معرفی
این مثال شامل تجزیه و تحلیل انتقال حرارت رسانا و تابشی در یک لوله توخالی است، جایی که انتهای آن در دو دمای مختلف نگه داشته می‌شود. برای حل این معادله دیفرانسیل انتگرال-جزئی، مدل از عملگر مقصد و یک جفت ادغام غیرمحلی استفاده می کند.
تعریف مدل
این مثال چگونگی حل معادله دیفرانسیل انتگرال-جزئی را بررسی می کند
(1)
که در آن L طول لوله، D i و D o به ترتیب قطر داخلی و خارجی لوله، ρ چگالی، Cp ظرفیت گرمایی، κ هدایت حرارتی، σ ثابت استفان است (استفان بولتزمن ثابت)، ε تابش، و k ( x ، x ‘) هسته مربوط به ضریب دید تشعشع است. این معادله در توصیف فیزیکی انتقال حرارت و تابش یک بعدی در طول یک لوله بوجود می آید. شکل 1 هندسه مدل را نشان می دهد.
قبل از تنظیم مدل، مفروضات زیر را انجام دهید:
• | در داخل لوله، همرفت را نادیده بگیرید و فقط تشعشع و هدایت را در نظر بگیرید. |
• | تابش جسم سیاه را با ε = 1 فرض کنید. |
• | مدل انتقال حرارت فقط در جهت x ( تقارن θ را فرض کنید ). |
• | دیواره بیرونی لوله کاملاً عایق بندی شده است به طوری که هیچ گرمایی از طریق تشعشع یا رسانایی به دنیای خارج نمی رود. |
تعریف هسته k ( x , x’ ) است
جایی که ξ = | x − x’ |/ D i همانطور که در Ref توضیح داده شد. 1 .
همچنین شرایط مرزی و شرایط اولیه زیر را در نظر بگیرید:
شکل 1: هندسه مدل.
نتایج و بحث
توزیع دما در طول لوله در t = 3600 s در شکل 2 نشان داده شده است . خط مستقیم راه حلی برای مدل بدون تشعشع است که با تنظیم تابش بر روی صفر به دست می آید:
شکل 2: توزیع دما در طول لوله در t = 3600 ثانیه با تابش ( ε = 1 ) و بدون تشعشع ( ε = 0 ).
مقایسه با مدل پرتو سه بعدی کامل
برای نشان دادن اعتبار مدل 1 بعدی، می توانید کل مدل سه بعدی ثابت را با استفاده از ماژول انتقال حرارت تنظیم کنید. رابط انتقال حرارت آن شرایط مرزی تشعشعات سطح به سطح را کنترل می کند و تأیید نتایج را آسان می کند. شکل 3 دمای سطح سیلندر سه بعدی را نشان می دهد، در حالی که شکل 4 توزیع دما را در جهت محوری برای مدل های 1 بعدی و 3 بعدی مقایسه می کند. واضح است که نتایج کاملاً مطابقت دارند.
شکل 3: توزیع دمای سه بعدی در لوله.
شکل 4: توزیع دما برای مدل 1 بعدی و مدل سه بعدی.
نکاتی درباره پیاده سازی COMSOL
برای مدلسازی معادله، از رابط انتقال حرارت استفاده کنید و اثرات تشعشع را در عبارت منبع، Q با استفاده از یک جفت ادغام غیرمحلی وارد کنید.
برای وارد کردن انتگرال های کانولوشن از نوع مورد نیاز در اینجا، از عملگر dest استفاده کنید، که به COMSOL Multiphysics دستور می دهد تا به جای نقاط مبدا، بیانی را که بر روی آن در نقاط مقصد عمل می کند، ارزیابی کند. در عبارت k ( x, x’ ) ، x’ متغیری است که روی آن ادغام می شود، در حالی که مدل روی x ادغام نمی شود . برای تعیین اینکه x باید یک متغیر مختصات باقی بماند که می تواند مقادیری از کل دامنه بگیرد، آن را به صورت dest(x) در داخل جفت ادغام غیرمحلی بنویسید.
ارجاع
1. R. Siegel and J. Howell, Thermal Radiation Heat Transfer , ویرایش چهارم, Taylor & Francis Group, New York, 2001.
مسیر کتابخانه برنامه: COMSOL_Multiphysics/Equation_Based/integro_partial
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard ، روی  1D کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Heat Transfer>Heat Transfer in Solids (ht) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Time Dependent را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
اپسیلون | 1 | 1 | انتشار |
T_cold | 300[K] | 300 K | دما، پایان سرد |
DT_max | 1200[K] | 1200 K | حداکثر اختلاف دما |
T_init | T_cold | 300 K | دمای اولیه |
D_i | 1 [در] | 0.0254 متر | قطر داخلی |
انجام دادن | 1.1*D_i | 0.02794 متر | قطر خارجی |
L | 0.2[m] | 0.2 متر | طول |
هندسه 1
فاصله 1 (i1)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Geometry 1 کلیک راست کرده و Interval را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای فاصله ، قسمت فاصله را بیابید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
مختصات (M) |
0 |
L |
4 |  روی Build All Objects کلیک کنید . |
تعاریف
متغیرهایی را برای عبارت تابش در سمت چپ معادله 1 تعریف کنید . برای این منظور به یک جفت ادغام غیرمحلی نیاز دارید.
