معادلات ناویر-استوکس یک سیستم معادلات غیرخطی را تشکیل می دهند. بنابراین برای حل مسئله باید از یک حل کننده غیرخطی استفاده کرد. حلگر غیر خطی برای رسیدن به جواب نهایی تکرار می شود. در هر تکرار، یک نسخه خطی از سیستم غیر خطی با استفاده از یک حل کننده خطی حل می شود. در مورد وابسته به زمان، یک روش راهپیمایی زمانی نیز باید اعمال شود. پیشنهادات پیش فرض برای هر یک از این عناصر حل کننده در زیر مورد بحث قرار گرفته است.
حل کننده غیر خطی
روش حلگر غیرخطی به این بستگی دارد که آیا مدل یک مسئله ثابت یا وابسته به زمان را حل می کند.
حل کننده ثابت
در حالت ثابت، از روش نیوتن کاملا جفت شده و میرایی استفاده می شود. ضریب میرایی اولیه کم است زیرا یک گام نیوتن کامل می تواند مضر باشد مگر اینکه مقادیر اولیه به محلول نهایی نزدیک باشد. الگوریتم حل کننده غیرخطی به طور خودکار ضریب میرایی را تنظیم می کند تا به یک جواب همگرا برسد.
برای مدل‌های پیشرفته، روش نیوتن میرایی خودکار ممکن است به اندازه کافی قوی نباشد. سپس می توان یک الگوریتم شبه پله زمانی را فراخوانی کرد. برای مدل‌های جریان آرام، گام‌های شبه زمان را ببینید .
حل کننده وابسته به زمان
در حالت وابسته به زمان، حدس اولیه برای هر مرحله زمانی (به زبان ساده) مرحله زمانی قبلی است که مقدار اولیه بسیار خوبی برای حل کننده غیرخطی است. در این صورت الگوریتم میرایی خودکار ضروری نیست. ضریب میرایی در روش نیوتن در عوض روی مقدار ثابتی کمی کوچکتر از یک تنظیم می شود. همچنین، به همین دلیل، کافی است ژاکوبین را یک بار در هر مرحله به روز کنید.
به ندرت ارزش هزینه محاسباتی اضافی برای به روز رسانی Jacobian را بیش از یک بار در هر مرحله زمانی دارد. برای اکثر مدل‌ها، محدود کردن حداکثر گام زمانی یا احتمالاً کاهش ضریب میرایی در روش نیوتن کارآمدتر است.
حل کننده خطی
سیستم معادله ناویر-استوکس خطی شده دارای ویژگی نقطه زینی است، مگر اینکه چگالی به فشار بستگی داشته باشد. این به این معنی است که ماتریس ژاکوبین دارای صفر در قطر است. حتی زمانی که چگالی به فشار بستگی دارد، سیستم معادله به طور موثر بسیاری از خواص عددی را با یک سیستم نقطه زینی مشترک است.
برای مدل های کوچک دو بعدی و سه بعدی، پیشنهاد حل کننده پیش فرض یک حل کننده مستقیم است. حل‌کننده‌های مستقیم می‌توانند اکثر سیستم‌های غیرمنفرد را مدیریت کنند و برای مدل‌های کوچک بسیار قوی و همچنین بسیار سریع هستند. متأسفانه، آنها برای مدل‌های بزرگ کند می‌شوند و نیاز به حافظه آنها بین N 1.5 و N 2 مقیاس می‌شود ، که در آن N تعداد درجات آزادی در مدل است. بنابراین، پیشنهاد پیش‌فرض برای مدل‌های بزرگ دو بعدی و سه بعدی، حل‌کننده تکراری GMRES است. نیاز به حافظه برای یک حل کننده تکراری به طور بهینه به صورت N مقیاس می شود .
GMRES با روش چندشبکه‌ای، به‌طور پیش‌فرض روش چندشبکه‌ای جبری تجمع هموار (SAAMG) شتاب می‌گیرد. هزینه SAAMG معمولاً در مقایسه با تعداد تکرارهای GMRES که در صورت عدم استفاده از روش چندشبکه ای ضروری است، بسیار پایین است. همانطور که از نام آن پیداست، SAAMG مش های درشت تر خود را به صورت جبری می سازد، بنابراین برنامه برای استفاده از SAAMG به مش های اضافی نیاز ندارد. در مقابل، روش هندسی چندشبکه ای (GMG) به مش های واقعی نیاز دارد. اگر بتوان تعداد کافی سطوح چندشبکه ای ساخت، GMG اغلب سریعتر از SAAMG است. GMG همچنین برای محاسبات خوشه ای و برای محاسبات حافظه مشترک با هسته های بسیار برتر است. هنگامی که حل کننده خطی پیش فرض GMRES است، یک گره حل خطی اختیاری، اما غیرفعال، در دسترس است که در آن GMRES توسط GMG شتاب می گیرد.
