روش استاندارد برای اعمال محدودیت ها در نرم افزار COMSOL Multiphysics، محدودیت ها را به صورت نقطه ای در نقاط گره در مش اعمال می کند. در هر نقطه گره، فقط مقادیر محلی متغیرهای وابسته تحت تأثیر محدودیت قرار می گیرند و محدودیت ها را مستقل از یکدیگر می کنند. بنابراین، حل‌کننده‌ها می‌توانند هم درجات آزادی محدود و هم شرایط نیروی محدودیت را حذف کنند، و به طور موثر سیستم معادلات را کاهش داده و تعداد درجات آزادی حل شده را کاهش دهند.
محدودیت‌های ضعیف ، محدودیت را به معنای میانگین محلی، با استفاده از توابع شکل به عنوان وزن، اعمال می‌کنند. اصطلاحات واکنش به صراحت در سیستم معادلات گنجانده شده است که بامتغیرهای ضرب کننده لاگرانژ بسط داده شده است. این ضرایب لاگرانژ به طور کلی دارای معنای فیزیکی و تعبیر به عنوان یک نیروی محدود یا شار هستند. در حالی که یک محدودیت استاندارد تعداد درجات آزادی را با تعداد محدودیت های منحصر به فرد کاهش می دهد، قیود ضعیف درجه آزادی را به همان تعداد افزایش می دهد.
یک محدودیت ضعیف فقط به طور متوسط روی هر تابع شکل ضریب لاگرانژ، به جای نقطه در گره های مش رعایت می شود. وقتی می‌توان محدودیت را در همه جا روی هر عنصر مش برآورده کرد، محدودیت‌های استاندارد و ضعیف به طور کلی به یک راه‌حل منجر می‌شوند. برعکس، زمانی که محدودیت‌ها در همه جا متناقض یا غیرممکن هستند، محدودیت‌های استاندارد و ضعیف می‌توانند خطا را متفاوت توزیع کنند و بنابراین به راه‌حل‌های کمی متفاوت منجر شوند.
محدودیت‌های ضعیف می‌توانند در شرایط زیر استفاده شوند:
|
•
|
محدودیت های استاندارد هرگز نباید مشتقات زمانی متغیرهای وابسته را شامل شوند. محدودیت های ضعیف این محدودیت را ندارند زیرا آنها متغیرهای مشابهی را مانند هر عبارت دیگر در سیستم ترکیبی معادلات مجاز می کنند. توجه داشته باشید که اصطلاحات واکنش را نمی توان به طور متقارن برای مشتقات زمانی اعمال کرد، اما باید به طور انتخابی برای متغیرهای جداگانه اعمال شود.
|
|
•
|
هنگامی که نیروی واکنش یا شار در طول حل مورد نیاز است، زیرا در جایی وارد ضریب می شود، ضریب لاگرانژ از یک محدودیت ضعیف می تواند مقدار دقیقی را ارائه دهد (به محاسبه شارهای دقیق مراجعه کنید ). متغیرهای مربوطه محاسبه شده از مشتقات متغیرهای وابسته آنقدر دقیق نیستند و در صورت استفاده می توانند خطاهای قابل توجهی را در راه حل ایجاد کنند.
|
|
•
|
هنگامی که محدودیت ها به شدت غیرخطی هستند، محدودیت های ضعیف می توانند همگرایی سریع تر و قوی تر را امکان پذیر کنند. برای محدودیت های غیرخطی، زیرمسئله خطی شده واقعی که در هر مرحله حل حل می شود به مقدار متغیرهای ضرب کننده لاگرانژ از مرحله قبل بستگی دارد. هنگام استفاده از محدودیت های استاندارد، این اطلاعات بین مراحل راه حل حذف می شود. با استفاده از قیود ضعیف، مقادیر ضریب لاگرانژ بین مراحل حفظ می‌شوند زیرا بخشی از بردار حل هستند.
|
در مقایسه با محدودیت‌های استاندارد، حذف‌شده، محدودیت‌های ضعیف نیز می‌توانند دارای اشکالات زیر باشند:
|
•
|
محدودیت‌های ناپیوسته منجر به ضرب‌کننده‌های لاگرانژ بی‌نهایت (از لحاظ نظری) می‌شوند. در عمل، نوسانات بزرگ حاصل می شود.
|
|
•
|
محدودیت‌های نقطه‌ای و ضعیف روی مجموعه‌ای از متغیرها در مرزهای مجاور (یعنی مرزهایی که نقاط گره مشترکی در مش دارند) کار نمی‌کنند. این به این معنی است که اگر همه مرزها باید روی یک جامد محدود شوند و شما بخواهید از یک محدودیت ضعیف در یک بخش مرزی (یک وجه) استفاده کنید، محدودیت ضعیف باید در کل مرز جامد استفاده شود (اگر مرز متصل است).
|
|
•
|
ضریب لاگرانژ در برخی موارد به سختی قابل تفسیر است. برای مثال، ضرب‌کننده‌های لاگرانژ از شرایط دیریکله در تقارن محوری با شار واکنش در هر سطح برابر نیستند، بلکه بر اساس طول و دور کامل هستند. برای گره‌های محدودیت‌های ضعیف جداگانه در تقارن محوری، تنظیمات مربعات پیش‌فرض شامل ضرب در 2 πr است که باعث می‌شود ضریب لاگرانژ شار در هر ناحیه را نشان دهد.
|
|
•
|
از آنجایی که مجهولات اضافی برای ضریب های لاگرانژ معرفی می شوند، اندازه مسئله در مقایسه با روش حذف محدودیت استاندارد افزایش می یابد.
|
|
•
|
متغیرهای ضریب لاگرانژ که با محدودیت‌های ضعیف اضافه می‌شوند، واحد متفاوتی نسبت به متغیرهای سیستم اصلی دارند و بنابراین می‌توانند از مرتبه بزرگی متفاوتی برخوردار باشند. این می تواند منجر به مشکلات پوسته پوسته شدن شود. معمولا مقیاس خودکار متغیر در حل کننده ها کافی است، اما مواردی وجود دارد که مقیاس گذاری دستی مورد نیاز است.
|
|
•
|
قیود ضعیف صفرها را روی قطر اصلی ماتریس ژاکوبین سیستم گسسته معرفی می کند که بنابراین نمی تواند قطعی مثبت باشد. این باعث می‌شود که برخی از حل‌کننده‌های خطی و پیش‌شرطی‌کننده‌ها برای حل مسائل با محدودیت‌های ضعیف در دسترس نباشند. به طور خاص، حل‌کننده تکرار شونده گرادیان مزدوج کار نمی‌کند، و همچنین کلاس SOR پیش‌شرطی‌کننده‌ها و صاف‌کننده‌ها نیز کار نمی‌کند. در عوض، یک حل‌کننده تکراری دیگر را امتحان کنید و از الگوریتم وانکا با ضرب‌کننده‌های لاگرانژ به‌عنوان متغیرهای وانکا استفاده کنید، یا از الگوریتم فاکتورسازی ناقص LU به عنوان پیش‌شرطی‌کننده استفاده کنید.
|
 |
شرایط واکنش محدودیت
|
