محدودیت نابرابری ضعیف

برای افزودن یک گره در یک دامنه، مرز، لبه یا نقطه در هر رابط فیزیک، روی دکمه (

) کلیک کنید و در کادر محاوره‌ای سپس، بسته به سطح موجودیت هندسی، در دامنه یا سطح مرز، یا را از منوی زمینه انتخاب کنید. هیچ گزینه محدودیت نابرابری ضعیف جهانی وجود ندارد.

معادلات و نظریه

گره اجازه می دهد تا یک محدودیت نابرابری مکمل فرم را مشخص کنید.

که در آن m i عبارت محدودیت و f c میدان ضرب کننده لاگرانژ است که محدودیت را اعمال می کند. ضریب لاگرانژ معمولاً یک تعبیر فیزیکی به عنوان نیروی واکنش یا شار واکنش دارد. شرط سوم، شرط تکمیلی است. معنی این شرط این است که ضریب لاگرانژ فقط در نقاطی که محدودیت فعال است ( m i = 0 ) می تواند غیر صفر باشد و در جایی که محدودیت غیرفعال است باید صفر باشد ( m i < 0 ).). به عنوان مثال، در یک مسئله تماس سازه، نیروی تماس (ضریب لاگرانژ) فقط باید در نقاطی که فاصله تماس صفر است، غیر صفر باشد.

این نوع محدودیت نابرابری به شدت غیرخطی است و تا زمانی که ندانیم محدودیت در کدام نقاط در جواب همگرا فعال است، نمی توان آن را دقیقا ارضا کرد. این یک مسئله ترکیبی است که توسط حل کننده غیرخطی استاندارد قابل حل نیست. بنابراین ، ویژگی ، یک تقریب آرام را به شرایط فوق به سیستم کلی معادلات اضافه می‌کند و یک نقض جزئی از محدودیت نابرابری و همچنین شرط تکمیلی m i f c = 0 را می‌پذیرد .

تقریب پیش‌فرض برای شرایط محدودیت نابرابری از روش جریمه استفاده می‌کند که به عنوان روش فنر سفت نیز شناخته می‌شود . نیروی محدودیت، که تقریبی به ضریب لاگرانژ واقعی است، به عنوان تابعی صریح از نقض محاسبه می شود.

با یک ثابت فنری تعریف شده توسط کاربر k s . افزایش ثابت فنر نقض محدودیت های فعال را کاهش می دهد، اما در عین حال مشکل را برای حل کننده غیرخطی سخت تر و دشوارتر می کند.

مشتق ناپیوسته عملگر max() نیز ممکن است به عدم همگرایی حل کننده کمک کند. بنابراین، ویژگی می‌تواند به صورت اختیاری عملگر max() را با یک تابع ramp() هموار با اندازه ناحیه انتقال تعریف شده توسط کاربر ( d t ) جایگزین کند. منطقه انتقال در دو طرف m i = 0 گسترش می یابد ، به این معنی که ضریب لاگرانژ f c می تواند در مکان هایی که m i اندکی منفی است نیز مثبت باشد. در یک مشکل تماس، این در عمل به این معنی است که قبل از تماس بین سطوح، نیروی تماس شروع به کمی افزایش می کند.

در حالی که روش جریمه در بسیاری از موارد تقریب منصفانه ای از محدودیت نابرابری ارائه می دهد، حل آن ذاتاً به ثابت فنر غیرفیزیکی k s وابسته است. شما همیشه در یک معامله بین نقض محدودیت ها و حل شدنی بودن قرار می گیرید. به عنوان راهی برای دور زدن این موضوع، ویژگی به صورت اختیاری یک استراتژی به‌روزرسانی لاگرانژی تقویت‌شده را پیاده‌سازی می‌کند.

هنگامی که از روش لاگرانژی تقویت شده استفاده می شود، ضریب لاگرانژ به عنوان یک فیلد متغیر وابسته، λa نمایش داده می شود که در یک تکرار تفکیک شده به روز می شود.