روش‌های چندشبکه‌ای به صاف‌کننده‌ها نیاز دارند، اما کاراکتر نقطه زینی سیستم خطی، تعداد هموارکننده‌های قابل اجرا را محدود می‌کند. انتخاب ها بیشتر توسط مش های ناهمسانگردی که اغلب در مشکلات جریان سیال با آن مواجه می شوند، محدود می شوند. کارایی صاف کننده ها به شدت به تثبیت عددی بستگی دارد. حل‌کننده‌های تکراری زمانی بهترین عملکرد خود را دارند که هم انتشار Streamline و هم Crosswind Diffusion فعال هستند.
نرم‌افزار پیش‌فرض برای عناصر P1+P1 SCGS است. این یک نرم کننده کارآمد و قوی است که به ویژه برای حل سیستم های نقطه زینی روی مش هایی که حاوی عناصر ناهمسانگرد هستند طراحی شده است. نرم‌افزار SCGS حتی بدون انتشار باد مخالف نیز به خوبی کار می‌کند. SCGS گاهی اوقات می تواند برای عناصر درجه بالاتر کار کند، به خصوص اگر Method در تنظیمات SCGS روی خطوط عنصر مش تنظیم شده باشد . اما هیچ تضمینی برای این وجود ندارد، بنابراین نرم‌افزار پیش‌فرض برای عناصر مرتبه بالاتر، صاف‌کننده خط SOR است. SOR Line ناهمسانگردی مش را کنترل می کند اما به طور رسمی به کاراکتر نقطه زینی نمی پردازد. با این حال، در عمل به شرطی عمل می‌کند که انتشار ساده و انتشار باد متقابل هر دو فعال باشند.
اگر سیستم معادله حاوی متغیرهای ODE باشد، نوع دیگری از کاراکتر نقطه زینی ممکن است ایجاد شود. برخی از شرایط مرزی پیشرفته می توانند معادلاتی را با چنین متغیرهایی اضافه کنند. این متغیرها باید با الگوریتم وانکا درمان شوند. SCGS شامل گزینه ای برای فراخوانی Vanka است. مدل هایی با عناصر درجه بالاتر باید از SCGS استفاده کنند یا از صاف کننده Vanka استفاده کنند. مورد دوم پیشنهاد پیش فرض برای عناصر درجه بالاتر است، اما برای مش های ناهمسانگرد به طور مطلوب کار نمی کند.
حل کننده های وابسته به زمان
حل‌کننده پیش‌فرض وابسته به زمان برای Navier-Stokes، روش BDF با حداکثر ترتیب روی دو است. سفارشات BDF بالاتر برای مشکلات حمل و نقل به طور کلی و به طور خاص برای Navier-Stokes پایدار نیستند.
روش های BDF برای مدت طولانی مورد استفاده قرار گرفته اند و به دلیل پایداری شناخته شده اند. با این حال، آنها می توانند اثرات میرایی شدید، به ویژه روش های درجه پایین تر داشته باشند. از این رو، اگر استحکام مسئله ای نباشد، یک مدل می تواند به جای آن از روش α تعمیم یافته بهره مند شود. تعمیم یافته- α حل کننده ای است که دارای خواصی شبیه به حل کننده BDF مرتبه دوم است اما انتشار بسیار کمتری دارد.
هر دو BDF و α تعمیم یافته به صورت پیش فرض برای تنظیم خودکار مرحله زمانی تنظیم شده اند. در حالی که این برای بسیاری از مدل‌ها به خوبی کار می‌کند، اغلب می‌توان با تعیین حداکثر گام زمانی، کارایی و دقت بیشتری به دست آورد. همچنین اغلب مفید است که یک مرحله زمانی اولیه را مشخص کنید تا حل کننده به آرامی در ابتدای سری های زمانی پیشرفت کند.
 |
|
