معادله Korteweg-de Vries (KdV) که در سال 1895 توسط Korteweg و de Vries فرموله شد، امواج آب را مدلسازی می کند. این به شدت با معادله برگرز در تضاد است زیرا هیچ اتلاف ایجاد نمی کند و امواج به ظاهر برای همیشه حرکت می کنند. در سال 1965، Zabusky و Kruskal چنین امواجی را سالیتون نامیدند .

معادله KdV با شرایط مرزی و مقدار اولیه به صورت فرموله شده است

این معادله شیب‌بندی و پراکندگی جبهه‌های موج را مدل‌سازی می‌کند، اما قطاری از امواج هارمونیک ساده را پشتیبانی نمی‌کند. چنین قطارهایی شامل تاج های موجی هستند که معمولاً با اقیانوس مرتبط هستند: صرفاً یک تداخل سازنده لحظه ای امواج کمک کننده که با سرعت های مختلف حرکت می کنند. با این حال، این معادله از سالیتون‌ها پشتیبانی می‌کند، “کوهان” منفرد که بدون تغییر شکل یا سرعت برای مسافت‌های غیرمنتظره طولانی حرکت می‌کنند.

در واقع، پری و شیمکه ( مراجعه 2 ) از اندازه گیری های اقیانوس شناسی کشتی به این نتیجه رسیدند که نوارهای آب متلاطم در دریای آندامان، که در شرق خلیج بنگال و غرب برمه (اتحادیه میانمار) و تایلند قرار دارد، با دامنه امواج داخلی اقیانوسی تصاویر ماهواره ای از آن زمان مشخص کرده است که این امواج از کرانه های کم عمق روی لایه ای بین آب گرم و سرد منشاء می گیرند. علاوه بر این، آزبورن و برچ ( مراجعه 1 ) داده های اقیانوس شناسی را در تلاشی برای ارزیابی نیروهای نوسانات جریان زیرآبی مرتبط با چنین امواجی در دکل های حفاری دریایی تجزیه و تحلیل کردند. آنها به این نتیجه رسیدند که نوارهای زبری مشاهده شده بصری توسط سالیتون های داخلی ایجاد می شوند که از معادله KdV پیروی می کنند ( مراجعه 3 ).

توسعه جدیدتر، استفاده از معادله KdV برای نوع دیگری از امواج – امواج نور است. امروزه سالیتون ها کاربرد عملی اولیه خود را در فیبرهای نوری دارند. به طور خاص، خواص پراکندگی خطی یک فیبر یک موج را یکسان می کند در حالی که خواص غیرخطی یک اثر تمرکز می دهد. نتیجه یک نبض بسیار پایدار و با عمر طولانی است ( مرجع 3 ). شگفت انگیز است که محققان فرمولی برای چنین امواجی کشف کرده اند:

این معادله می گوید که سرعت پالس چیزی است که دامنه پالس و عرض پالس را تعیین می کند. شبیه سازی زیر این اثر را نشان می دهد. یک پالس اولیه، که با فرمول مطابقت ندارد، بلافاصله به دو پالس با دامنه ها و سرعت های مختلف تجزیه می شود. دو پالس جدید از فرمول پیروی می کنند و بنابراین می توانند برای همیشه حرکت کنند. در حالی که فرمول نحوه برهمکنش سالیتون‌ها را نشان نمی‌دهد، شبیه‌سازی نشان می‌دهد که آنها می‌توانند با هم برخورد کرده و ظاهراً بدون تغییر ظاهر شوند، درست مانند امواج خطی، مشاهدات غیر شهودی دیگری که مشاهده آن بدون پیش‌بینی توسط محاسبات دشوار است.

در مدل، اصطلاح uu x تمرکز یک موج را توصیف می کند و u xxx به پراکندگی آن اشاره دارد. تعادل این دو عبارت به امواج اجازه می دهد تا با شکل بدون تغییر حرکت کنند.

از آنجا که COMSOL Multiphysics مشتقات سوم را مستقیماً ارزیابی نمی کند، معادله اصلی بالا را به عنوان یک سیستم از دو متغیر بازنویسی می کنید تا آن را حل کنید:

با استفاده از رابط PDE فرم عمومی، باید دو متغیر وابسته u1 و u2 را تعریف کنید و ضرایب d a ، Γ و F را در معادله زیر مشخص کنید:

شرط اولیه برای u 1 از تابع کسینوس هذلولی برای ارائه یک شکل موج جالب برای شروع استفاده می کند. برای u 2 ، شما باید دومین مشتق فضایی این تابع را ارائه دهید تا شرایط اولیه منسجم را فراهم کند.

شرایط مرزی شرایط مرزی دوره ای هستند: راه حل در یک سر همیشه با جوابی که در انتهای دیگر دامنه قرار دارد یکسان است.

نمودار زیر نشان می دهد که چگونه سالیتون ها با هم برخورد می کنند و دوباره ظاهر می شوند و شکلشان دست نخورده است.

از منوی File ، New را انتخاب کنید .

در پنجره جدید ، روی  Model  Wizard کلیک کنید .

در نوار ابزار Mesh ، روی  Edge کلیک کنید .

در نوار ابزار Results ، روی  More  Datasets کلیک کنید و Parametric  Extrusion  1D را انتخاب کنید .

در نوار ابزار نتایج ، روی  2D  Plot  Group کلیک کنید .