مدل سازی فعالیت الکتریکی در بافت قلب گام مهمی در درک الگوهای انقباضات و اتساع قلب است. قلب پالس های الکتریکی ریتمیک تولید می کند که از نقطه ای به نام گره سینوسی شروع می شود. پالس های الکتریکی به نوبه خود باعث انقباضات مکانیکی عضله می شوند. در یک قلب سالم، این پالس‌های الکتریکی از بین می‌روند، اما تعدادی از بیماری‌های قلبی با افزایش خطر ورود مجدد سیگنال‌ها همراه است. این بدان معنی است که نبض ثابت طبیعی مختل می شود، یک وضعیت شدید و حاد که اغلب به عنوان آریتمی شناخته می شود.

در این مثال، جنبه‌های مختلف انتشار سیگنال الکتریکی در بافت قلب با استفاده از معادلات فیتز هیو-ناگومو و معادلات گینزبورگ-لاندو مورد مطالعه قرار گرفته‌اند که هر دو بر اساس یک هندسه حل شده‌اند. الگوهای جالبی که از این نوع مدل‌ها پدید می‌آیند، برای مثال، امواج مارپیچی هستند که در زمینه سیگنال‌های الکتریکی قلبی، می‌توانند اثراتی مشابه آنچه در آریتمی قلبی مشاهده می‌شود ایجاد کنند.

نشان داده شده است که بسیاری از ویژگی های مهم انتشار سیگنال الکتریکی در بافت قلب را می توان با کلاسی از معادلات که محیط های تحریک پذیر را توصیف می کند ، یعنی موادی متشکل از بخش های اولیه یا سلول هایی با ویژگی های اساسی زیر بازتولید کرد:

رسانه تحریک پذیر یک مفهوم نسبتاً کلی است که برای مدل سازی تعدادی از پدیده های مختلف از جمله پالس های عصبی، گسترش آتش سوزی جنگل ها و انواع خاصی از واکنش های شیمیایی، علاوه بر سیگنال های الکتریکی در بافت قلب مفید است. یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های کیفی که توسط رسانه‌های تحریک‌پذیر نشان داده می‌شود، و به همان اندازه مخرج مشترک بین تنوع پدیده‌های ذکر شده در بالا، میرایی تقریباً فوری سیگنال‌ها در زیر یک آستانه معین است. از سوی دیگر، سیگنال های بیش از این آستانه بدون میرایی منتشر می شوند.

قلب با عبور جریان یونی در داخل عضله کار می کند، بنابراین انقباضات ریتمیکی را که خون را به داخل و خارج پمپاژ می کند، تحریک می کند. یون ها از طریق منافذ یا دروازه های کوچک در غشای سلولی حرکت می کنند که می تواند باز (حالت تحریک) یا بسته (حالت استراحت) باشد.

در سلول‌های عصبی و سلول‌های قلبی، سه ویژگی انتزاعی رسانه‌های تحریک‌پذیر به‌صورت زیر آشکار می‌شوند:

وضعیت دروازه های غشایی در مقیاس میکروسکوپی تصادفی است، اما احتمال یک حالت داده شده را می توان به عنوان تابع پیوسته ولتاژ مدل کرد، بنابراین یک توصیف پیوسته ماکروسکوپی متوسط ​​جریان جریان را امکان پذیر می کند.

معادلات FitzHugh-Nagumo برای محیط های تحریک پذیر ساده ترین مدل فیزیولوژیکی را با دو متغیر، یک فعال کننده و یک بازدارنده، توصیف می کند . در این مدل‌های قلب، متغیر فعال‌کننده با پتانسیل الکتریکی مطابقت دارد، و بازدارنده متغیری است که احتمال باز بودن منافذ غشاء و آماده برای انتقال جریان یونی وابسته به ولتاژ را توصیف می‌کند.

معادلات گینزبورگ -لانداو یک روش نسبتاً ساده برای مدل‌سازی برخی از جنبه‌های انتقال ارائه می‌کند که توسط بسیاری از سیستم‌های دینامیکی تحت تأثیر محرک‌های خارجی قوی، از رفتار نوسانی دوره‌ای به حالت آشفته با افزایش تدریجی دامنه نوسانات و کاهش تناوب نمایش داده می‌شود.

اگرچه اولین استفاده از آنها برای توصیف نظریه ابررسانایی بود، اما معادلات گینزبورگ-لاندو نیز ماهیت خود را عمومی می‌کنند (مانند معادلات فیتز هیو-ناگومو)، و نمونه‌هایی از سیستم‌های دینامیکی که می‌توانید با استفاده از این معادلات با موفقیت مدل‌سازی کنید عبارتند از:

در این مثال، معادلات گینزبورگ-لانداو دینامیک امواج مارپیچی را در محیط های تحریک پذیر شبیه سازی می کند.

هندسه در اینجا یک مدل سه بعدی ساده شده از یک قلب با دو حفره است که با حفره های نیمه کروی نشان داده شده است ¹ .

معادلات به شرح زیر است:

در اینجا u 1 یک پتانسیل عمل (متغیر فعال کننده) و u 2 یک متغیر دروازه (متغیر بازدارنده) است. پارامتر α نشان دهنده آستانه تحریک، ε نشان دهنده تحریک پذیری و β ، γ و δ پارامترهایی هستند که بر حالت استراحت و دینامیک سیستم تأثیر می گذارند.

