رابط معادله شرودینگر – ایجاد آن مرحله به مرحله
مراحل زیر نحوه تعریف رابط معادله شرودینگر را با استفاده از پیاده سازی تعریف شده در بخش قبل نشان می دهد.
ایجاد مبانی
|
1
|
COMSOL Multiphysics را باز کنید.
|
|
2
|
از منوی فایل (ویندوز) یا منوی گزینه‌ها (نسخه چند پلتفرمی)، تنظیمات برگزیده را انتخاب کنید . در کادر محاوره‌ای Preferences ، روی Physics Builder کلیک کنید و اگر قبلاً انتخاب نشده‌اید، کادر فعال کردن Physics Builder را انتخاب کنید.
|
|
3
|
از منوی File گزینه New ( ) را انتخاب کنید
 . در صفحه جدید ، روی دکمه Physics Builder (  ) کلیک کنید. پنجره Physics Builder جایگزین پنجره Model Builder در COMSOL Desktop می شود. |
|
4
|
در نوار ابزار Home ، روی Add Physics Interface ( ) کلیک کنید
 (یا روی گره ریشه ( Untitled.mphphb ) راست کلیک کرده و Physics Interface را انتخاب کنید . |
|
5
|
به پنجره تنظیمات برای رابط فیزیکی بروید . در بخش شناسه ها :
|
|
–
|
در قسمت توضیحات معادله شرودینگر را وارد کنید . با استفاده از این دکمه متن ( ) روی تغییر نام گره کلیک کنید
 تا گره در Physics Builder به روز شود . |
|
–
|
تیک Type را انتخاب کرده و SchrodingerEq را جایگزین پیش فرض کنید .
|
|
–
|
در قسمت نام و تگ پیش فرض، sheq را وارد کنید .
|
|
–
|
اگر یک نماد سفارشی برای رابط دارید ، روی دکمه Browse کلیک کنید تا فایل نماد را پیدا کنید. پیش فرض استفاده از نماد physics.png (
 ) است. |
|
6
|
رابط معادله شرودینگر باید از تمام ابعاد فضا به جز 0D پشتیبانی کند. در قسمت محدودیت‌ها، پیش‌فرض‌های ابعاد فضای مجاز را حفظ کنید ، که قبلاً 0D را حذف می‌کند.
|
|
7
|
در لیست انواع مطالعه مجاز ، انواع مطالعه پیش فرض ( ایستا و وابسته به زمان ) را انتخاب کنید و روی دکمه حذف (
 ) در زیر لیست کلیک کنید. روی دکمه افزودن ( ) کلیک کنید  و مقدار ویژه را از لیست انواع مطالعات مجاز انتخاب کنید . روی OK کلیک کنید . |
|
8
|
در بخش تنظیمات ، تأیید کنید که Domain از لیست سطح موجودیت هندسی برتر انتخاب شده است . این بدان معنی است که معادلات در رابط فیزیک برای حوزه های هندسه اعمال می شود، که این مورد برای اکثر فیزیک است. تنظیم پیش فرض را برای لیست قاب پیش فرض به عنوان Material بگذارید .
|
|
9
|
این تمرین خوبی است که پس از انجام برخی مراحل، رابط کاربری فیزیک را ذخیره کنید. از منوی File ، Save را انتخاب کنید و یک فایل واسط فیزیک به نام SchrodingerEquation.mphphb در محل پیش فرض ایجاد کنید. روی ذخیره کلیک کنید .
|
این مراحل اولیه برای تنظیم ساختار رابط فیزیک را به پایان می رساند. مراحل بعدی معادلات، شرایط مرزی و متغیرها را اضافه می کنند.
