Coefficient Form PDE یک رابط عمومی برای تعیین و حل بسیاری از PDE های شناخته شده در فرم ضریب فراهم می کند.
بسیاری از PDE ها که از واسط های فیزیک و سایر زمینه ها نشات می گیرند، می توانند به شکل عمومی حاوی مشتقات تا درجه دوم در زمان و مکان ریخته شوند. در COMSOL Multiphysics، می توانید با تعیین ضرایب برای مشتقات مرتبه های مختلف، یک PDE از این نوع تعریف کنید. این منجر به یک ضریب PDE می شود که برای یک متغیر وابسته u می خواند:
(16-2)
جایی که
|
•
|
Ω دامنه محاسباتی است. اتحاد همه دامنه ها
|
|
•
|
∂Ω مرز دامنه است
|
|
•
|
n بردار عادی واحد بیرونی روی ∂Ω است
|
اولین خط (معادله) معادله 16-2 PDE است که باید در Ω برآورده شود . معادلات دوم و سوم شرایط مرزی هستند که باید روی ∂Ω باقی بمانند . معادله دوم تعمیم یک شرط مرزی نویمان است. معادله سوم یک قید کلی است که شرط مرزی دیریکله به عنوان یک حالت خاص است. برای اطلاعات بیشتر در مورد شرایط مرزی، به فرم عمومی PDE مراجعه کنید .
برای تعریف یک PDE بر روی فرم ضریب در یکی از واسط های PDE، ضرایب c ، α ، γ ، β ، و a و عبارت های مرزی f ، g ، R و r را مشخص می کنید . همه آنها می توانند توابعی از مختصات مکانی و همچنین متغیرهای وابسته و مشتقات آنها، زمان و سایر متغیرها و پارامترهای از پیش تعریف شده یا تعریف شده توسط کاربر باشند. هنگامی که ضرایب فقط با مختصات مکانی (یا ثابت هستند) تغییر می کنند، یک PDE تضمین می شود که خطی باشد. یک PDE غیرخطی است اگر c , α , β ,ضرایب a ، h یا q به u یا مشتقات آن (به عنوان مثال، اجزای ∇ u ) بستگی دارد، یا اگر γ ، f ، g ، R یا r در u غیرخطی باشند .
برای یک متغیر وابسته منفرد u ، همه ضرایب موجود در معادله فوق اسکالر هستند به جز α ، β و γ ، که بردارهایی با n جزء هستند. ضریب c ممکن است به صورت متناوب به صورت اسکالر یا ماتریس n -by- n برای مدل سازی مواد ناهمسانگرد داده شود. هنگامی که از فرم ضریب برای مدلسازی یک سیستم معادلات استفاده می‌شود، ضرایب با ابعاد بردار و ماتریس اضافی با اشاره به شاخص متغیر وابسته گسترش می‌یابد. بیشتر متغیرهای وابسته چندگانه – سیستم معادلات را ببینید .
فرم ضریب در مقابل فرم عمومی
مقایسه رابطه 16-2 با معادله 16-1 نشان می دهد که شکل ضریب فقط یک مورد خاص از شکل کلی است. با اعمال جانشینی های زیر در شکل کلی، معادله 16-1 ، آن را به شکل ضریب تبدیل می کند:
(16-3)
این دوگانگی به شما امکان می‌دهد نمایشی را انتخاب کنید که در آن پیاده‌سازی یک PDE خاص راحت‌تر است. هیچ تفاوتی در عملکرد وجود ندارد.
تفسیر ضرایب PDE
فرمول‌های PDE در COMSOL Multiphysics می‌توانند مسائل مختلفی را مدلسازی کنند، اما این راهنما، و همچنین رابط، از نام‌های توصیفی برای ضرایبی استفاده می‌کند که در حوزه مکانیک پیوسته و انتقال جرم قرار می‌گیرند. برای فرم ضریب PDE:
|
•
|
e a ضریب جرم است.
|
|
•
|
d a یک ضریب میرایی یا ضریب جرمی است.
|
|
•
|
c ضریب انتشار است.
|
|
•
|
α ضریب همرفت شار محافظه کارانه است.
|
|
•
|
β ضریب همرفت است.
|
|
•
|
a ضریب جذب است.
|
|
•
|
γ اصطلاح منبع شار محافظه کارانه است.
|
|
•
|
f عبارت منبع است.
 |
برای شرط مرزی نویمان از فرم ضریب
|
•
|
g عبارت منبع مرزی است.
|
|
•
|
q ضریب جذب مرزی است.
|
 |
بسیاری از مشکلات PDE جالب وجود دارد که این تفاسیر در مورد آنها صدق نمی کند. به عنوان مثال، یک PDE هماهنگ با زمان مانند معادله هلمهولتز یک پدیده وابسته به زمان را نشان می دهد که به حوزه فرکانس تبدیل شده است، و ضریب a را جرمی به جای ترم جذب می کند.
|
نمادهای فشرده و استاندارد برای PDE های کلاسیک
بسیاری از PDE های کلاسیک نمونه هایی از ضریب PDE هستند. PDE های کلاسیک دارای رابط های مخصوص به خود هستند که هنگام افزودن یک رابط، در زیر شاخه Mathematics>Classical PDEs ( ) یافت می شوند. جدول 16-1 PDE های کلاسیک موجود را با استفاده از دو نماد نشان می دهد: نماد فشرده تجزیه و تحلیل برداری (استفاده شده در این مستندات) و نماد مولفه توسعه یافته.
|
معادله
|
علامت گذاری فشرده
|
نماد کامپوننت (2D)
|
|
معادله لاپلاس
|
 |
 |
|
معادله پواسون
|
 |
 |
|
معادله هلمهولتز
|
 |
 |
|
معادله حرارت
|
 |
 |
|
معادله موج
|
 |
 |
|
معادله همرفت – انتشار
|
 |
 |
 |
مقادیر پیش‌فرض 1 برای f و c و − 1 برای a هستند ، بنابراین معادله هلمهولتز پیش‌فرض، برای مثال، -Δ u – u = 1 است .
|
 |
|