تصحیح اعمال شده در هر تکرار، j، به طور موثر با استفاده از روش جریمه و یک ثابت فنر تعریف شده توسط کاربر محاسبه می شود. این تکرار می تواند به گونه ای همگرا شود که λ a,j+1 = λ a,j فقط زمانی که m i,j < 0 و λ a,j = 0 یا m i,j = 0 باشد. این مستقل از مقدار ثابت فنر k s برقرار است، که بنابراین اکنون فقط نرخ همگرایی را کنترل می کند و دقت راه حل نهایی را کنترل نمی کند. مقدار بالاتر ثابت فنر ممکن است منجر به همگرایی سریعتر و همچنین واگرایی شود. برعکس، یک مقدار کمتر به طور کلی منجر به همگرایی کندتر اما پایدارتر می شود.

یکپارچه سازی و گسسته سازی

ضریب لاگرانژ fc روی سیستم کلی معادلات به‌عنوان یک عبارت ضعیف افزودنی fc*Nf اعمال می‌شود ، که در آن Nf یک عبارت ژاکوبین محدودیت است که شامل عملگرهای test() یا var() است. محدودیت ژاکوبین در عمل نحوه تأثیر نیروی محدودیت بر معادلات را کنترل می کند. به‌طور پیش‌فرض، Nf روی test(fc) تنظیم شده است ، به این معنی که محدودیت‌های فعال به روشی متقارن اعمال می‌شوند. سهم ضعیف با استفاده از یک ترتیب یکپارچه سازی مشخص ادغام می شود. به طور پیش فرض ترتیب از رابط فیزیک اطراف بر اساس ترتیب گسسته سازی فعلی آن گرفته شده است.

هنگام استفاده از روش لاگرانژی تقویت شده، میدان ضریب لاگرانژ λ a باید با استفاده از تابع شکل انتخابی و ترتیب تابع شکل گسسته شود. در عمل، توابع شکل لاگرانژ و لاگرانژ ناپیوسته مفیدترین هستند. هنگام استفاده از عناصر ناپیوسته یا دستورات تابع شکل بالاتر، محدودیت ها به صورت محلی بهتر رعایت می شوند، اما رفتار همگرایی ممکن است آسیب ببیند. معادله به‌روزرسانی لاگرانژی تقویت‌شده به‌عنوان یک معادله ضعیف با استفاده از ترتیب ادغام مطابق با ترتیب شکل ضرب‌کننده لاگرانژ تنظیم می‌شود.

تنظیمات حل کننده برای روش لاگرانژی تقویت شده

حل معادلات سیستم لاگرانژی تقویت شده مستلزم استفاده از یک حل کننده ثابت جدا شده است، که در آن متغیر ضریب لاگرانژ در آخرین مرحله در هر تکرار حل می شود. هنگامی که از توابع شکل لاگرانژ ناپیوسته یا مرتبه اول استفاده می شود، این مرحله به روز رسانی ممکن است از یک حل کننده توده ای استفاده کند. در غیر این صورت، باید یک مرحله استاندارد Segregated با تنظیمات پیش فرض باشد. اگر از روش لاگرانژی تقویت شده در برخی از ویژگی های محدودیت نابرابری ضعیف استفاده شود، حل کننده پیش فرض به طور خودکار به این روش اصلاح می شود.

تنظیمات حل کننده پیش‌فرض برای سایر متغیرها اصلاح نشده است. در تئوری، تکرار لاگرانژی تقویت‌شده انتظار دارد که متغیرهای باقی‌مانده ابتدا حل شوند تا در هر تکرار تفکیک‌شده همگرا شوند. این بدان معنی است که ممکن است مجبور شوید برای این متغیرها را از تکرارهای پیش‌فرض به تکرارها با حداکثر تغییر دهید .

محدودیت نابرابری ضعیف

یکی از گزینه‌های فهرست را انتخاب کنید: (پیش‌فرض) یا . برای هر یک از گزینه‌ها، را وارد کنید ، که باید کمتر یا مساوی 0 تنظیم شود. برای مثال، وارد کردن 2-(u+v) باعث می‌شود که u + v بزرگتر یا مساوی 2 باشد.

برای ، همچنین وارد کنید . عبارت نیروی محدودیت باید از عملگر test() یا var() استفاده کند. برای مثال، تست (u) را بنویسید تا با اصلاح تنها معادله u با عبارت واکنش مثبت ، محدودیت را اعمال کنید .