افزودن ویژگی ها
ابتدا متغیر وابسته Ψ را اعلام کنید :
|
1
|
روی گره معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی متغیرها Dependent Variable Declaration ( ) را انتخاب کنید
 . یا در نوار ابزار Physics Interface ، روی دکمه ای با همین نام کلیک کنید. |
|
2
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید .
|
|
–
|
پیش فرض را برای لیست مرجع متغیر وابسته نگه دارید ( از کمیت فیزیکی استفاده کنید ).
|
|
–
|
روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره Physical Quantity باز شود و سپس Dimensionless (1) را انتخاب کنید . |
|
–
|
در قسمت نام متغیر پیش فرض psi را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات تابع Wave را وارد کنید .
|
|
–
|
در فیلد Symbol (LaTeX Encoded) \psi ( نحو LaTeX برای حرف یونانی ψ ) را وارد کنید.
|
|
–
|
بعد پیش فرض ( Scalar ) را حفظ کنید ، زیرا Ψ یک فیلد اسکالر است.
|
|
3
|
در قسمت Preferences هر دو چک باکس به صورت پیش فرض انتخاب شده اند. این تنظیمات را حفظ کنید.
|
همچنین باید یک گره متغیر وابسته در ویژگی دامنه معادله شرودینگر اضافه کنید تا تابع شکل (نوع عنصر) را برای متغیر وابسته در دامنه ایجاد کنید (مرحله 16 را در زیر ببینید).
یک ویژگی دامنه مدل معادله شرودینگر اضافه کنید
سپس معادله شرودینگر را در یک ویژگی دامنه اضافه کنید:
|
1
|
روی گره معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی Features گزینه Domain Feature ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
2
|
در پنجره تنظیمات قسمت شناسه ها را بیابید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات مدل معادله شرودینگر را وارد کنید . با استفاده از این دکمه متن ( ) روی تغییر نام گره کلیک کنید تا گره در Physics Builder به روز شود .
 |
|
–
|
تیک Type را انتخاب کرده و SchrodingerEqu را جایگزین پیش فرض کنید .
|
|
–
|
در قسمت نام و برچسب پیش فرض، schequ را وارد کنید .
|
|
3
|
در بخش محدودیت‌ها ، تنظیمات پیش‌فرض ( همانند والد ) را برای فهرست‌های ابعاد فضای مجاز و مجاز به انواع مطالعه حفظ کنید . با انتخاب Customized می توانید ویژگی را به زیر مجموعه ای از ابعاد فضای مجاز یا انواع مطالعه برای فیزیک محدود کنید.
|
|
4
|
در قسمت Selection Settings ، تأیید کنید که Active در لیست Applicable entities نمایش داده شود . تنظیم پیش‌فرض Override rule ( داخلی ) و Override rule پیش‌فرض ( Exclusive ) را نگه دارید .
|
|
5
|
در بخش سیستم‌های مختصات ، تنظیمات پیش‌فرض ( سیستم قاب ) را برای سیستم بردار پایه ورودی و لیست‌های سیستم بردار پایه نگه دارید. همچنین نوع فریم پیش فرض را به عنوان Material نگه دارید .
|
|
6
|
در قسمت Preferences کلیک کنید تا کادر بررسی Add as default ویژگی را انتخاب کنید تا این ویژگی پیش‌فرض برای همه دامنه‌ها باشد.
|
|
7
|
روی گره مدل معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی Inputs گزینه User Input ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
8
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید .
|
|
–
|
در قسمت نام ورودی ، mu را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت Description Reduced mass را وارد کنید .
|
|
–
|
در فیلد Symbol (LaTeX Encoded) \mu ( نحو LaTeX برای حرف یونانی μ ) را وارد کنید.
|
|
–
|
روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره ای Physical Quantity باز شود و سپس Mass (kg) را انتخاب کنید . |
|
–
|
تنظیمات پیش‌فرض را در لیست‌های نوع آرایه ( Single ) و Dimension ( Scalar ) برای یک کمیت اسکالر پایه نگه دارید. همچنین تنظیم مقادیر مجاز را برای ورودی یک عدد اسکالر کلی روی Any بگذارید.
|
|
–
|
در قسمت مقدار پیش فرض me_const (جرم الکترون که یک ثابت فیزیکی داخلی است) را در قسمت مقدار پیش فرض وارد کنید .
