دستورالعمل مدلسازی
مراحل زیر نحوه ساخت این مدل را با استفاده از رابط معادله شرودینگر نشان می دهد.
مدل جادوگر
|
1
|
COMSOL Multiphysics را باز کنید.
|
|
2
|
در صفحه جدید روی Model Wizard (
 ) کلیک کنید سپس روی دکمه متقارن محوری دوبعدی (  ) در صفحه Select Space Dimension کلیک کنید . |
|
3
|
در صفحه Select Physics در Mathematics>Quantum Mechanics روی معادله شرودینگر (scheq) ( ) کلیک کنید
 . |
|
4
|
روی افزودن و سپس دکمه مطالعه ( ) کلیک کنید
 . |
|
5
|
در صفحه Select Study ، در قسمت Preset Studies ، روی Eigenvalue ( ) کلیک کنید
 . روی Done (  ) کلیک کنید . |
مدل سازی هندسه
|
1
|
در بخش 1 روی هندسه 1 ( ) کلیک کنید
 . |
|
2
|
یک دایره (
 ) اضافه کنید. در پنجره تنظیمات زیر اندازه و شکل ، در قسمت Radius 3e-9 (3 نانومتر) را وارد کنید. در قسمت Sector angle عدد 180 را وارد کنید . |
|
3
|
در قسمت Position از لیست Base ، مرکز را انتخاب کنید . در فیلد r عدد 0 و در قسمت z عدد 0 را وارد کنید که دایره را در مرکز مبدا قرار می دهد.
|
|
4
|
در قسمت Rotation Angle ، در قسمت Rotation ، 90- درجه را وارد کنید تا یک نیم دایره در نیم صفحه سمت راست ایجاد شود.
|
|
5
|
روی هندسه 1 کلیک کنید و یک دایره (
 ) اضافه کنید. در پنجره تنظیمات زیر اندازه و شکل ، در قسمت Radius 0.5e-9 (0.5 نانومتر) را وارد کنید. در قسمت Sector angle عدد 180 را وارد کنید . |
|
6
|
در قسمت Position از لیست Base ، مرکز را انتخاب کنید . در فیلد r عدد 0 و در قسمت z عدد 0 را وارد کنید که دایره را در مرکز مبدا قرار می دهد.
|
|
7
|
در قسمت Rotation Angle ، در قسمت Rotation ، 90- درجه را وارد کنید تا یک نیم دایره در نیم صفحه سمت راست ایجاد شود.
|
|
8
|
هندسه را با فشار دادن F8 بسازید. هندسه نهایی از دو نیم دایره در نیم صفحه r > 0 تشکیل شده است.
|
تنظیمات فیزیک
|
1
|
روی گره مدل معادله شرودینگر کلیک کنید . در پنجره تنظیمات ، پیش‌فرض در میدان جرم کاهش‌یافته ، جرم الکترون، m e است
|
|
2
|
در قسمت انرژی بالقوه عبارت زیر را وارد کنید:
|
-e_const^2/(4*pi*epsilon0_const*sqrt(r^2+z^2))
که در آن e_const و epsilon0_const به ترتیب ثابت های فیزیکی داخلی برای بار الکترون و گذردهی خلاء هستند. sqrt(r^2+z^2) فاصله r از مبدا است. این عبارت انرژی پتانسیل در معادله 4-3 است .
|
3
|
بررسی کنید که شرایط مرزی پیش فرض صحیح است. روی گره Axial Symmetry کلیک کنید و تأیید کنید که برای مرزهای تقارن در r = 0 اعمال می شود . روی گره Zero Probability کلیک کنید تا تأیید شود که برای مرزهای بیرونی هندسه اعمال می شود.
|
نسل مش
دلیل دامنه دایره ای داخلی استفاده از مش ریزتر در آن قسمت است زیرا محلول تغییرات بیشتری را در ناحیه مرکز نسبت به مناطق بیرونی برای مقادیر ویژه کم انرژی نشان می دهد.
|
1
|
روی گره مش (
 ) کلیک راست کرده و Size ( ) را انتخاب کنید تا یک گره Size دوم برای تعیین اندازه مش در حوزه دایره ای داخلی (دامنه 2) اضافه شود. |
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای اندازه 1 ، دامنه را از لیست سطح موجودیت هندسی انتخاب کنید .
|
|
3
|
دامنه 2 را به لیست انتخاب اضافه کنید .
|
|
4
|
در قسمت Element Size روی دکمه Custom کلیک کنید .
|
|
5
|
در قسمت Element Size Parameters ، چک باکس Maximum element size را انتخاب کنید و 0.05e-9 را در فیلد مربوطه وارد کنید تا از اندازه مش بزرگتر از 0.05 نانومتر در دامنه 2 استفاده کنید.
|
|
6
|
روی گره مش ( ) کلیک راست کرده
 و Free Triangular (  ) را انتخاب کنید تا گره ای را اضافه کنید که دامنه 2 را با استفاده از اندازه مش مشخص شده مش می کند. |
|
7
|
روی گره Size بالا کلیک کنید . در پنجره تنظیمات کلیک کنید تا بخش پارامترهای اندازه عنصر گسترش یابد .
|
|
8
|
در قسمت حداکثر نرخ رشد عنصر ، پیش فرض را با 1.1 جایگزین کنید تا اندازه مش به آرامی به سمت محیط هندسه رشد کند.
|
|
9
|
در پنجره تنظیمات روی Build All (
 ) کلیک کنید تا مش ایجاد شود. |
محاسبه راه حل
مشخص کنید که حل کننده مقدار ویژه باید 10 مقدار ویژه را حل کند، و در اطراف یک عدد منفی کوچک که در آن اولین مقادیر ویژه انرژی قرار دارند، جستجو کند.
|
1
|
در مطالعه 1 روی مرحله 1: مقدار ویژه ( ) کلیک کنید
 . |
|
2
|
در پنجره تنظیمات ، قسمت بالای تنظیمات مطالعه را پیدا کنید .
|
|
–
|
در قسمت Desired number of eigenvalues عدد 10 را وارد کنید .
|
|
–
|
در قسمت Search for eigenvalues around -2e-18 را وارد کنید .
|
|
3
|
در پنجره تنظیمات، روی محاسبه (
 ) کلیک کنید تا حل کننده مقدار ویژه شروع شود. |
نتایج و تجسم
به طور پیش‌فرض، COMSOL Multiphysics یک نمودار سطحی از تابع چگالی احتمال ⏐Ψ⏐ 2 را برای اولین حالت ویژه نشان می‌دهد. در پنجره تنظیمات نمودار چگالی احتمال ، همچنین می‌توانید روی دکمه Replace Expression ( 
) کلیک کنید و معادله شرودینگر> تابع موج (psi) را انتخاب کنید تا متغیر psi را رسم کنید ، که تابع موج با ارزش مختلط برای موقعیت الکترون است.
) کلیک کنید و معادله شرودینگر> تابع موج (psi) را انتخاب کنید تا متغیر psi را رسم کنید ، که تابع موج با ارزش مختلط برای موقعیت الکترون است.در پنجره تنظیمات برای گروه طرح دوبعدی 1 ، می توانید حالت ویژه را برای رسم انتخاب کنید. در زیر داده ها ، مقدار ویژه مربوطه را از لیست مقدار ویژه انتخاب کنید . همچنین می توانید بررسی کنید که مقادیر ویژه با اولین مقادیر ویژه انرژی ذکر شده در نتایج مطابقت دارند .
