این مثال از رابط انتقال حرارت استفاده می کند. برای نشان دادن مفاهیم، مسئله را در نظر بگیرید
(3-5)
بر روی مربع واحد حل می شود. معادله 3-5 با استفاده از 10 برابر 10 عنصر لاگرانژ درجه دوم گسسته شده است. شرایط مرزی عبارتند از:
|
•
|
u = 1 برای x = 0
|
|
•
|
u = 1 برای y = 0
|
|
•
|
u = 0 برای x = 1
|
|
•
|
u = 0 برای y = 1
|
شکل 3-26 مش و شرایط مرزی را نشان می دهد. به طور کلی استفاده از مش های یکنواخت برای مشکلات حمل و نقل توصیه نمی شود. با این وجود، این مثال از یک مش یکنواخت برای نشان دادن تکنیک های مختلف تثبیت استفاده می کند.
محلول مورد انتظار به آرامی و به آرامی از مرزهای چپ و پایین بالا می رود و دارای لایه های مرزی تیز در امتداد مرزهای بالا و راست است. شکل 3-27 یک راه حل مرجع را نشان می دهد که با استفاده از المان های لاگرانژ 100 در 100 درجه دوم با انتشار ساده و انتشار باد متقابل به دست آمده است (به بخش بعدی مراجعه کنید). فلش ها جهت β را نشان می دهند .
شکل 3-26: حوزه محاسباتی، مش و شرایط مرزی برای معادله 3-5 .
شکل 3-27: حل مرجع معادله 3-5 . با استفاده از 100 برابر 100 عنصر درجه دوم با انتشار ساده و انتشار باد متقابل حل شد.
شماره سلول Péclet برای این مثال است
شکل 3-28 محلول به دست آمده با استفاده از مش در شکل 3-26 و گسسته سازی گالرکین (ناپایدار) را نشان می دهد. همانطور که با چنین عدد Péclet بالایی می توان انتظار داشت، محلول ناپایدار شباهت کمی به محلول مرجع در شکل 3-27 نشان می دهد. نمودار سمت راست در شکل 3-28 یک نمودار مقطعی را در امتداد خط چین نشان می دهد، y = 0.8 و راه حل مرجع مربوطه. توجه کنید که محلول ناپایدار در اثر نوسانات از بین می رود.
شکل 3-28: معادله 3-5 با استفاده از فرمول گالرکین ناپایدار حل شد. نمودار سمت راست محلول ناپایدار (خط چین) را در امتداد خط چین در نمودار سمت چپ (8/0 = y) با محلول مرجع (خط جامد) مقایسه می کند.
بخش تکنیک های تثبیت به بررسی چگونگی تاثیر تکنیک های مختلف تثبیت بر حل این مثال می پردازد.
