معادلات حاکم بر فیزیک در هر سیال، پایه ای برای استخراج معادلات هواآکوستیک خطی شده و به طور کلی هر معادله آکوستیک هستند. معادلات حاکم برای حرکت سیال تراکم پذیر عبارتند از: معادله پیوستگی (پایداری جرم)، معادله ناویر-استوکس (پایداری تکانه)، و معادله عمومی انتقال حرارت (پایداری انرژی). برای بستن سیستم معادلات به معادلات سازنده به همراه معادله حالت و روابط ترمودینامیکی نیاز است. به عنوان مثال Ref. 3 ، ر. 4 ، ر. 5 ، ر. 6 یا Ref. 7 برای جزئیات و مطالعه بیشتر.
معادلات حفاظتی
معادلات بقای جرم، تکانه و انرژی هستند:
(5-5)
که در آن u میدان سرعت، ρ چگالی، T دما، s آنتروپی خاص، σ تانسور تنش، q شار حرارتی محلی، Φ تابع اتلاف ویسکوز و M ، F و Q است. اصطلاحات منبع هستند عملگر D / Dt مشتق ماده (یا عملگر فرارفت) است که به صورت تعریف شده است
روابط ترمودینامیکی
برخی از روابط ترمودینامیکی هنگام فرمول بندی مجدد معادلات انرژی بر حسب مجموعه های دیگر از متغیرهای ترمودینامیکی، مانند ( p ، T ) یا ( ρ ، p ) ضروری هستند. آنها عبارتند از دیفرانسیل چگالی، رابطه انرژی ویژه، رابطه ناشی از هلمهولتز و رابطه آنتروپی اساسی:
که در آن u انرژی داخلی خاص است، α p ضریب انبساط حرارتی (ایزوباریک) و β T تراکم پذیری همدما است. به عنوان مثال Ref. 5 و رفر. 6 برای جزئیات آنها همراه با گرمای ویژه در فشار ثابت C p و گرمای ویژه در حجم ثابت Cv به عنوان تعریف می شوند
با استفاده از روابط ترمودینامیکی بالا، دیفرانسیل آنتروپی را می توان به صورت (برای معادلات خطی شده ناویر-استوکس) بیان کرد.
در حالی که برای یک گاز ایده آل می توان آن را به صورت (برای معادلات اویلر خطی شده استفاده می شود) ارائه داد.
معادلات سازنده
معادلات سازنده معادلات حالت (چگالی بیان شده بر حسب هر مجموعه ای از متغیرهای ترمودینامیکی)، عبارت استوکس برای تانسور تنش و قانون هدایت حرارتی فوریه هستند.
که در آن k هدایت حرارتی، μ ویسکوزیته دینامیکی، و μ B ویسکوزیته توده ای است. سپس این تابع اتلاف ویسکوز را نیز تعریف می کند
تئوری اغتشاش
در ادامه، معادلات حاکم خطی شده و به ترتیب اول در پارامترهای کوچک در اطراف حل متوسط پس زمینه ثابت بسط داده شده است. برای جزئیات بیشتر در مورد تئوری اغتشاش رجوع کنید به Ref. 3 ، ر. 4 و Ref. 8 . متغیرهای پارامتر کوچک (ترتیب 1) تغییرات صوتی را در بالای میانگین (یا متوسط) جریان پس زمینه ثابت (راه حل مرتبه 0) نشان می دهند. توجه داشته باشید که هنگام حل معادلات، مقدار متغیرهای میدان صوتی می‌تواند امواج غیرصوتی مانند امواج حرارتی (امواج آنتروپی) و امواج گردابی را نیز نشان دهد. در حوزه زمان، اینها می توانند ناپایداری های خطی باشند و در واقع می توانند شروع تلاطم را نشان دهند.
متغیرهای وابسته و منابع بر اساس بسط می‌شوند
که در آن A هر یک از متغیرها یا منابع وابسته است. در حوزه فرکانس، متغیرهای مرتبه اول هارمونیک فرض می شوند و به اجزای فوریه گسترش می یابند، به طوری که
تغییر مرتبه اول به پارامترهای مواد، که به عنوان متغیرهای وابسته مانند چگالی ρ در رابط خطی ناویر-استوکس در نظر گرفته نمی‌شوند، با استفاده از دیفرانسیل چگالی و مربوط به اختلالات در دما و فشار بیان می‌شوند.
طرح‌های اغتشاش فوق در معادلات حاکم وارد می‌شوند و معادلات آکوستیک خطی شده تنها با حفظ عبارت‌های خطی مرتبه اول مشتق می‌شوند.