|
|
9
|
روی گره ورودی کاربر کلیک راست کرده و Variable Definition (
 ) را انتخاب کنید. |
این ورودی کاربر سپس به عنوان یک متغیر schequ.mu در عبارات از پیش تعریف شده برای ارزیابی نتایج در دسترس می شود. همچنین می توانید به طور مستقیم در معادله ضعیف به mu مراجعه کنید. تمام تنظیمات پیش فرض دیگر را برای این گره نگه دارید.
|
10
|
روی گره مدل معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی Inputs گزینه User Input ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
11
|
در پنجره تنظیمات ، قسمت Declaration را پیدا کنید .
|
|
–
|
در قسمت Input name V را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات ، انرژی بالقوه را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت Symbol (LaTeX encoded) V را وارد کنید .
|
|
–
|
روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره ای Physical Quantity باز شود و سپس Energy (J) را انتخاب کنید . |
|
–
|
تنظیمات پیش‌فرض را در لیست‌های نوع آرایه ( Single ) و Dimension ( Scalar ) برای یک کمیت اسکالر پایه نگه دارید. همچنین تنظیم مقادیر مجاز را برای ورودی یک عدد اسکالر کلی روی Any بگذارید.
|
|
–
|
از مقدار پیش فرض 0 در قسمت مقدار پیش فرض استفاده کنید .
|
|
12
|
روی گره User Input 2 کلیک راست کرده و Variable Definition (
 ) را انتخاب کنید. |
این ورودی کاربر سپس به عنوان یک متغیر schequ.V در عبارات از پیش تعریف شده برای ارزیابی نتایج در دسترس می شود. همچنین می توانید مستقیماً به V در معادله ضعیف مراجعه کنید. تمام تنظیمات پیش فرض دیگر را برای این گره نگه دارید.
|
13
|
بر روی گره مدل معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی معادلات گزینه Weak Form Equation ( ) را انتخاب کنید
 . اینجاست که معادله دامنه ها را در رابط فیزیک مشخص می کنید. |
|
14
|
در پنجره تنظیمات ، بخش Integrand را پیدا کنید . در قسمت Expression -hbar_const^2/(2*mu)* ∇ psi·test( ∇ psi)-(V-lambda)*psi·test(psi) را وارد کنید
|
این عبارت فرمول معادله شرودینگر را برای این رابط پیاده سازی می کند. Ctrl+Space را فشار دهید تا لیستی از عملیات های پشتیبانی شده، از جمله هر کاراکتر خاص را دریافت کنید. برای ورودی های صفحه کلید برای ایجاد عملگر del ( ∇ ) و محصول نقطه ای (·) به عملگرهای تنسور و سایر عملگرها مراجعه کنید .
|
15
|
در بخش Selection تنظیم پیش‌فرض Selection ( از والد ) را حفظ کنید، به این معنی که انتخاب را از گره بالایی به ارث می‌برد. همچنین تنظیمات پیش فرض Output entities ( Selected entities ) را برای استفاده از دامنه های انتخابی به عنوان خروجی نگه دارید. همه پیش فرض های دیگر را حفظ کنید.
|
|
16
|
روی گره مدل معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی Variables Dependent Variable Definition ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
17
|
در پنجره تنظیمات ، قسمت Definition را پیدا کنید . روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره Physical Quantity باز شود و سپس Dimensionless (1) را انتخاب کنید . عناصر لاگرانژ بیشترین استفاده را دارند و برای این رابط فیزیک مناسب هستند. ترتیب تابع شکل پیش فرض 2 می شود. سایر پیش فرض ها را نگه دارید. |
یک شرط مرزی احتمال صفر پیش فرض اضافه کنید
شرط مرزی پیش فرض را اضافه کنید:
|
1
|
بر روی گره معادله شرودینگر (واسط فیزیکی 1) کلیک راست کرده و از منوی Features گزینه Boundary Condition (
 ) را انتخاب کنید. |
|
2
|
در پنجره تنظیمات قسمت شناسه ها را بیابید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات ، احتمال صفر را وارد کنید . با استفاده از این دکمه متن ( ) روی تغییر نام گره کلیک کنید
 تا گره در Physics Builder به روز شود . |
|
–
|
تیک Type را انتخاب کرده و ZeroProb را جایگزین پیش فرض کنید .
