Weak Form PDE یک رابط کلی برای تعیین و حل PDE ها در فرم ضعیف ارائه می دهد.
شکل ضعیف هیچ ضرایبی را تعریف نمی کند و حتی معادلات مختلف را در یک سیستم معادلات جدا نمی کند. هنگامی که یک PDE و شرایط مرزی آن را به شکل ضعیف مشخص می‌کنید، مشارکت در یک معادله با فرم ضعیف عمومی را مشخص می‌کنید، که برای یک مدل سه‌بعدی می‌خواند:
(16-9)
این معادله ضعیف دارد
|
•
|
سهم N 3 دامنه W i 3 ، هر کدام در انتخاب دامنه Ω i یکپارچه شده است
|
|
•
|
سهم مرزی N 2 W j 2 , هر کدام روی انتخاب مرز δΩ j ادغام شده است
|
|
•
|
سهم N 1 لبه W k 1 , هر کدام روی انتخاب لبه δ 2 Ω k ادغام شده است
|
|
•
|
سهم N 0 نقطه W m 0 ، هر کدام در انتخاب نقطه δ 3 Ω m جمع شده است
|
برای مشخص کردن معادله 16-8 ، در حالت 3 بعدی، N 3 = N 2 = 1، N 1 = N 0 = 0، W 1 3 = ∇υ⋅Γ + υ f و W 1 2 = = υ G را شناسایی کنید و بدست آورید.
(16-10)
توجه داشته باشید که همه مشارکت‌ها در یک معادله انتگرال بدون ترتیب خاصی جمع می‌شوند. بنابراین، اینکه دو معادله را در مشارکت جداگانه بنویسید یا آنها را در یک سهم مجزا جمع کنید، معمولاً مهم نیست. با این حال، یک هشدار کوچک وجود دارد: شاخص روی dV i ، dAj ، و dL k نشان می دهد که هر مشارکت ممکن است به روشی متفاوت ادغام شود . ادغام را می توان با توجه به مختصات مادی یا فضایی و علاوه بر این، با استفاده از ترتیبات مربعی عددی مختلف انجام داد. اما در حالی که در داخل یک رابط PDE کار می کنید، همه مشارکت ها به یک روش ادغام می شوند.
با استفاده از اپراتور تست
هنگام تعیین سهم ضعیف، می‌توانید از همه متغیرهایی که معمولاً برای ارزیابی در مشارکت‌های معادله و در حین پس پردازش در دسترس هستند، استفاده کنید. این شامل متغیرهای مستقل (مختصات)، متغیرهای وابسته و مشتقات آنها و سایر متغیرها، پارامترها و ثابت های از پیش تعریف شده و تعریف شده توسط کاربر است. علاوه بر این، باید از عملگر تست برای تمایز بین توابع تست و راه حل استفاده کنید.
 |
عملگر آزمون باید همیشه به صورت خطی در هر سهم شکل ضعیف رخ دهد. مشارکت ها یا اصطلاحات بدون هیچ عملگر آزمایشی نادیده گرفته می شوند، در حالی که اصطلاحات غیرخطی در عملگر آزمایشی یک خطا در نظر گرفته می شوند.
|
در بسیاری از موارد، کافی است به عملگر آزمایش اجازه دهیم که مستقیماً روی متغیرهای وابسته و مشتقات آنها عمل کند. به عنوان مثال، شکل ضعیف معادله 16-10 در دو بعد است
test(u)*f+(Gammax*test(ux)+Gammay*test(uy))
در سطح دامنه، و
تست (u) *G
در سطح مرز Gammax و Gammay متغیرهایی هستند که مؤلفه های Γ را نشان می دهند و f و G به ترتیب متغیرهایی هستند که نشان دهنده f و G هستند .
در برخی موارد، درج یک عبارت یا متغیر تعریف شده توسط کاربر در تابع تست راحت تر است. یکی از نمونه‌های آن، مکانیک جامدات غیرخطی هندسی است، که در آن شکل ضعیف را می‌توان به صورت مجموع عبارات S_i*test(E_i) نوشت ، جایی که S_i اندازه‌گیری تنش و E_i اندازه‌گیری کرنش مزدوج آن است.
هنگامی که یک عبارت غیرخطی – به عنوان مثال، یک کرنش سبز-لاگرانژ – در عملگر آزمایشی درج می شود ، عملگر به عنوان یک عملگر دیفرانسیل خطی عمل می کند. این بدان معنی است که عبارت آرگومان ابتدا با توجه به هر متغیر وابسته ای که در آن موجود است متمایز می شود و سپس نتایج در تابع آزمون متغیر مربوطه ضرب می شود. بنابراین، معادله گرما ممکن است به طور متناوب به صورت q*test(u)-0.5*k*test(ux^2+uy^2) اجرا شود . استفاده از قانون زنجیره در ترم دوم با عملگر آزمایشی به عنوان عملگر دیفرانسیل، شکل ضعیف استاندارد معادله داده شده در بالا را برمی گرداند.
در مثالی دیگر، تست ( F ( u , ∇ u )) ، عملگر تست معادل است با:
برای همه متغیرهای وابسته u i .
 |
برای اطلاعات بیشتر در مورد عملگر آزمایشی و سایر عملگرها، به عملگرها، توابع و ثابت ها مراجعه کنید .
|
