 |
جریان فورشهایمر
معرفی
این آموزش کوپلینگ بین جریان سیال در یک کانال باز و بلوک متخلخل متصل به یکی از دیواره های کانال است. این جریان توسط معادله ناویر-استوکس در ناحیه آزاد و یک نسخه تصحیح شده توسط Forchheimer از معادلات برینکمن در ناحیه متخلخل توصیف شده است.
شکل 1: تصویر هندسه و دامنه مدل سازی. هندسه سه بعدی را می توان به یک نمایش دو بعدی کاهش داد با این فرض که تغییرات در ضخامت ناچیز است.
جفت شدن جریان رسانه آزاد با جریان رسانه متخلخل در زمینه های علوم زمین و مهندسی شیمی رایج است. شاید رایج ترین راه برای مقابله با جریان رسانه آزاد و متخلخل جفت شده، ترکیب قانون دارسی در مجاورت ناویر-استوکس باشد، زیرا معمولاً حل آن از نظر عددی آسان است. با این حال، این رویکرد برای اثرات چسبناک ناشی از جریان رسانه آزاد، که ممکن است هنوز در منطقه نزدیک به رابط ساختار آزاد-متخلخل مهم باشد، در نظر نمی‌گیرد. بسته به اندازه منافذ و توزیع منافذ، و همچنین خواص سیال، بنابراین می‌توان استفاده از قانون دارسی را ساده‌سازی کرد.
با این حال، معادلات برینکمن جریان آرام را فرض می کنند. با نگاهی به فرآیندها در ساختارهای نسبتاً باز، مانند جریان گاز از طریق بسترهای بسته، سهم آشفته ای نیز در مقاومت در برابر جریان وجود دارد. در این موارد، یک عبارت اضافی سهم آشفته در مقاومت در برابر جریان در حوزه متخلخل را به حساب می‌آورد. معادله Forchheimer (همچنین معتبر Ergun) به طور گسترده ای برای پیش بینی افت فشار در تخت های بسته بندی شده استفاده می شود. این معادله به طور کلی می تواند به صورت نوشته شود
سمت چپ افت فشار در واحد طول مسافت طی شده از بستر است. عبارت اول در سمت راست معادله بلیک-کوزنی را برای جریان آرام نشان می دهد. افت فشار به طور خطی به میانگین سرعت خطی u برای جریان آرام، مربوط به جریان دارسی بستگی دارد. جمله دوم از معادله کاملاً آشفته بورک-پلامر است که در آن افت فشار متناسب با مجذور سرعت است. توصیف یک جریان میانی، که در آن هر دو اثر آرام و آشفته مهم هستند، به معادله فورشهایمر دو ترمی نیاز دارد. ضرایب α1 و α2 تابعی از تخلخل، ویسکوزیته، متوسط قطر منافذ و چگالی سیال هستند .
تعریف مدل
شکل 2 زیر نمونه دامنه و نمادهای شرایط مرزی را نشان می دهد.
شکل 2: نمادهای دامنه و مرز مدل شده. جریان از پایین وارد و از بالا خارج می شود. منطقه ساختار متخلخل به اندازه کانال آزاد طولانی نیست.
جریان در کانال آزاد توسط معادلات ناویر-استوکس ثابت و تراکم ناپذیر توصیف می شود:
(1)
که در آن μ ویسکوزیته دینامیکی (Pa·s)، u به سرعت در کانال باز (m/s)، ρ چگالی سیال (kg/m3 ) و p فشار (Pa) است. در حوزه متخلخل، معادلات برینکمن با تصحیح فورشهایمر جریان را توصیف می کند:
(2)
در اینجا κ نشان‌دهنده نفوذپذیری محیط متخلخل (m2 ) ، εp تخلخل (بدون بعد) و ضریب اصطکاک بدون بعد است ( مرجع 1 ) .
همانطور که معادله 1 و معادله 2 نشان می دهد، معادلات انتقال تکانه ارتباط نزدیکی با هم دارند. عبارت در سمت چپ فرمول ناویر-استوکس مربوط به حرکت انتقال یافته توسط همرفت در جریان آزاد است. فرمول برینکمن این عبارت را با سهمی مرتبط با نیروی کشش تجربه شده توسط سیال در حال جریان از طریق یک محیط متخلخل جایگزین می کند. علاوه بر این، آخرین عبارت در سمت راست معادله 2 ، تصحیح فورشهایمر را برای کمک‌های کشش آشفته نشان می‌دهد.
در COMSOL Multiphysics، تنظیم و حل چنین رژیم جریان جفت شده آسان است. اجرای درگ اضافی با ضریب فورشهایمر (kg/m 4 ) برابر با
در ورودی جریان یک سرعت جریان عادی u =- U 0 n تعریف شده است. در خروجی جریان سیال می تواند دامنه را ترک کند. شرایط مرزی خروجی با گزینه فشار انتخاب شده، مولفه تنش معمولی را برابر فشار در خروجی قرار می دهد. جزء تنش مماسی ناپدید می شود. تمام مرزهای دیگر به عنوان دیوارهایی با شرایط بدون لغزش u = 0 تعریف می شوند.
