یک عنصر محدود تعدادی متغیر را تعریف می کند، معمولاً یک متغیر وابسته و مشتقات آن. چنین متغیرهایی را متغیرهای تابع شکل می نامند زیرا مستقیماً از توابع شکل و درجات آزادی محاسبه می شوند.
هنگامی که یک رابط فیزیک انتخاب می شود، می توانید نام متغیرهای وابسته را وارد کنید. از این نام ها برای ساختن عناصر محدود استفاده می شود. نام متغیر وابسته مبنایی برای نام متغیرهای اضافی است که عناصر محدود تولید می کنند.
 | هنگام وارد کردن متغیرهای تابع شکل، حروف برجسته شده در زیر را با فونت مورب با نام واقعی متغیرهای وابسته (اجزای حل) و متغیرهای مستقل (مختصات مکانی) برای Component جایگزین کنید. |
به عنوان مثال، نام متغیرهای وابسته را در Component جداگانه به جای u و به ترتیب با متغیر مختصات فضایی اول، دوم و سوم جایگزین x , y و z کنید. x i نشان دهنده i مین متغیر مختصات مکانی است. اگر کامپوننت دارای یک مش تغییر شکل یافته باشد یا جابجایی ها قاب فضایی را کنترل کنند (مثلاً در مکانیک جامد)، می توانید نمادهای x ، y ، z را با مختصات مکانی ( x ، y ، و z به طور پیش فرض) جایگزین کنید. مختصات ماده/مرجع ( X، Y و Z به طور پیش فرض).
نمونه ای از متغیرهای عنصر لاگرانژ
برای عنصر لاگرانژ، که نوع عنصری است که توسط اکثر واسط های فیزیک استفاده می شود، جدول 5-10 نام متغیرهای موجود را فهرست می کند، با این فرض که نام u را به عنوان آرگومان تابع شکل داده اید، و نام های x ، y ، و z . برای متغیرهای مستقل ارائه شده است.
نوع نهاد\ فضای بعد | 1D | 2D | سه بعدی |
نقطه | تو | تو | |
حاشیه، غیرمتمرکز | u، u T x ، u T y ، u T z | ||
مرز | u ، u T x ، u t ، u T x t | u , u T x , u T y , u t , u T x t , u T y t | u , u T x , u T y , u T z , u t , u T x t , u T y t , u T z t |
دامنه | u ux uxx , u t , ux t , uxx t , u tt , ux tt , uxx tt ,__ | u ux , uy , uxx ,uxy, uyx , uyy , u t , ux t , uy t , uxx t , uxy t , uyx t _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ گوسفند tt ، گوسفند tt | u ux , uy , uz , uxx ,uxy, uxz , uyx , uyy , uyz , uzx , uzy _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ uyy t ، uyz t ، uzxt , uzy t , uzz t , u tt , ux tt , uy tt , uz tt , uxx tt , uxy t , uxz tt , uyx tt _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
به عنوان مثال، با یک رابط فیزیک جریان سیال، مجموعه ای از متغیرهای نشان داده شده در جدول 5-10 را به ترتیب برای u ، v ، w و p دریافت می کنید.
• | متغیرهای ux ، uy و uz اجزای گرادیان ∇ u هستند، یعنی مشتقات فضایی مرتبه 1. |
• | متغیرهای uxx , uxy , uxz , uyx , uyy , uyz , uzx , uzy و uzz اجزای مشتق فضای مرتبه دوم هستند . آنها فقط در صورتی معنی دار هستند که درجه تابع شکل چند جمله ای مورد استفاده در یک عنصر به اندازه کافی بالا باشد. برای عناصر مرتبه اول همه این متغیرها صفر ارزیابی می شوند. |
• | برای عناصر با توابع شکل چند جمله ای درجه 2 (عناصر مرتبه دوم)، درجه چند جمله ای مشتقات مرتبه 2 صفر است. یعنی مشتقات دوم در هر عنصر ثابت هستند. |
• | برای مرتبه های عناصر کمتر از دو، مشتقات دوم بدون توجه به مقادیر مشتقات مرتبه دوم راه حل واقعی به صفر می رسند. |
اگر مدل از یک مش تغییر شکل یافته استفاده کند، هر عنصر محدود با یک قاب خاص (قاب فضایی یا قاب ماده) مرتبط است. فریم نام متغیرهای تولید شده توسط عنصر محدود را تعیین می کند. برای مثال، اگر از چارچوب فضایی استفاده شود، عنصر لاگرانژ مشتقات را با توجه به مختصات فضایی، ux ، uy و uz محاسبه می‌کند. اگر از قاب ماده استفاده شود، عنصر لاگرانژ مشتقات را با توجه به مختصات ماده uX ، uY و uZ محاسبه می‌کند.
