اطلاعات پس زمینه گره های ویژگی SOR ، SOR Gauge ، SOR Line و SOR Vector در این بخش توضیح داده شده است.
روش SOR
روش SOR (آرامش بیش از حد متوالی) یک حل‌کننده/پیش‌تهیه‌کننده/صاف کننده ساده و کارآمد حافظه را بر اساس روش‌های تکرار کلاسیک برای حل یک سیستم خطی Ax = b ارائه می‌کند . با توجه به ضریب آرامش ω (معمولاً بین 0 و 2 )، یک جارو روش SOR حدس اولیه x 0 را به تقریب بهبود یافته x 1 = x 0 + M – 1 ( b – Ax 0 ) تبدیل می کند ، که در آن ماتریس پیش شرطی M = L + D /ω ، و D قسمت مورب A است ، و L قسمت مثلثی به شدت پایین A است . وقتی ω = 1 (پیش فرض)، روش گاوس-سایدل به دست می آید.
در روش SORU، M = U + D /ω ، که در آن U بخش مثلثی بالایی A است . روش‌های SOR و SORU از تقریب دقیق‌تری از ماتریس استفاده می‌کنند که منجر به تکرارهای کمتر اما کار کمی بیشتر در هر تکرار نسبت به روش Jacobi می‌شود.
روش SSOR (متقارن متقارن بیش از حد آرام سازی) یک جارو SOR به دنبال یک جارو SORU است. خروجی x 1 برای ورودی x 0 نیز از فرمول بالا می آید اما با
وقتی ماتریس سیستم A متقارن است، روش SSOR این مزیت را دارد که ماتریس پیش شرطی M متقارن است. تقارن ماتریس پیش شرط هنگام استفاده از روش تکرار شونده گرادیان مزدوج ضروری است. در چنین مواردی، پیش‌تنظیم‌کننده SSOR بر پیش‌تنظیم‌کننده SOR ارجحیت دارد.
الگوریتم های SSOR GAUGE، SOR GAUGE و SORU GAUGE
الگوریتم های SOR Gauge توضیح داده شده اند.
مسائل مغناطیسی اغلب بر حسب پتانسیل بردار مغناطیسی فرموله می شوند. راه حل مسائلی که با چنین پتانسیلی فرموله شده اند به طور کلی منحصر به فرد نیست. بی نهایت پتانسیل های برداری منجر به یک میدان مغناطیسی می شود که معمولاً مقدار مورد نظر است. گسسته سازی المان محدود چنین مسئله ای منجر به یک سیستم خطی منفرد از معادلات، Ax = b می شود . علیرغم اینکه این سیستم‌ها منفرد هستند، اگر سمت راست مسئله گسسته‌شده، محدوده ماتریس A باشد، می‌توان با استفاده از حل‌کننده‌های تکراری آن را حل کرد . برای مسائل مغناطیسی گسسته، محدوده Aشامل تمام بردارهای بدون واگرایی است. حتی اگر سمت راست مسئله ریاضی بدون واگرایی باشد، سمت راست گسسته سازی اجزای محدود ممکن است از نظر عددی عاری از واگرایی نباشد. برای اطمینان از اینکه b در محدوده A قرار دارد، گیج SOR با استفاده از ماتریس های T و T T مشابه الگوریتم روش تکراری بردار SOR، یک تمیز کردن واگرایی سمت راست را انجام می دهد . برای این منظور ابتدا سیستم T T ψ = – T T b حل می شود . سپس با افزودن T ψ به b ، واگرایی عددی سمت راست کوچک می شود.
الگوریتم خط SOR
در مناطقی که مش به اندازه کافی ناهمسانگرد است، الگوریتم خطوطی از گره ها را تشکیل می دهد ( خط SOR ) که گره هایی را که نسبتاً نزدیک به یکدیگر هستند را به هم متصل می کند ( مراجعه 40 ). بنابراین، در یک لایه مرزی، یک خط منحنی در امتداد جهت نازک عناصر مش است. یک تکرار هموار دو کار انجام می دهد:
|
•
|
به روز رسانی خط: هموارسازی بلوک SOR را در جایی انجام می دهد که هر بلوک از درجات آزادی واقع در یک خط تشکیل شده است. با توجه به ساختار نواری هر ماتریس بلوک، این هموارسازی نسبتا سریع اجرا می شود.
|
|
•
|
به روز رسانی SSOR: تعدادی از تکرارهای هموارسازی SSOR را روی کل مش انجام می دهد.
|
همانند SOR و Jacobi smoothers/preconditioners، الگوریتم اگر صفرها را در مورب ماتریس سیستم پیدا کند، پیغام خطا می دهد.
