حل‌کننده‌ها یا پیش‌شرطی‌کننده‌های تجزیه دامنه (Schwarz) و تجزیه دامنه (Schur) الگوریتم‌های تکرار شونده کارآمد برای مشکلات بزرگ هستند که در آن روش‌های دیگر غیرممکن هستند. ایده اصلی تجزیه دامنه تکراری (فضایی) به شرح زیر است.
یک PDE بیضوی را روی یک دامنه D و یک پارتیشن { D i } به گونه ای در نظر بگیرید که
الگوریتم به جای حل PDE در کل D یکباره، تعدادی از مسائل زیر دامنه را برای هر زیر دامنه D i حل می کند . اگر زیر دامنه D i مجاور یک مرز باشد، از شرایط مرزی آن استفاده می شود. در واسط بین زیر دامنه ها، شرایط انتقال طبیعی خاصی ایجاد می شود. شناخته شده است ( مراجعه 27 ) که راه حل برای مجموعه مشکلات زیر دامنه معادل مشکل اصلی است که روی D فرموله شده است . راه حل را می توان با حل مکرر هر مشکل زیر دامنه با سایر دامنه های ثابت تا زمانی که معیارهای همگرایی برآورده شود پیدا کرد. این اصل در روش های تجزیه دامنه استفاده می شود.
سه نوع مختلف از شرایط مرزی معمولاً در واسط بین زیر دامنه ها اعمال می شود: دیریکله، شار صفر، و شرایط مرزی جذب کننده. اینها با اجرای راه حل به شرح زیر مطابقت دارند:
|
•
|
دیریکله: ارزش مجهول.
|
|
•
|
شار صفر: مشتق مجهول در جهت عادی به مرز.
|
|
•
|
جذب: ترکیبی از شار صفر، دیریکله (جمله مرتبه صفر)، و لاپلاسین مجهول (جمله مرتبه دوم).
|
برای مشکلات موج، جذب شرایط مرزی در واسط های زیر دامنه معمولاً منجر به بهترین همگرایی الگوریتم تجزیه دامنه می شود.
روش همپوشانی شوارتز
یک دسته از روش‌ها، روش شوارتز همپوشانی است ، که در آن پارتیشن { D i } طوری رشد می‌کند که هر زیر دامنه با دامنه‌های مجاور خود همپوشانی دارد. اندازه همپوشانی پارامتر مهمی است که تا حدی نرخ همگرایی روش را تعیین می کند. یک مشکل شبکه درشت اختیاری نیز می تواند حل شود که نرخ همگرایی روش را بهبود می بخشد. مسئله شبکه درشت که در کل D حل می شود ، تخمینی از راه حل روی شبکه ریز روی D را ارائه می دهد . نرخ همگرایی این روش به نسبت بین اندازه عناصر مش شبکه درشت و اندازه فیزیکی همپوشانی روی شبکه ریز بستگی دارد.
دو ویژگی کاربردی این روش عبارتند از:
|
•
|
کنترل حداکثر مصرف حافظه مستقل از فرمول‌بندی مسئله: فقط بخش کوچکی از مشکل باید یکباره گسسته و حل شود.
|
|
•
|
همزمانی درشت دانه: مشکلات ناهمگون را می توان همزمان در گره های خوشه ای مختلف حل کرد.
|
از روش تجزیه دامنه می توان برای کنترل مصرف حافظه استفاده کرد. این امر از دو طریق به دست می آید. مجموع داده های مورد نیاز برای حل مشکلات زیر دامنه معمولا کمتر از داده های مورد نیاز برای حل کل مشکل در دامنه D است . همچنین می‌توان حل‌کننده تجزیه دامنه را در حالتی اجرا کرد که در آن داده‌های استفاده‌شده توسط هر یک از مسائل زیردامنه در جریان محاسبه شود. این منجر به کاهش قابل توجه حافظه می شود و امکان حل مشکلات بزرگتر را بدون نیاز به ذخیره داده ها در حافظه مجازی با قیمت کاهش عملکرد در مقایسه با نگهداری همه داده ها در حافظه فیزیکی فراهم می کند. این روش زمانی مفید است که مشکل در غیر این صورت از حافظه مجازی استفاده کند.
