ماشین آلات ALE تعدادی متغیر را بر اساس روابط موجود در معادله 18-3 تعریف می کند . متغیرها و نام مؤلفه‌ها در جدول 1-18 فهرست شده‌اند که در آن شاخص‌های i و j 1 ، 2 یا 3 هستند . توضیح بیشتر در مورد متغیرها در زیر آمده است.
|
متغیر
|
اجزاء
|
شرح
|
|
ژاکوبین مختصات فضایی x نسبت به مختصات مادی X.
|
||
|
spatial.invF
|
مختصات ژاکوبین مادی X با توجه به مختصات فضایی x . معکوس فضایی . F.
|
|
|
نسبت حجم عنصر محلی محاسبه شده در قاب فضایی به حجم محاسبه شده در قاب ماده. تعیین کننده فضایی.F در عناصر هم‌بعد با هندسه.
|
||
|
spatial.detInvF
|
spatial.detInvF
|
نسبت حجم عنصر محلی محاسبه شده در قاب ماده به حجم محاسبه شده در قاب فضایی. تعیین کننده فضایی.invF در عناصری با ابعاد مشابه با هندسه.
|
|
مختصات ژاکوبین ماده X با توجه به مختصات قاب هندسی X g
|
||
|
material.invF
|
material.invF ij
|
ژاکوبین قاب هندسی X g را با مختصات ماده X مختصات می کند . معکوس مواد . F.
|
|
material.detF
|
material.detF
|
نسبت حجم عنصر محلی محاسبه شده در قاب ماده به حجم محاسبه شده در قاب هندسه. تعیین کننده مواد.F در عناصری با همان ابعاد هندسه.
|
|
material.detInvF
|
material.detInvF
|
نسبت حجم عنصر محلی محاسبه شده در قاب هندسه به حجم محاسبه شده در قاب ماده. تعیین کننده ماده.invF در عنصری با همان ابعاد هندسه.
|
هندسه 3 بعدی، صفحه 2 بعدی و 1 بعدی
فضایی.F
ماتریس spatial.F شامل اجزای ژاکوبین مختصات فضایی با توجه به مختصات مادی است:
ردیف های ماتریس را می توان به عنوان بردارهای پایه کوواریانت سیستم مختصات ماده جهانی تفسیر کرد که با استفاده از مولفه های متناقض در سیستم مختصات فضایی جهانی بیان می شود. برعکس، ستون ها را می توان به عنوان بردارهای پایه متضاد سیستم مختصات فضایی جهانی تفسیر کرد که با استفاده از مولفه های کوواریانت در سیستم مختصات ماده جهانی بیان می شود. بنابراین، ماتریس اجزای ماده متضاد یک بردار را تبدیل می‌کند و ماتریس را از سمت چپ به اجزای فضایی متناقض ضرب می‌کند. همچنین مولفه های فضایی کوواریانت یک بردار را با ضرب از سمت راست به اجزای مادی کوواریانت تبدیل می کند.
 |
توجه داشته باشید که spatial.F انتقال گرادیان تغییر شکلی است که توسط مکانیک سازه تعریف شده است.
|
spatial.invF
ماتریس spatial.invF حاوی معکوس فضایی.F است که از اجزای مختصات ژاکوبین مادی با توجه به مختصات فضایی تشکیل شده است:
ردیف‌های ماتریس را می‌توان به عنوان بردارهای پایه کوواریانت سیستم مختصات فضایی جهانی تفسیر کرد که با استفاده از مولفه‌های متناقض در سیستم مختصات ماده جهانی بیان می‌شوند. برعکس، ستون‌ها را می‌توان به‌عنوان بردارهای پایه متضاد سیستم مختصات ماده جهانی تفسیر کرد که با استفاده از مؤلفه‌های کوواریانت در سیستم مختصات فضایی جهانی بیان می‌شوند. بنابراین ماتریس مولفه های فضایی متناقض یک بردار را تبدیل می کند و ماتریس را از سمت چپ به اجزای ماده متضاد ضرب می کند. همچنین اجزای مادی کوواریانت یک بردار را با ضرب از سمت راست به اجزای فضایی کوواریانت تبدیل می کند.
spatial.detF و spatial.detInvF
ضریب حجم/مساحت/طول spatial.detF و معکوس فضایی.detInvF آن نسبت‌های حجم/مساحت/طول عنصر محلی هستند که در قاب‌های فضایی و مادی محاسبه می‌شوند. یعنی این متغیرها عواملی هستند که برای محاسبه یک انتگرال قاب فضایی از کمیت بر روی مجموعه‌ای از عناصر با هر بعد، با استفاده از مختصات قاب مادی یا برعکس، ضروری هستند:
که در آن D مجموعه ای از عناصر حجم، سطح، خط یا نقطه است. این بدان معنی است که spatial.detF نسبت حجم ها در حوزه های مدل های سه بعدی، نسبت مساحت ها در حوزه های مدل های صفحه دو بعدی و مرزهای مدل های سه بعدی، و نسبت طول ها در مرزهای مدل های دو بعدی و لبه ها در مدل های سه بعدی است. در نقاط، spatial.detF برابر با 1 است.
material.F، material.invF، material.detF، و material.detInvF
این متغیرها در قیاس کامل با متغیرهای فضایی متناظر تعریف شده‌اند ، اما بر اساس رابطه بین مختصات قاب مادی X و مختصات قاب هندسی X g .
هندسه متقارن محوری
هندسه های متقارن محوری به منظور تعریف ماتریس های تبدیل و متغیرهای فاکتورهای حجمی مانند جامدات سه بعدی در نظر گرفته می شوند. به طور خاص، جابجایی شعاعی مش باعث ایجاد یک تبدیل غیر واحدی در جهت ازیموتال می‌شود، در قیاس با کرنش ازیموتال ناشی از جابجایی شعاعی در یک جسم جامد متقارن محور. ماتریس های تبدیل spatial.F و spatial.InvF عبارتند از:
و
فاکتورهای حجم/مساحت/طول spatial.detF و spatial.detInvF همچنین شامل ضریب کرنش آزیموتال r / R می‌شوند ، به طوری که آنها برآورده می‌شوند.
که در آن D هر مجموعه ای از عناصر سطح، خط یا نقطه در یک هندسه متقارن محور است. این بدان معنی است که spatial.detF نسبت حجم ها در دامنه ها، نسبت مساحت ها بر روی مرزها و نسبت طول ها در موجودیت های نقطه ای است.
