سیستم لورنز سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی (معادلات لورنز) است که برای اولین بار توسط ادوارد N. Lorenz مورد مطالعه قرار گرفت. برای مقادیر پارامترهای خاص و شرایط اولیه، سیستم ODE ها راه حل های آشفته ای دارد. سپس راه حل یک جاذبه به اصطلاح عجیب به نام جاذبه لورنز است که توسط لورنز در سال 1962 کشف شد.

معادلات لورنز به عنوان یک مدل ریاضی ساده شده برای همرفت اتمسفر توسعه داده شد. آنها سیستمی از سه ODE جفت شده با سه حالت (درجات آزادی)، u ، v و w هستند :

در اینجا، پارامترهای a ، b و c به طور کلی اعداد اسکالر مثبت هستند. همه راه حل ها آشفته نیستند، اما لورنز دریافت که مقادیر 10، 8/3، و 28، به ترتیب، یک سیستم لورنز با رفتار آشفته را نشان می دهند.

برای مقادیر پارامتر در جدول 1 ، راه حل این سیستم معادلات به یک جسم هندسی در فضای فازی که توسط مختصات راه حل ( u ,  v ,  w ) تعریف شده است نزدیک می شود که یک جاذبه عجیب یا جاذبه لورنز نامیده می شود.. می توان نشان داد که این شی از یک توپولوژی هندسی استاندارد، مانند یک دیسک (با بعد 2) یا یک خط (با بعد 1) نیست، بلکه توپولوژی عجیب دیگری با ابعاد فراکتالی بزرگتر از 2 است. علاوه بر این، تقریباً تمام اختلالات به راه حل با گذشت زمان به سرعت رشد می کند. به عنوان نمونه ای از این رفتار، مدل از یک راه حل اولیه نزدیک به جذب کننده شروع می کند و بررسی می کند که چگونه یک اختلال بسیار کوچک در این داده های اولیه رشد می کند. به طور دقیق تر، راه حل اولیه استفاده شده در اینجا ( u ,  v ,  w ) = (- 10,  – 4.45, 35.1 ) است که در حالت آشفته دوم به ( u ,  v ,  w تغییر می کند.) = (- 10 + pert ,  − 4.45 + pert , 35.1 + pert ) که در آن pert  =  10 − 11 . برای اطمینان از اینکه تفاوت بین مسائل بدون اغتشاش و اغتشاش بزرگتر از خطاهای عددی است، تلورانس های مورد استفاده در هنگام حل مدل بسیار دقیق هستند. یک ضریب تحمل مطلق پیش فرض 0.1 استفاده می شود، به این معنی که تلورانس مطلق 0.1 برابر TOL تحمل نسبی استفاده شده در مدل است.

ابتدا خطاهای عددی را در نظر بگیرید. جدول 2 نتایج حل ( u ،  v ،  w ) را برای دو شبیه سازی بدون اغتشاش با TOL  =  10-15 و TOL  =  10-16 ، به ترتیب در زمان های t = 20 ، 25، 30 ، و 35 نشان می دهد  .  واضح است که برای t  =  20 همه 5 رقم نمایش داده شده نتیجه موافق هستند، که نشانه ای قوی از یک راه حل بسیار دقیق است. در مقابل، در حال حاضر در t  = 30 فقط دو رقم صحیح باقی مانده است. هم خطاهای عددی و هم آشفتگی ها در طول زمان رشد خواهند کرد. در نهایت هیچ رقمی با این روش و این تلرانس ها درست نمی شود.

شکل 1 نشان می دهد که چگونه تفاوت بین مشکلات بدون مزاحمت و آشفته با گذشت زمان افزایش می یابد. نمودار تفاوت مطلق بین دو راه حل را برای دقیق ترین (مقدار) مقدار تحمل به عنوان تابعی از زمان همراه با تخمینی برای میانگین نرخ رشد ارائه شده توسط e λ t نشان می دهد ، که در آن λ =  0.9، حداکثر توان لیاپانوف برای این مدلبا توجه به ادبیات توجه داشته باشید که نمودار از یک محور عمودی با مقیاس لگاریتمی استفاده می کند. همانطور که نمودار نشان می دهد، رشد اختلاف به مقدار صحیح نزدیک است تا زمانی که به O(1) برسد، پس از آن رشد چندانی ندارد. دلیل آن این است که همه راه حل ها به جذب کننده نزدیک می شوند، بنابراین تفاوت محدود می شود.

با مجموعه ای از مقادیر پارامتر انتخاب شده، سیستم لورنز به عنوان یک جاذبه لورنز رفتار می کند. نمودار مسیرهای نقطه ای در شکل 2 فضای فاز، مشخصه “پروانه” یا “شکل هشت” این جاذبه را نشان می دهد.

برخی از نکات کلیدی برای تنظیمات، حل، و تجسم نتایج برای جذب کننده لورنز در COMSOL Multiphysics:

از منوی File ، New را انتخاب کنید .

در پنجره جدید ، روی  Model  Wizard کلیک کنید .

ODE های اینجا بدون بعد هستند، بنابراین از هیچ سیستم واحدی استفاده نکنید.

پارامترهای a ، b و c پارامترهای سیستمی برای سیستم لورنز ODE ها هستند. مقادیر پیش فرض 10، 8/3 و 28 به ترتیب مقادیری هستند که لورنز استفاده کرده است.

از یک رابط جهانی ODEs و DAEs برای وارد کردن سه ODE که یک سیستم Lorenz را تعریف می کنند، استفاده کنید. داده های اولیه را نزدیک به جاذبه عجیب انتخاب کنید تا حساسیت آن را مطالعه کنید. اغتشاش به همه اجزاء اضافه می شود.

برای یک راه حل دقیق، از روش صریح Dormand-Prince 5 time-stapping استفاده کنید. تلورانس برای این روش به طور سیستماتیک تغییر خواهد کرد.

در نوار ابزار مطالعه ، روی  Show  Default  Solver کلیک کنید .

از یک Sweep پارامتریک برای مطالعه اثر یک اغتشاش کوچک بر داده های اولیه و تغییرات در یک تحمل حل کننده بسیار دقیق استفاده کنید.

از یک نمودار جهانی برای تجسم نحوه تغییر راه حل به دلیل اغتشاش کوچک استفاده کنید و یک رشد نمایی مطابق با بزرگترین توان لیاپانوف 0.9 که در ادبیات گزارش شده برای مقایسه اضافه کنید. توجه داشته باشید که چگونه رشد متوقف می شود زمانی که انحراف از O (1) است. این توسط اثر جاذبه ایجاد می شود. انحرافات نمی توانند بزرگتر باشند، زیرا همه راه حل ها به جذب کننده نزدیک هستند.

از نمودار مسیرهای نقطه ای برای تجسم راه حل سیستم لورنز به عنوان مسیرهای نقطه ای همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است استفاده کنید .

در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add  Plot  Group کلیک کنید و 3D  Plot  Group را انتخاب کنید .

مراحل زیر یک انیمیشن از جاذبه لورنز ایجاد می کند.

سپس، راه حل بدون اغتشاش را در زمان های انتخابی ارزیابی کنید و با مقایسه مقادیر دو تلورانس مورد استفاده، میزان دقت آن را مطالعه کنید. توجه داشته باشید که چگونه چندین رقم برای مقادیر زمانی متوسط ​​یکسان هستند، در حالی که هیچ رقمی در زمان نهایی یکسان نیست.