	علامت بیان نیروی محدودیت مهم است. تغییر علامت بیان نیروی محدودیت تنها علامت ضریب لاگرانژ را تغییر نمی‌دهد، همانطور که برای یک محدودیت ضعیف استاندارد وجود دارد. در عوض معنای شرایط مکمل را تغییر می دهد و معمولاً به یک راه حل واگرا منجر می شود.

پیاده سازی

از لیست ، روشی را برای تقریب محدودیت نابرابری انتخاب کنید: (پیش‌فرض) یا . برای هر دو روش، مقداری را برای تعیین کنید تا هنگام اعمال محدودیت استفاده شود. مقدار مناسب هم به مقیاس سیستم اصلی معادلات (در عمل مدل ماده) و هم به مقیاس بیان محدودیت بستگی دارد. معمولاً باید از روی تجربه یا با استفاده از آزمون و خطا انتخاب شود.

فعال کنید تا شرایط مکمل را در منطقه ای در اطراف جایی که محدودیت فعال می شود، کاهش دهید. این ممکن است همگرایی را بهبود بخشد. را مشخص کنید که ممکن است در همان واحدهای عبارت محدودیت تفسیر شود. به عنوان مثال، اگر تابع g(u) باشد و 0.1 تنظیم شده باشد ، آنگاه زمانی که g(u) بزرگتر از -0.1 شود، عبارت واکنش شروع به اعمال خواهد کرد .

هنگامی که است ، یک برای ضریب لاگرانژ مشخص کنید. پیش‌فرض صفر معمولاً مناسب است، اما می‌توان از یک مقدار مثبت برای جلوگیری از نقض محدودیت‌های بیش از حد بزرگ در اولین تکرارها استفاده کرد، به ویژه اگر نسبتاً ضعیف انتخاب شود.

همچنین یک را انتخاب کنید : و لاگرانژ (پیش‌فرض) مفیدترین انواع هستند. مرتبط (ترتیب تابع شکل برای عنصر) را انتخاب کنید. پیش فرض استفاده از عناصر لاگرانژ ناپیوسته است که محدودیت نابرابری را به معنای یکپارچه (به طور متوسط) بر روی هر عنصر اعمال می کند.

تنظیمات چهارگانه

این تنظیمات بر روی یکپارچگی عددی تأثیر می‌گذارند و معمولاً نیازی به تغییر آنها ندارید. این معنی که تنظیمات از معادله اصلی در رابط گرفته شده است. اگر چک باکس پاک شود، تنظیمات زیر در دسترس هستند:

دستور ادغام

ترتیب یک عدد صحیح مثبت است که دقت مورد نظر ادغام را در حین گسسته سازی مشخص می کند. چندجمله ای های حداکثر ترتیب ادغام داده شده بدون خطاهای سیستماتیک ادغام می شوند. برای نیروهای محدودیت صاف، ترتیب یکپارچگی کافی معمولاً دو برابر ترتیب توابع شکل مورد استفاده در محدودیت است. به عنوان مثال، ترتیب یکپارچه سازی پیش فرض برای عناصر درجه دوم لاگرانژ 4 است.

نیروهای محدودیت ایجاد شده توسط قیود نابرابری به طور کلی پیوسته هستند، اما به دلیل وجود عملگر max() همیشه روی هر عنصر چند جمله ای نیستند. بنابراین افزایش ترتیب ادغام ممکن است در برخی شرایط دقت را بهبود بخشد.

ادغام در فریم

تنظیم تعیین می کند که کدام فریم ادغام را بر اساس: ، ، ، یا . فریم پیش فرض فریمی است که برای رابط فیزیک استفاده می شود.

ضرب در 2 π r


	این بخش برای مدل های متقارن محوری دوبعدی و متقارن محوری 1 بعدی موجود است.

به‌طور پیش‌فرض، چک باکس π انتخاب می‌شود تا ضریب لاگرانژ، به‌عنوان مثال، نیروی محدودیت در هر ناحیه را به جای طول و یک دور کامل نشان دهد. اگر چک باکس پاک شود، ضریب لاگرانژ در 2 π r که در معادله ضعیف استفاده می شود ضرب نمی شود، و بنابراین نشان دهنده شار در طول و یک دور کامل است.

محدودیت نابرابری ضعیف

شما چه احساسی دارید

اشتراک گذاری این مقاله :