رابط PDE فرم عمومی یک رابط عمومی برای تعیین و حل PDE ها در فرم عمومی ارائه می دهد. این قالب ارتباط نزدیکی با قوانین حفاظتی دارد که بر بسیاری از حوزه‌های فیزیک حاکم است. با فرض اینکه با یک متغیر وابسته u کار می کنید ، شکل کلی به این صورت است:
(16-1)
جایی که
|
•
|
Ω دامنه محاسباتی است. اتحاد همه دامنه ها
|
|
•
|
∂Ω مرز دامنه است
|
|
•
|
n بردار عادی واحد بیرونی روی ∂Ω است
|
اولین خط (معادله) معادله 16-1 PDE است که باید در Ω برآورده شود . معادلات دوم، سوم و چهارم شرایط مرزی هستند که باید روی ∂Ω باقی بمانند . معادله دوم تعمیم یک شرط مرزی نویمان است . معادله سوم یک محدودیت کلی است که شرط مرزی دیریکله در خط چهارم یک مورد خاص از آن است.
عبارات Γ ، f ، g ، q ، R و r ضرایب تعریف شده توسط کاربر هستند. آنها می توانند توابعی از مختصات فضایی، راه حل u ، زمان، مشتقات مکان و زمان u (به متغیرهای رابط PDE مراجعه کنید)، و همچنین سایر متغیرهای از پیش تعریف شده و تعریف شده توسط کاربر. ضرایب f ، g ، q ، R و r اسکالر هستند، در حالی که Γ بردار شار است .
در کاربردهای عملی، Γ معمولاً شار یک کمیت حفظ شده مانند گرما، بار، جرم یا تکانه را نشان می دهد. این شار معمولاً به روشی تجربی، از طریق یک قانون مادی، به گرادیان متغیر وابسته مرتبط است. بنابراین، Γ معمولاً برداری است که اجزای آن توابعی از مشتقات متغیر وابسته هستند. بردار شار همچنین می‌تواند شامل عبارت‌هایی باشد که متناسب با یک میدان سرعت هستند، زمانی که انتقال همرفتی کمیت حفظ شده وجود داشته باشد. ساختار معادله 16-1 نشان می دهد که مولفه نرمال Γ در هر سطحی در داخل حوزه، Ω ، پیوسته است .
شرایط مرزی برای فرم عمومی PDE
در اصطلاحات اجزای محدود، شرط مرزی در خط دوم معادله 16-2 ، مربوط به شرایط مرزی نویمان، شرط مرزی طبیعی نامیده می‌شود ، زیرا به صراحت در شکل ضعیف مسئله PDE رخ نمی‌دهد. در واسط های PDE، شرایط مربوطه شار یا منبع نامیده می شود ، زیرا مقدار شار عددی Γ را در مرز مشخص می کند.
محدودیت ها و شرایط دیریکله نیز به عنوان شرایط مرزی ضروری در نظریه اجزای محدود شناخته می شوند، زیرا محدودیتی را بر فضای آزمایشی اعمال می کنند که بخشی از معادله اصلی نیست. در رابط های PDE، بین شرایط مرزی دیریکله و محدودیت ها تمایز قائل می شود . محدودیت کلی در خط 3 از معادله 16-2 مشخص می کند که یک عبارت دلخواه برابر با صفر در مرز است: R = 0 . شرط دیریکله در خط 4 همان معادله یک مورد خاص است که مستقیماً مقدار متغیر وابسته را در مرز مشخص می کند: u = r . این باعث می شود که محدودیت یک شرط مرزی عمومی تر باشد.
عبارت -h T μ در شرایط تعمیم یافته نیومن یک عبارت واکنشی است که محدودیت R = 0 را اعمال می کند . وقتی شرایط واکنش به طور متقارن روی همه متغیرهای وابسته اعمال می شود،
اما تعاریف دیگری نیز ممکن است. متغیر μ یک ضریب لاگرانژ است که با استفاده از قیود استاندارد توسط حل کننده ها حذف می شود و بنابراین به طور معمول به طور صریح در معادلات ظاهر نمی شود.
 |
برای جزئیات بیشتر در مورد فرمول‌بندی‌های وابسته به زمان و مقدار ویژه، به حل مسائل وابسته به زمان و حل مسائل ارزش ویژه مراجعه کنید .
|
 |
|