جدول زیر داده های ورودی را برای مثال فهرست می کند:
ویژگی | ارزش | شرح |
متر | 10-3 کیلوگرم /(متر·ثانیه) | ویسکوزیته دینامیکی |
r | 1000 کیلوگرم بر متر مکعب | تراکم |
ک | 10 -7 متر مربع _ | نفوذپذیری |
ε ص | 0.4 | تخلخل |
v 0 | 2 سانتی متر بر ثانیه | سرعت ورودی |
نتایج و بحث
شکل 3 میدان سرعت را در کانال باز و ساختار متخلخل نشان می دهد. نمودار نشان می دهد که اختلالات جزئی در سرعت دیوار متخلخل وجود دارد که انتقال تکانه توسط اثرات چسبناک را نشان می دهد.
شکل 3: میدان سرعت بدون تصحیح فورشهایمر (سمت چپ) و با تصحیح فورشهایمر (راست).
شکل 4 شامل نمودار سرعت مقطعی است. این نشان می دهد که بدون تصحیح فورشهایمر، مقاومت در برابر جریان در حوزه متخلخل دست کم گرفته می شود. تصحیح اضافه شده به دلیل تراکم ناپذیری، راه حلی با جریان آهسته تر در حوزه متخلخل و جریان سریعتر در حوزه آزاد می دهد.
شکل 4: مقطع میدان سرعت (قدر سرعت) در وسط حوزه مدلسازی با و بدون تصحیح فورشهایمر.
پس پردازش بیشتر نشان می دهد که نرخ برش عمود بر جریان نیز پیوسته است. این نشان می دهد که انتقال حرکت چسبناک قابل توجهی در سطح مشترک و به مواد متخلخل وجود دارد، انتقالی که توسط قانون دارسی در نظر گرفته نشده است.
نکاتی درباره پیاده سازی COMSOL
برای پیاده سازی رابطه افت فشار فورشهایمر در چارچوب معادلات دیفرانسیل، این مثال از رویکرد پیشنهاد شده در Ref. 1 که در آن تراز حرکتی برینکمن با عبارت فورشهایمر اصلاح می شود. سیستمی که در این مثال مورد بررسی قرار گرفته است، مربوط به مقطع دوبعدی یک کانال مستطیلی است که یک لایه متخلخل به یکی از دیوارهای آن متصل است. جریان با مشخصات سرعت یکنواخت وارد حجم می شود و در طول کانال توسعه می یابد.
ارجاع
1. ع. امیری و ک. وفایی، “تحلیل گذرا جریان تراکم ناپذیر از طریق بستر بسته،” بین المللی. J. انتقال حرارت و جرم ، جلد. 41، صفحات 4259-4279، 1998.
مسیر کتابخانه برنامه: Porous_Media_Flow_Module /Fluid_Flow/forchheimer_flow
دستورالعمل های مدل سازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard روی  2D کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Fluid Flow> Porous Media and Subsurface Flow> Free and Porous Media Flow (fp) را انتخاب کنید . |
3 | کلیک راست کرده و Add Physics را انتخاب کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
هندسه 1
مستطیل 1 (r1)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  Rectangle کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Rectangle ، بخش Size and Shape را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Width ، 1e-3 را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن ارتفاع ، 6e-3 را تایپ کنید . |
5 | قسمت Position را پیدا کنید . در قسمت متن y ، -3e-3 را تایپ کنید . |
مستطیل 2 (r2)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  Rectangle کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Rectangle ، بخش Size and Shape را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Width ، 1e-3 را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن ارتفاع ، 8e-3 را تایپ کنید . |
5 | قسمت Position را پیدا کنید . در قسمت متن x ، -1e-3 را تایپ کنید . |
6 | در قسمت متن y ، -4e-3 را تایپ کنید . |
7 | در نوار ابزار Geometry ، روی  ساختن همه کلیک کنید . |
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
v0 | 2[cm/s] | 0.02 متر بر ثانیه | سرعت ورودی |
eps_p | 0.4 | 0.4 | تخلخل |
رجوع کنید به | 1.75/sqrt (150*eps_p^3) | 0.56481 | ضریب اصطکاک |
fs | 1 | 1 | برای اصطلاحات فورشهایمر سوئیچ کنید |
جریان رسانه آزاد و متخلخل (FP)
متخلخل متوسط 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Free and Porous Media Flow (fp) کلیک راست کرده و Porous Medium را انتخاب کنید . |
2 | فقط دامنه 2 را انتخاب کنید. |
مواد
مایع
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Materials راست کلیک کرده و Blank Material را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مواد ، Fluid را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
3 | بخش محتوای مواد را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
تراکم | rho | 1000 [kg/m^3] | کیلوگرم بر متر مکعب | پایه ای |
ویسکوزیته دینامیکی | که در | 1e-3[Pa*s] | پس | پایه ای |
مواد متخلخل 1 (pmat1)
1 | روی Materials کلیک راست کرده و More Materials>Porous Material را انتخاب کنید . |
2 | فقط دامنه 2 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای مواد متخلخل ، بخش Porosity را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متن ε p ، eps_p را تایپ کنید . |
5 | قسمت خصوصیات همگن را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
ویژگی | متغیر | ارزش | واحد | گروه اموال |
