معادلات دیفرانسیل جزئی فیزیک معمولاً یا در یک سیستم مختصات فضایی ، با محورهای مختصات ثابت در فضا، یا در یک سیستم مختصات مادی ، ثابت شده بر روی ماده در پیکربندی مرجع آن و به دنبال ماده در هنگام تغییر شکل، فرموله می‌شوند. اولی اغلب به عنوان یک فرمول اویلری نامیده می شود ، در حالی که دومی یک فرمول لاگرانژی است.
مکانیک ساختاری و سایر زمینه‌های فیزیک که با یک ماده احتمالاً ناهمسانگرد و جامد سروکار دارند، به راحتی با استفاده از مختصات مواد شبیه‌سازی می‌شوند. فرمول لاگرانژی خواص ناهمسانگرد ماده را مستقل از جهت گیری فضایی فعلی ماده می کند.
با این حال، اگر تمرکز بر شبیه سازی حالت فیزیکی در نقاط ثابت در فضا باشد، فرمول اویلری معمولا راحت تر است. به ویژه، هنگامی که مایعات و گازها درگیر هستند، ردیابی وضعیت تک تک ذرات ماده اغلب غیرمنطقی است. در عوض، مقادیر مورد نظر فشار، دما، غلظت و غیره در موقعیت‌های ثابت در فضا هستند.
یک مشکل ذاتی با فرمول اویلری خالص این است که نمی تواند مرزهای حوزه متحرک را کنترل کند، زیرا کمیت های فیزیکی به نقاط ثابت در فضا ارجاع می شوند، در حالی که مجموعه نقاط فضایی داخل مرزهای دامنه با زمان تغییر می کند. بنابراین، برای اجازه دادن به مرزهای متحرک، معادلات اویلری باید بازنویسی شوند تا تمام کمیت های فیزیکی را به عنوان توابع برخی از سیستم مختصاتی که در آن مرزهای دامنه ثابت هستند، توصیف کنند. مش المان محدود یکی از این سیستم ها را ارائه می دهد: مختصات مش .
در سیستم مختصات مش، دامنه ثابت است و یک نقشه یک به یک از مختصات مش تا پیکربندی فضایی فعلی دامنه وجود دارد. در غیر این صورت، سیستم مختصات مش را می توان آزادانه و جدا از هر دو سیستم فضایی و مادی تعریف کرد. انتخاب طبیعی این است که اجازه دهید سیستم مختصات مش، حداقل در ابتدا، با مختصات هندسه منطبق شود . این بلافاصله از نحوه ایجاد مش ها ناشی می شود و به این معنی است که نقاط در دامنه با موقعیت آنها در هندسه اصلی شناسایی می شوند.
با تغییر شکل دامنه و مش، نقشه از مختصات مش به مختصات فضایی می تواند به طور فزاینده ای نامطلوب شود. قبل از اینکه تخریب نگاشت مش بیش از حد پیش برود، می توانید با استفاده از عملیات مش بندی مجدد، شبیه سازی را متوقف کنید، یک مش جدید در پیکربندی فعلی دامنه ایجاد کنید و همه مقادیر را به مش جدید نگاشت کنید. هنگامی که شبیه سازی را مجدداً راه اندازی می کنید، نقاط موجود در دامنه به صورت داخلی با مختصات مش جدیدشان شناسایی می شوند که با مختصات فضایی در حالتی که شبیه سازی متوقف شده است، مطابقت دارد. بنابراین، هندسه و مختصات مش یک نقطه داده شده پس از تغییر شکل هندسه تغییر شکل یافته متفاوت است.
بازنویسی معادلات فیزیک به این روش، بر روی یک شبکه متحرک آزادانه، منجر به روش دلخواه لاگرانژی-اولری (ALE) می شود. در حالت خاصی که نقشه از مختصات مش تا مختصات فضایی از تغییر شکل ماده پیروی می کند، یک روش لاگرانژی بازیابی می شود. به طور مشابه، زمانی که نقشه یک نقشه هویت است، روش ALE کاملاً اویلری می شود.
بنابراین، روش ALE یک واسطه بین روش‌های لاگرانژی و اولری است و بهترین ویژگی‌های هر دو را ترکیب می‌کند: اجازه می‌دهد مرزهای متحرک بدون نیاز به حرکت مش برای دنبال کردن مواد.