شرایط مرزی برای u 1 عایق هستند، با این فرض که هیچ جریانی به داخل یا خارج از قلب جریان ندارد. شرایط اولیه توزیع پتانسیل اولیه u 1 را تعریف می کند که در آن یک ربع قلب در یک پتانسیل ثابت و بالا V 0 است ، در حالی که بقیه در صفر باقی می ماند. در عوض، ربع مجاور مقدار بالایی ν 0 برای بازدارنده u2 دارد . پیاده سازی این توزیع اولیه با استفاده از عبارات منطقی زیر راحت است، جایی که TRUE به 1 و FALSE به 0 ارزیابی می شود:

در اینجا d برابر با 10-5 است ، و در عبارات گنجانده شده است تا پتانسیل بالا را کمی از محورهای اصلی جابجا کند .

معادلات گینزبورگ-لاندو عبارتند از:

دو متغیر v 1 و v 2 به ترتیب فعال کننده و بازدارنده هستند. ثابت های c 1 و c 3 پارامترهایی هستند که خواص ماده را منعکس می کنند. این ثابت ها وجود و ماهیت راه حل های پایدار را نیز تعیین می کنند.

مانند مدل قبلی، شرایط مرزی عایق نگه داشته می شوند. شرایط اولیه، که یک گام انتقال صاف نزدیک z  =  0 می دهد ، به شرح زیر است:

ایجاد هندسه ساده شده با استفاده از ابزارهای ترسیم در COMSOL Multiphysics کاملاً ساده است. معادلات FitzHugh-Nagumo و Ginzburg-Landau نیز به راحتی در یکی از رابط های PDE وارد می ^شوند .

ذکر این نکته ضروری است که این معادلات به شدت غیرخطی هستند. بنابراین لازم است (مخصوصاً در مدل‌های سه بعدی کامل مانند اینها) از شبکه بسیار ظریف‌تری استفاده شود یا از ترتیب عناصر بالاتر نسبت به این مثال استفاده شود تا نتایج با درجه‌ای از قابلیت اطمینان برای فواصل زمانی مورد علاقه به دست آید. این امر به ویژه در حل معادلات گینزبورگ-لاندو، که پدیده های ذاتاً آشفته را توصیف می کند، مهم است. آنها به اختلالات در مقدار اولیه و به طور مشابه به خطاهای عددی در طول حل وابسته به زمان بسیار حساس هستند. ما استفاده از عنصر Hermite مرتبه چهارم را برای معادله Ginzburg-Landau توصیه می کنیم.

به دلایل بالا، نتایج ارائه شده در اینجا فقط به عنوان اولین تخمین تقریبی از رفتار کیفی در نظر گرفته شده است که می توانید انتظار داشته باشید که سیستم تحت یک محرک مشخص نشان دهد. در نتیجه، عناصر مرتبه بالاتر، مش بندی دقیق تر، و تلورانس های وابسته به زمان نسبی و مطلق کوچکتر به وضوح نتایج شبیه سازی کمی درست تری ارائه می دهند. اجرای این پیشرفت ها منجر به زمان محاسباتی طولانی تری نسبت به مدل تقریبی که در اینجا توضیح داده شده است، می شود که محاسبه آن بر روی یک کامپیوتر استاندارد چند دقیقه طول می کشد. هنگام تلاش برای این نوع مدل‌های بزرگ، استفاده از پلتفرم‌های 64 بیتی را قویاً توصیه می‌کنیم.

برای جلوگیری از هشدار در مورد واحدهای ناسازگار، پشتیبانی واحد را خاموش کنید.

نمودارهای شکل 2 زیر پتانسیل عمل u 1 را نشان می دهند . برای تجسم محلول در داخل، یک چهارم پوسته بیرونی قلب و یکی از سطوح محفظه در طرح سرکوب می شود.

پارامترهای مورد استفاده در مدل همراه با پالس اولیه منجر به یک موج بازگشتی می شود که بدون میرایی در یک الگوی مارپیچی مشخص در اطراف بافت حرکت می کند.

شکل 3 زیر گونه v 1 را در زمان های مختلف نشان می دهد.

پارامترهای معادله و شرایط اولیه مورد استفاده در اینجا باعث می‌شود گونه‌های در حال انتشار ( v 1 ) الگوهای مارپیچی مشخصی را با پیچیدگی فزاینده در طول زمان نمایش دهند.

از منوی File ، New را انتخاب کنید .

در پنجره جدید ، روی  Model  Wizard کلیک کنید .

دستورالعمل های زیر را برای ایجاد مجدد هندسه نشان داده شده در شکل 1 دنبال کنید .

سپس با ادغام نیمه بالایی کره با نیمه پایینی بیضی، جامد تخم مرغی شکل را ایجاد کنید. از بلوک ها برای حذف نیمه پایین کره و نیمه بالایی بیضی استفاده کنید.

حالا حفره داخل قلب ایجاد کنید.

مرحله بعدی ایجاد دیوار جداکننده دو اتاق است.

نمودار پیش فرض یک نمودار برش از متغیر وابسته را نشان می دهد. برای ایجاد نمودارهای ارائه شده در شکل 2 ، باید برخی از مرزها را سرکوب کنید.

در پنجره Model  Builder ، گره Results>Datasets را گسترش دهید ، سپس روی Study  1/Solution  1  (sol1) کلیک کنید .

دقت محلول را می توان با استفاده از عناصر مکعبی هرمیت به جای عناصر درجه دوم لاگرانژ بهبود بخشید.

در این مورد نیز از شرط مرزی پیش‌فرض نویمان در تمام مرزها استفاده کنید.

تلرانس های نسبی و مطلق را با ضریب 10 تشدید کنید.

دستورالعمل ها را برای ایجاد نمودارهای داده شده در شکل 3 دنبال کنید .

در پنجره Model  Builder ، در بخش Results>Datasets روی Study  2/Solution  2  (sol2) کلیک کنید .