-2*sum((-1)^n/((n+0.5)*pi)*exp(-(n+0.5)^2*pi^2* را تایپ کنید t)*cos((n+0.5)*pi*x),n,0,1000))^2))/sqrt(intop1(T^2)) . |
5 | چک باکس Description را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، خطای L2 را از حل تحلیلی تایپ کنید . |
6 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
7 | در قسمت Expression text، t را تایپ کنید . |
8 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . از فهرست رنگ ، از تم را انتخاب کنید . |
9 | در نوار ابزار Relative L2 Error ، روی  Plot کلیک کنید . |
همانطور که حل تحلیلی نوسانات را در زمان اولیه نشان می دهد، تنظیمات نمودار را برای خوانایی بهتر تغییر دهید تا نمودار شکل 3 به دست آید .
خطای نسبی L2
1 | در پنجره Model Builder ، روی Relative L2 Error کلیک کنید . |
2 | در پنجره Settings for 1D Plot Group ، بخش Axis را پیدا کنید . |
3 | تیک گزینه Manual axis limits را انتخاب کنید . |
4 | در قسمت حداقل متن x ، 1e-3 را تایپ کنید . |
5 | در قسمت متن حداکثر x ، 1 را تایپ کنید . |
6 | در فیلد متن حداقل y ، 0 را تایپ کنید . |
7 | در قسمت متن حداکثر y ، 5e-4 را تایپ کنید . |
8 | در نوار ابزار Relative L2 Error ، روی  Plot کلیک کنید . |