مشتقات زمانی متغیرهای وابسته
متغیر u t مشتق زمانی متغیر وابسته u است. همچنین می توانید مشتقات مختلط فضا-زمان را به صورت ux i t تشکیل دهید ، به عنوان مثال، uxt ،
 | t باید در یک مشتق مختلط آخرین باشد . از مشتقات بار دوم نیز می توان استفاده کرد، مانند utt یا uxtt (اما نه مشتقات بالاتر در زمان). |
اگر مدل دارای یک مش تغییر شکل یافته باشد، علاوه بر مشتق زمانی معمول ut ، مشتق زمان مش uTIME نیز وجود دارد. این همچنین برای مشتقات مختلط فضا-زمان صدق می کند.
متغیرهای مشتق مماسی
در مرزها، لبه ها و نقاط نیز به متغیرهای مشتق مماسی دسترسی دارید . آنها نام هایی مانند u T x ، u T y و u T z دارند. با استفاده از این متغیرها، می‌توان مدل‌هایی با پدیده‌هایی روی مرزها، لبه‌ها یا نقاطی که در PDE توضیح داده شده است، ایجاد کرد.
متغیرهای مشتق مماسی مؤلفه‌های دکارتی پیش‌بینی مماسی متغیرهای تابع شکل را نشان می‌دهند:
در این معادله (∇ u ) T شیب مماسی است که از مشتقات مماسی در هر جهت مکانی تشکیل شده است، I تانسور وحدت، n بردار عادی واحد بیرونی و ∇ u گرادیان u است.
متغیرهای ضرب کننده لاگرانژ
اگر محدودیت‌های ضعیف برای شرایط مرزی که محدودیت هستند فعال شوند (شرایط مرزی دیریکله)، COMSOL Multiphysics با افزودن _lm به عنوان پسوند به نام متغیر وابسته، متغیرهایی را برای ضرب‌کننده‌های لاگرانژ (یکی برای هر متغیر وابسته) اضافه می‌کند. به عنوان مثال، برای یک متغیر وابسته u ، متغیر لاگرانژ مربوطه u_lm است . ضرب‌کننده‌های لاگرانژ روی مرزها در دسترس هستند، و همچنین می‌توانید آنها را بر روی لبه‌ها (به صورت سه بعدی) و نقاط (در دو بعدی و سه بعدی) ارزیابی کنید.
وراثت متغیر
بر روی مرزها، لبه ها و نقاط، گرادیان ها و مشتقات دوم توابع شکل به صورت ارثی در دسترس هستند . یعنی میانگین مقادیر متغیرها از حوزه های مجاور محاسبه می شود. این فرآیند می تواند برای چندین سطح پیشرفت کند.
به عنوان مثال، ux میانگین در یک مرز از حوزه های مجاور، سپس میانگین در یک یال از مرزهای مجاور، و در نهایت، میانگین در نقاط از لبه های مجاور است.
در صورت امکان، از استفاده از وراثت متغیر برای گرادیان ها و مشتقات دوم در یک مدل خودداری کنید. در عوض، از متغیرهای مشتق مماسی برای مدل‌سازی مبتنی بر معادله بر روی مرزها استفاده کنید، یا از up( expr ) ، down( expr ) و side( dom,expr ) در صورت مناسب برای انتقال ارزیابی به حوزه مجاور استفاده کنید.
برای محاسبه انتگرال نیروهای واکنش و شار، از عملگر reacf استفاده کنید .
برای نیروهای واکنش با دقت بالا و شار در شرایط دیگر، به جای دسترسی مستقیم به گرادیان از طریق وراثت، از محدودیت‌های ضعیف و ضرب‌کننده‌های لاگرانژ روی مرزها استفاده کنید (به محاسبه شارهای دقیق مراجعه کنید ).
 | هنگامی که – برای مثال – روی یک مرز – مقدار متغیری را که در سراسر آن مرز ناپیوسته است (مثلاً یک لایه مقاومتی نازک) رسم یا ارزیابی می کنید، مقدار میانگین مقدار در “بالا” و “پایین” است. ” طرف های مرز. می توانید از عملگرهای بالا و پایین برای بدست آوردن مقدار در دو طرف مرز استفاده کنید (به بالا و پایین مراجعه کنید ). |
