هنگامی که یک مش دارید، می توانید تقریبی را به متغیرهای وابسته معرفی کنید. برای این بحث، روی حالت یک متغیر وابسته، u تمرکز کنید . ایده این است که u را با تابعی تقریب کنیم که بتوان آن را با تعداد محدودی از پارامترها توصیف کرد، به اصطلاح درجات آزادی (DOF). درج این تقریب در شکل ضعیف معادله، سیستمی از معادلات را برای درجات آزادی ایجاد می کند.
با یک مثال ساده شروع کنید: عناصر خطی در یک بعدی. فرض کنید یک مش فقط از دو بازه مش تشکیل شده است: 0 < x < 1 و 1 < x < 2 . عناصر خطی به این معنی است که در هر بازه مش، تابع پیوسته u خطی (affine) است. بنابراین، تنها چیزی که برای مشخص کردن u منحصر به فرد باید بدانید، مقادیر آن در نقاط گره x 1 = 0 ، x 2 = 1 و x 3 = 2 است . اینها را U 1 = نشان دهیدu ( 0 )، U 2 = u ( 1 )، U 3 = u ( 2 ). اینها درجات آزادی است .
حالا می توانید بنویسید
که در آن 
توابع خطی تکه ای خاصی وجود دارد. یعنی 
تابعی است که در هر بازه مش خطی است، در نقطه گره i برابر با 1 و در نقاط گره دیگر برابر با 0 است. مثلا،
توابع خطی تکه ای خاصی وجود دارد. یعنی تابعی است که در هر بازه مش خطی است، در نقطه گره i برابر با 1 و در نقاط گره دیگر برابر با 0 است. مثلا،
توابع 
پایه نامیده می شوند . مجموعه توابع u ( x ) یک فضای تابع خطی به نام فضای اجزای محدود است .
پایه نامیده می شوند . مجموعه توابع u ( x ) یک فضای تابع خطی به نام فضای اجزای محدود است .برای دقت بهتر، فضای المان محدود دیگری را مطابق با عناصر درجه دوم در نظر بگیرید. توابع u در این فضا چند جمله ای های مرتبه دوم در هر بازه مش هستند. برای مشخص کردن چنین تابعی، نقاط گره جدیدی را در نقطه میانی هر بازه مش معرفی کنید: x 4 = 0.5 و x 5 = 1.5 . همچنین باید درجات آزادی مربوطه را معرفی کنید U i = u ( x i ). سپس، در هر بازه مش، چند جمله ای درجه دوم u ( x ) با درجه آزادی در نقاط انتهایی و نقطه میانی تعیین می شود. در واقع، شما دریافت می کنید
که در آن توابع پایه 
اکنون معنای متفاوتی دارند. به طور خاص، 
تابعی است که در هر بازه مش درجه دوم است، در نقطه گره i برابر با 1 و در نقاط گره دیگر برابر با 0 است. مثلا،
اکنون معنای متفاوتی دارند. به طور خاص، تابعی است که در هر بازه مش درجه دوم است، در نقطه گره i برابر با 1 و در نقاط گره دیگر برابر با 0 است. مثلا،
به طور کلی، شما با دادن مجموعه ای از توابع پایه، یک فضای المان محدود را مشخص می کنید. شرح توابع پایه با معرفی مختصات محلی (باری مرکزی ) ξ i ساده می شود . یک عنصر مش با بعد d را در یک هندسه n بعدی در نظر بگیرید (که مختصات فضایی آن با x 1 ،…، x n مشخص شده است ). سیمپلکس استاندارد d بعدی را نیز در نظر بگیرید
که در فضای مختصات محلی قرار دارد که توسط مختصات محلی ξ 1 , …, ξ d . اگر d = 1 باشد، این سیمپلکس بازه واحد است. اگر d = 2 باشد، مثلثی است با دو زاویه 45 درجه و اگر d = 3 باشد، چهار وجهی است. اکنون می توانید عنصر مش را به عنوان تبدیل خطی سیمپلکس استاندارد در نظر بگیرید. یعنی، با اجازه دادن به مختصات فضایی سراسری x i توابع خطی مناسب مختصات محلی، عنصر مش را به عنوان تصویر سیمپلکس استاندارد دریافت می کنید.
هنگامی که بر اساس مختصات محلی توصیف می شود، توابع پایه یکی از چند شکل اساسی را به خود می گیرند. اینها توابع شکل هستند . در مثال با عناصر خطی در 1 بعدی، هر تابع پایه بر روی هر عنصر مش یکی از موارد زیر است:
بنابراین دو مورد اول توابع شکل در این مثال هستند ( 0 به عنوان یک تابع شکل محاسبه نمی شود). در مثال با عناصر درجه دوم در یک بعدی، توابع شکل هستند
عناصر مش منحنی
هنگام استفاده از عناصر مرتبه بالاتر (یعنی عناصر یک مرتبه > 1)، راه حل دارای خطای کمتری است. خطا همچنین به این بستگی دارد که مش چقدر به مرز واقعی هندسه مدل نزدیک می شود. برای حفظ خطاها در تقریب المان محدود و تقریب مرزی در یک سطح، عاقلانه است که از عناصر مش منحنی استفاده کنید . آنها عناصر مش اعوجاج هستند که می توانند بهتر از عناصر مستقیم معمولی (اگر مرز مدل منحنی باشد) یک مرز را تقریب بزنند. می‌توانید با نوشتن مختصات سراسری x i به‌عنوان چندجمله‌ای از مرتبه k ( ترتیب تابع شکل هندسی ) در مختصات محلی ξj ، عناصر مش منحنی را دریافت کنید (مثال قبلی k را در نظر گرفت.= 1 ). سپس عنصر مش تصویر سیمپلکس استاندارد است. مرسوم است که در اینجا از همان مرتبه k برای ترتیب عنصر (لاگرانژ) استفاده می شود. این به عنوان استفاده از عناصر ایزوپارامتری نامیده می شود .
مرتبه k با ترتیب تابع شکل هندسی برای قاب (سیستم مختصات) مرتبط با عنصر محدود تعیین می شود. قاب توسط قاب ویژگی به عنصر محدود تعیین می شود (پیش فرض قاب مرجع است). برای برخی از عناصر محدود، تابع شکل هندسی ارائه شده توسط قاب می‌تواند با مرتب‌سازی ویژگی نادیده گرفته شود . در COMSOL Desktop، تنظیمات پیش‌فرض استفاده از ترتیب تابع شکل هندسی خودکار است، به این معنی که ترتیب تابع شکل هندسی برابر با بالاترین مرتبه هر تابع شکلی است که در مدل استفاده می‌شود.
اگر یک عنصر مش منحنی بیش از حد اعوجاج پیدا کند، می تواند معکوس شود و در محلول مشکل ایجاد کند. سپس نرم افزار می تواند ترتیب تابع شکل هندسی را بطور خودکار کاهش دهد تا از عناصر معکوس جلوگیری شود.
 |
|
مختصات محلی برای انواع عناصر مختلف
انواع عناصر مش موجود در COMSOL دارای نمایش های زیر در مختصات محلی ξ 1 , …, ξ d :
|
نوع عنصر مش
|
مختصات محلی
|
|
حاشیه، غیرمتمرکز
|
 |
|
مثلث
|
 |
|
چهار ضلعی
|
 |
|
چهار وجهی
|
 |
|
شش وجهی
|
 |
|
منشور
|
 |
|
هرم
|
 |