الگوریتم برداری SOR
الگوریتم SOR Vector پیاده سازی مفاهیم موجود در Ref. 37 و ر. 24 . این الگوریتم تکرارهای SOR را روی معادله خطی اصلی Ax = b اعمال می‌کند ، اما همچنین تکرارهای SOR را روی یک معادله خطی پیش‌بینی‌شده انجام می‌دهد. T T AT y = T T b . در اینجا ماتریس طرح ریزی، T ، عملگر گرادیان گسسته است، که مقادیر یک میدان اسکالر را در رئوس مش می گیرد و نمایش عنصر بردار گرادیان آن را محاسبه می کند. به زبان ساده، استدلال برای استفاده از این طرح به شرح زیر است: به عنوان مثال، اجازه دهید معادله خطی Ax = bنشان دهنده گسسته سازی یک مسئله PDE است که از معادله هلمهولتز بردار نشات می گیرد
برای میدان برداری ناشناخته E ، که در آن a و c اسکالر هستند، و F برخی از بردارهای سمت راست است. پیش‌تهویه‌کننده‌ها/صاف کننده‌های استاندارد نمی‌توانند خطای فضای خالی عملگر ∇ × ( a × . ) را صاف کنند . این فضای خالی محدوده عملگر گرادیان است. این الگوریتم یک تصحیح 
به راه حل هموار SOR استاندارد (یا باقیمانده) اضافه می کند، جایی که 
از تکرارهای SOR روی یک مسئله کمکی پیش بینی شده محاسبه می کند. مسئله پیش بینی شده با گرفتن واگرایی (یا به طور گسسته – T T ) معادله هلمهولتز و وصل کردن تصحیح به دست می آید. سپس به دست می آورید
به راه حل هموار SOR استاندارد (یا باقیمانده) اضافه می کند، جایی که از تکرارهای SOR روی یک مسئله کمکی پیش بینی شده محاسبه می کند. مسئله پیش بینی شده با گرفتن واگرایی (یا به طور گسسته – T T ) معادله هلمهولتز و وصل کردن تصحیح به دست می آید. سپس به دست می آورید
(برای وضوح، محدودیت‌های مرزی نادیده گرفته می‌شوند)، که اگر c قطعی باشد (کاملاً مثبت یا کاملاً منفی)، یک نوع معادله استاندارد بیضوی برای میدان اسکالر است 
.
. هنگام استفاده از این الگوریتم به‌عنوان یک نرم‌کننده برای حل‌کننده/پیش‌تهیه‌کننده چندشبکه، مهم است – برای ویژگی‌های گسسته صحیح مسئله پیش‌بینی‌شده – ایجاد مش‌های تودرتو. همچنین، یک مونتاژ المان را در تمام سطوح مش انجام می دهد (که توسط تیک چک باکس multigrid Assemble در همه سطوح کنترل می شود ). می‌توانید مش‌های تودرتو را از طریق اصلاح‌های مش دستی ایجاد کنید یا این کار را به‌طور خودکار با انتخاب Refine mesh از فهرست روش‌های تولید سلسله مراتب در گره Multigrid انجام دهید .
ماتریس طرح ریزی T به گونه ای محاسبه می شود که توابع شکل غیر برداری نادیده گرفته می شوند و بنابراین می توانید از آن در یک محیط چندفیزیکی استفاده کنید. همچنین می تواند کمک های هندسه های مختلف را مدیریت کند. متغیرهای تابع شکل غیربردار تحت تأثیر تصحیح سیستم پیش‌بینی‌شده قرار نمی‌گیرند و تأثیرات روی آنها مانند زمانی است که الگوریتم استاندارد SOR را اعمال می‌کنید.