یک انتخاب بین چهار روش شوارتز همپوشانی وجود دارد: روش شوارتز افزایشی، ضربی، ترکیبی و متقارن. روش افزودنی همه مشکلات زیر دامنه و مشکل شبکه درشت را یکباره قبل از به روز رسانی راه حل ها حل می کند. روش ترکیبی هنگامی که مشکل شبکه درشت حل شد راه حل را به روز می کند و سپس مسائل باقی مانده را حل می کند، راه حل را به روز می کند و برای بار دوم مشکل شبکه درشت را حل می کند. این روش ها می توانند تمام مشکلات زیر دامنه را به صورت موازی در هنگام اجرا در حالت توزیع شده حل کنند. روش ضربی هر مشکل زیر دامنه را به ترتیب حل می کند. روش متقارنهمچنین مشکلات زیر دامنه را به ترتیب اما به صورت متقارن حل می کند. در این موارد، هنگام اجرا در حالت توزیع شده، نمی توان همه مشکلات را به صورت موازی حل کرد، اما با استفاده از تکنیک های رنگ آمیزی هنوز هم می توان به سرعت موازی دست یافت. به طور کلی، روش‌های ضربی و متقارن سریع‌تر از روش‌های افزایشی و ترکیبی همگرا می‌شوند، در حالی که روش‌های افزایشی و ترکیبی می‌توانند سرعت بهتری داشته باشند.
روش مکمل SCHUR
دسته دیگری از روش‌ها، روش‌های مکمل Schur هستند که در آن پارتیشن‌های D با یکدیگر همپوشانی ندارند و توسط یک دامنه مرزی S از هم جدا می‌شوند . اگر راه حل دامنه مرزی Sشناخته شده است، راه حل برای همه دامنه ها به طور بی اهمیت با معکوس کردن ماتریس های سیستم محلی هر دامنه محاسبه می شود. راه حل دامنه مرزی با معکوس کردن ماتریس مکمل Schur محاسبه می شود. از آنجایی که ماتریس مکمل Schur به طور کلی متراکم است، یک روش تقریبی برای محاسبه معکوس استفاده می شود. یکی از این روش ها استفاده از روش شوارتز به عنوان پیش شرط برای حل سیستم مکمل شور است. سیستم های محلی که مربوط به مشکلات زیر دامنه در روش شوارتز همپوشانی است، می توانند به طور کامل با استفاده از حل کننده Schur محلی معکوس شوند یا تقریباً با استفاده از حل کننده Sparse Localized Schur که ورودی های کوچک در ماتریس محلی را فیلتر می کند، معکوس شوند. Ref . 28 و ر. 29 .
شما می توانید از یک ترتیب Schur افزایشی یا یک ترتیب Schur ضربی انتخاب کنید . این گزینه های ترتیب تعیین می کنند که کدام الگوریتم شوارتز مربوطه (به روش همپوشانی شوارتز در بالا مراجعه کنید) برای حل سیستم مکمل Schur استفاده شود.
یک تغییر از روش Schur با تحمیل شرایط مرزی جذب بر روی مرزهای داخلی بین زیر دامنه ها به دست می آید. مشکل مرزی شامل یافتن منابع مرزی مصنوعی برای تحمیل بر هر حوزه غیر همپوشانی است. اگر منابع مرزی شناخته شده باشند، راه حل با حل هر مشکل زیر دامنه به طور جداگانه محاسبه می شود (رجوع کنید به 30 ). مزیت این روش نسبت به روش استاندارد Schur این است که مسئله مرزی متراکم نیست و می توان آن را با حل کننده کریلوف بدون مونتاژ صریح ماتریس مرزی حل کرد و در نتیجه استفاده از حافظه به میزان قابل توجهی کمتر می شود. از سوی دیگر، حل تکراری مسئله مرزی ممکن است از نظر محاسباتی گران باشد، زیرا نیاز به معکوس کردن ماتریس‌های سیستم محلی همه حوزه‌ها در هر تکرار دارد.
روش های شوارتز در مقابل شور
روش مکمل های Schur معمولاً پایدارتر از روش همپوشانی شوارتز است، اما همچنین به کار محاسباتی بیشتری برای هر تکرار نیاز دارد. بنابراین توصیه می شود که روش همپوشانی شوارتز و سپس روش مکمل شوارتز را امتحان کنید. روش همپوشانی شوارتز نیز نسبت به روش مکمل‌های شوار حافظه ناب‌تری دارد.
مشارکت لاپلاس تغییر پیچیده
همگرایی روش تجزیه دامنه (شوارتز) را می توان با افزودن یک سهم لاپلاس جابجا شده پیچیده (CSL) بهبود بخشید – یعنی یک اصطلاح کاملاً پیچیده که اثر میرایی نوسانات در محلول را دارد. CSL معمولاً برای مشکلات موج در فرکانس بالا اعمال می شود. اثر آن محدود به پیش‌تهویه‌کننده و نرخ همگرایی است و می‌توان آن را به‌طور مستقل هم در سطوح ریز و هم در سطوح شبکه درشت اعمال کرد. CSL ماتریس اصلی سیستم و راه حل نهایی را تغییر نمی دهد. سهم CSL تابعی از تعداد موج مسئله است و به طور کلی در ضریب آرامش O (1) ضرب می شود. انتخاب ضریب آرامش یک مبادله بین عدم میرایی (0) و میرایی زیاد است اما بدتر شدن عملکرد پیش‌تهویه‌کننده (مقادیر بزرگ).