ادغام 1 (در اول)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Nonlocal Couplings کلیک کرده و Integration را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای ادغام ، بخش انتخاب منبع را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
متغیرهای 1
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی متغیرهای  محلی کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای متغیرها ، قسمت انتخاب موجودیت هندسی را پیدا کنید . |
3 | از لیست سطح نهاد هندسی ، دامنه را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
5 | قسمت Variables را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | واحد | شرح |
xi | abs(dest(x)-x)/D_i | ||
ک | 1-(2*xi^3+3*xi)/(2*(xi^2+1)^1.5) | هسته یکپارچه | |
Q_منبع | 4/(D_o^2-D_i^2)*epsilon*sigma_const*intop1(k*T^4) | W/m³ | منبع گرما |
Q_loss | -4*D_i/(D_o^2-D_i^2)*epsilon*sigma_const*T^4 | W/m³ | از دست دادن حرارت |
مواد
مواد 1 (mat1)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Materials راست کلیک کرده و Blank Material را انتخاب کنید . |
به طور پیش فرض، اولین متریال برای همه دامنه ها اعمال می شود. COMSOL Multiphysics هر گونه پارامتر مواد تعریف نشده ای را که توسط رابط های فیزیکی تعریف شده در آن حوزه ها مورد نیاز است را نشان می دهد.
2 | در پنجره تنظیمات برای Material ، قسمت Material Contents را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
رسانایی گرمایی | k_iso ; kii = k_iso، kij = 0 | 13 | W/(m·K) | پایه ای |
تراکم | rho | 8700 | کیلوگرم بر متر مکعب | پایه ای |
ظرفیت گرمایی در فشار ثابت | Cp | 300 | J/(kg·K) | پایه ای |
انتقال حرارت در جامدات (HT)
جامد 1
پارامترهای متریالی که به تازگی تعریف کردید برای تعیین کامل گره Solid کافی است . یک گره منبع گرمایی جداگانه برای اصطلاحات تابش در معادله 1 اضافه کنید .
منبع حرارت 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی انتقال حرارت در جامدات (ht) کلیک راست کرده و منبع حرارت را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای منبع گرما ، بخش انتخاب دامنه را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
4 | قسمت منبع حرارت را پیدا کنید . در قسمت متنی Q 0 ، Q_source+Q_loss را تایپ کنید . |
مقادیر اولیه 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی مقادیر اولیه 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مقادیر اولیه ، قسمت مقادیر اولیه را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن T ، T_init را تایپ کنید . |
دما 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Temperature را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 1 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات دما ، قسمت دما را بیابید . |
4 | در قسمت متنی T 0 ، T_cold+DT_max*tanh(t/1[min]) را تایپ کنید . |
دما 2
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Temperature را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 2 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات دما ، قسمت دما را بیابید . |
4 | در قسمت متن T 0 ، T_cold را تایپ کنید . |
مش 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Mesh 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مش ، قسمت Physics-Controlled Mesh را پیدا کنید . |
3 | از فهرست اندازه عنصر ، Extra fine را انتخاب کنید . |
4 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
مطالعه 1
مرحله 1: وابسته به زمان
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش مطالعه 1 ، روی Step 1: Time Dependent کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مربوط به زمان وابسته ، قسمت تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن زمان خروجی ، محدوده (0,1[min],1[h]) را تایپ کنید . |
برای مقایسه توزیع دما در مدل تابش با مدل بدون تشعشع، یک جارو پارامتریک با تابش به عنوان پارامتر با مقادیر 0 و 1 اضافه کنید.
جارو پارامتریک
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  پارامتر Sweep کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جابجایی پارامتری ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 |  روی افزودن کلیک کنید . |
4 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام پارامتر | لیست مقادیر پارامتر |
اپسیلون (گسترش) | 0 1 |
5 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
نمودار پیش فرض راه حل را برای تمام مراحل زمانی نشان می دهد. نمودار را در شکل 2 با مقایسه راه حل ها در آخرین مرحله زمانی به صورت زیر تولید کنید.
دما (ht)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Results روی دما (ht) کلیک کنید . |
2 | در پنجره Settings for 1D Plot Group ، بخش Data را پیدا کنید . |
3 | از لیست انتخاب زمان ، آخرین را انتخاب کنید . |
نمودار خطی
1 | در پنجره Model Builder ، گره Temperature (ht) را گسترش دهید ، سپس روی Line Graph کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . |
3 | تیک Show legends را انتخاب کنید . |
4 | در نوار ابزار دما (ht) ، روی  Plot کلیک کنید . |
1
این برنامه توسط دانیل اسمیت و علی شاجی از MKS Instruments، ویلمینگتون، ماساچوست، ایالات متحده ارائه شده است.