|
|
–
|
در قسمت Default name and tag zpb را وارد کنید .
|
|
3
|
تمام پیش‌فرض‌های بخش‌های محدودیت‌ها ، تنظیمات انتخاب و سیستم‌های مختصات را حفظ کنید .
|
|
4
|
در قسمت Preferences تیک گزینه Add as default feature را انتخاب کنید . انواع موجودیت پیش‌فرض را به‌عنوان Exterior نگه دارید تا این شرط تنها در مرزهای خارجی باشد.
|
|
5
|
روی گره Zero Probability کلیک راست کرده و از منوی معادلات Constraint ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
6
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید . 0-psi را در قسمت Expression وارد کنید تا Ψ = 0 در مرز ایجاد شود (این عبارت با محدودیت برابر با صفر قرار می گیرد).
|
|
7
|
در قسمت Shape Declaration ، از لیست Physical quantity، From the built-in quantities را انتخاب کنید . روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره ای Physical Quantity باز شود و سپس Dimensionless (1) را انتخاب کنید تا بعد صحیح برای متغیر محدود Ψ را اعلام کنید . تمام تنظیمات پیش فرض دیگر را حفظ کنید. |
 |
روی گره معادله شرودینگر کلیک کنید . در پنجره تنظیمات در زیر ویژگی های پیش فرض توجه داشته باشید که مدل معادله شرودینگر و شرط مرزی احتمال صفر فهرست شده اند.
|
یک شرط مرزی مقدار تابع موج اضافه کنید
شرط مرزی مقدار تابع موج Ψ = Ψ 0 را اضافه کنید :
|
1
|
روی گره معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی Features گزینه Boundary Condition ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
2
|
در پنجره تنظیمات قسمت شناسه ها را بیابید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات مقدار تابع Wave را وارد کنید . با استفاده از این دکمه متن ( ) روی تغییر نام گره کلیک کنید
 تا گره در Physics Builder به روز شود . |
|
–
|
تیک Type را انتخاب کرده و WaveFunc را جایگزین پیش فرض کنید .
|
|
–
|
در قسمت نام و برچسب پیش فرض wvfcn را وارد کنید .
|
|
3
|
تمام پیش‌فرض‌های بخش‌های محدودیت‌ها ، تنظیمات انتخاب و سیستم‌های مختصات را حفظ کنید .
|
|
4
|
بر روی گره مقدار تابع موج کلیک راست کرده و از منوی ورودی ها گزینه User Input ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
5
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید .
|
|
–
|
در قسمت Input name psi0 را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات مقدار تابع Wave را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت Symbol (LaTeX encoded) \psi_0 را وارد کنید . این برای نماد Ψ 0 است .
|
|
–
|
روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره Physical Quantity باز شود و سپس Dimensionless (1) را انتخاب کنید . |
|
–
|
تنظیمات پیش‌فرض را در لیست‌های نوع آرایه ( Single ) و Dimension ( Scalar ) برای یک کمیت اسکالر پایه نگه دارید. همچنین تنظیم مقادیر مجاز را برای ورودی یک عدد اسکالر کلی روی Any بگذارید.
|
|
–
|
مقدار پیش فرض را روی 0 نگه دارید .
|
|
6
|
بر روی گره مقدار تابع موج کلیک راست کرده و از منوی معادلات، Constraint ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
7
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید . par.psi0-psi را در قسمت Expression وارد کنید تا Ψ = Ψ 0 در مرز ایجاد شود. پیشوند par یک محدوده پارامتر محلی را نشان می دهد و برای ارجاع به ورودی کاربر که به عنوان یک متغیر تعریف نشده است ضروری است.
