اصل کار مجازی
انرژی پتانسیل در میان توابع هدف اسکالر جایگاه ویژه ای دارد زیرا مشتقات آن با توجه به متغیرهای کنترل اسکالر در بسیاری از موارد می توانند به عنوان نیروهای (واقعی یا تعمیم یافته) تفسیر شوند.
توابع هدف با ارزش پیچیده
تحلیل حساسیت تنها زمانی می تواند مستقیماً اعمال شود که تابع هدف یک تابع تحلیلی متمایزپذیر یا پیچیده از متغیرهای کنترلی باشد. این معمولاً یک محدودیت شدید نیست، حتی برای مدل‌های حوزه فرکانس که متغیرهای راه‌حل PDE دارای ارزش پیچیده هستند. یک دلیل این است که مقادیر فیزیکی مورد علاقه تحلیلگر همیشه دارای ارزش واقعی هستند و در صورت نیاز به متغیرهای کنترلی با ارزش پیچیده، می توان بخش واقعی و تخیلی را جداگانه بررسی کرد.
با این حال، برخی از مسائل PDE یا توابع هدف غیر تحلیلی هستند. این مورد، برای مثال، زمانی است که معادلات یا تابع هدف حاوی real() ، imag() یا abs() باشد . یک راه حل در چنین مواردی فعال کردن متغیرهای مختلط Split در بخش های واقعی و خیالی در گره کامپایل Equations مربوط به مرحله مطالعه است که حساسیت برای آن محاسبه می شود. این سیستم PDE گسسته شده را از یک سیستم با ارزش پیچیده به یک سیستم با ارزش واقعی با اندازه دو برابر، با درجات آزادی جداگانه برای بخش واقعی و خیالی تبدیل می کند. برای این سیستم تقسیم، همچنین توابع غیر تحلیلی تقریباً در همه جا قابل تفکیک هستند به طوری که می توان حساسیت ها را محاسبه کرد.
یک شکل خاص از توابع هدف غیرتحلیلی را می توان کارآمدتر از تقسیم متغیرها بررسی کرد: بسیاری از کمیت های رایج مورد علاقه میانگین های زمانی هارمونیک هستند که می توانند به شکل Q = واقعی (a · conj ( b ) ) نوشته شوند ، جایی که a و b توابع خطی با ارزش پیچیده متغیرهای حل و بنابراین توابع ضمنی متغیرهای کنترل هستند. مشکل این عبارت این است که، در حالی که Q در واقع یک تابع متمایزپذیر با ارزش واقعی از متغیرهای کنترلی است، یک تابع تحلیلی از a و b نیست.. این امر کمی مسائل را پیچیده می کند زیرا حل کننده حساسیت به تمایز جزئی نمادین و قانون زنجیره متکی است.
در حالی که مشتقات جزئی Q با توجه به a و b ، به طور دقیق، تعریف نشده هستند، می توان ثابت کرد که اگر به گونه ای انتخاب شوند که
(17-8)
برای هر افزایش پیچیده کوچک δa و δb ، حساسیت های نهایی به درستی ارزیابی می شوند . تابع ویژه realdot(a,b) با real(a*conj(b)) در هنگام ارزیابی یکسان است اما مشتقات جزئی را مطابق معادله 17-8 پیاده سازی می کند . به همین دلیل، از آن در تعریف هر کمیت میانگین زمانی به عنوان تابع هدف در تحلیل حساسیت استفاده کنید.