|
|
8
|
در قسمت Shape Declaration ، از لیست Physical quantity، From the built-in quantities را انتخاب کنید . روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره ای Physical Quantity باز شود و سپس Dimensionless (1) را انتخاب کنید تا بعد صحیح برای متغیر محدود Ψ را اعلام کنید . |
این ویژگی از یک ورودی کاربر استفاده می کند که باید در قسمتی در پنجره تنظیمات ظاهر شود . محدودیت به طور خودکار یک بخش اضافی برای فعال کردن محدودیت‌های ضعیف اضافه می‌کند و نوع محدودیت را تنظیم می‌کند، اما لازم است یک بخش برای ورودی کاربر مشخص شود.
|
9
|
روی گره مقدار تابع موج کلیک راست کرده و از منوی ورودی ها گروه ورودی کاربر ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
10
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید . در قسمت نام گروه WaveFunc_section و در قسمت Description تابع Wave را وارد کنید .
|
|
11
|
در زیر لیست اعضای گروه ، روی دکمه افزودن (
 ) کلیک کنید و از لیست اعضای گروه ، User Input 1 (par.psi0) را انتخاب کنید . روی OK کلیک کنید . |
|
12
|
در بخش گزینه‌های GUI ، از فهرست طرح‌بندی GUI، اعضای گروه را انتخاب کنید تا یک بخش را تعریف کنید . برای اطلاعات بیشتر به گزینه‌های GUI گروه ورودی کاربر مراجعه کنید .
|
شرط مرزی باقیمانده، Axial Symmetry، به طور خودکار روی مرزهای تقارن در مدل های متقارن محوری ظاهر می شود.
اضافه کردن یک متغیر اضافی
تابع چگالی احتمال ⏐Ψ⏐ 2 را به عنوان متغیری که در مدل و برای رسم در دسترس است اضافه کنید (زمانی که کادر انتخاب منوی نمایش در نمودار در قسمت Preferences که تنظیم پیش‌فرض است انتخاب شده است ) یا ارزیابی کنید:
|
1
|
بر روی گره معادله شرودینگر کلیک راست کرده و از منوی Variables گزینه Variable Declaration ( ) را انتخاب کنید
 . |
|
2
|
در پنجره تنظیمات قسمت Declaration را پیدا کنید .
|
|
–
|
در قسمت Variable name probdens را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت توضیحات تابع تراکم احتمال را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت Symbol (LaTeX encoded) {\mid\psi\mid}^2 را وارد کنید تا ⏐Ψ⏐ 2 نمایش داده شود .
|
|
–
|
برای لیست Dimension ، تنظیم پیش فرض ( Scalar ) را حفظ کنید.
|
|
–
|
روی دکمه Select Quantity ( ) کلیک کنید
 تا کادر محاوره Physical Quantity باز شود و سپس Dimensionless (1) را انتخاب کنید . |
|
3
|
تمام تنظیمات پیش فرض را در قسمت Preferences نگه دارید . چک باکس Show in plot menu باید انتخاب شود تا این متغیر به عنوان یک عبارت از پیش تعریف شده در نمودارها ظاهر شود.
|
|
4
|
روی گره Variable Declaration 1 کلیک راست کرده و Variable Definition (
 ) را انتخاب کنید. |
|
5
|
در پنجره تنظیمات ، قسمت Definition را پیدا کنید . abs(psi)^2 را در قسمت Expression وارد کنید .
|
تعریف قطعه های پیش فرض و مقادیر پیش فرض پلات
یک گروه نمودار دوبعدی پیش‌فرض برای رسم تابع چگالی احتمال تعریف کنید و تابع چگالی احتمال را کمیت اسکالر پیش‌فرض برای نمودارهای تعریف‌شده توسط کاربر قرار دهید:
|
1
|
روی گره معادله شرودینگر کلیک راست کرده و Result Defaults (
 ) را انتخاب کنید. |
|
2
|
روی گره Result Defaults 1 کلیک راست کرده و 2D Plot Group (
 ) را انتخاب کنید. |
|
3
|
روی گره 2D Plot Group 1 ( ) کلیک راست کرده
 و Surface (  ) را انتخاب کنید. |
|
4
|
در پنجره تنظیمات برای Surface در قسمت Description ، کادر را انتخاب کنید و Probability density را وارد کنید و سپس در قسمت Expression probdens را وارد کنید .
|