نفوذپذیری | kappa_big ; kappaii = kappa_iso، kappaij = 0 | 1e-7 | متر مربع | پایه ای |
6 | قسمت Phase-Specific Properties را پیدا کنید .  روی Add Required Phase Nodes کلیک کنید . |
مایع 1 (pmat1.fluid1)
1 | در پنجره Model Builder ، روی Fluid 1 (pmat1.fluid1) کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Fluid ، قسمت Fluid Properties را پیدا کنید . |
3 | از لیست مواد ، Fluid (mat1) را انتخاب کنید . |
جریان رسانه آزاد و متخلخل (FP)
متخلخل متوسط 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)>Free and Porous Media Flow (fp) روی Porous Medium 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره Settings for Porous Medium ، بخش Porous Medium را پیدا کنید . |
3 | از لیست مدل جریان ، جریان غیردارسی را انتخاب کنید . |
ماتریس متخلخل 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی Porous Matrix 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای ماتریس متخلخل ، بخش ویژگی های ماتریس را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن c F ، fs*Cf را تایپ کنید . |
ورودی 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Inlet را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 2 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای ورودی ، بخش Velocity را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متنی U 0 ، v0 را تایپ کنید . |
خروجی 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Outlet را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 3 را انتخاب کنید. |
مش 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Mesh 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مش ، قسمت Physics-Controlled Mesh را پیدا کنید . |
3 | از لیست اندازه عنصر ، Fine را انتخاب کنید . |
4 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
مش تحت کنترل فیزیک به طور خودکار یک شبکه لایه مرزی را در دیوارهایی ایجاد می کند که در آن شیب سرعت تند مورد انتظار است.
مطالعه 1
مرحله 1: ثابت
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش مطالعه 1 ، روی Step 1: Stationary کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Stationary ، برای گسترش بخش Study Extensions کلیک کنید . |
3 | کادر بررسی جارو کمکی را انتخاب کنید . |
4 |  روی افزودن کلیک کنید . |
5 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام پارامتر | لیست مقادیر پارامتر | واحد پارامتر |
fs (تغییر برای اصطلاحات Forchheimer) | 0 1 |
6 | در نوار ابزار صفحه اصلی ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
سرعت (fp)
فیلدهای سرعت را مانند شکل 3 تجسم کنید .
1 | در پنجره Settings for 2D Plot Group ، بخش Data را پیدا کنید . |
2 | از لیست مقدار پارامتر (fs) ، 0 را انتخاب کنید . |
ساده 1
1 | روی Velocity (fp) کلیک راست کرده و Streamline را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Streamline ، بخش Streamline Positioning را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن شماره ، 8 را تایپ کنید . |
4 | فقط مرز 2 را انتخاب کنید. |
5 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید . زیربخش Point style را پیدا کنید . از لیست نوع ، پیکان را انتخاب کنید . |
6 | از فهرست توزیع پیکان ، زمان برابر را انتخاب کنید . |
7 | از لیست رنگ ، سفید را انتخاب کنید . |
یک نمودار برای حل از جمله کشیدن Forchheimer ( fs=1 ) در کنار نمودار به صورت زیر ایجاد کنید.
سرعت (fp)
1 | در پنجره Model Builder ، روی Velocity (fp) کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح دوبعدی ، برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . |
3 | از لیست نوع عنوان ، دستی را انتخاب کنید . |
4 | قسمت متنی شاخص پارامتر را پاک کنید . |
5 | برای گسترش بخش Plot Array کلیک کنید . تیک گزینه Enable را انتخاب کنید . |
ساده 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی Streamline 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Streamline ، برای گسترش بخش Plot Array کلیک کنید . |
3 | چک باکس Manual indexing را انتخاب کنید . |
Streamline 1, Surface
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش Results>Velocity (fp) ، روی Ctrl کلیک کنید تا Surface و Streamline 1 را انتخاب کنید . |
2 | کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
سطح 2
1 | در پنجره تنظیمات برای Surface ، بخش Data را پیدا کنید . |
2 | از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 1/راه حل 1 (sol1) را انتخاب کنید . |
3 | برای گسترش بخش Inherit Style کلیک کنید . از لیست Plot ، Surface را انتخاب کنید . |
ساده 2
1 | در پنجره Model Builder ، روی Streamline 2 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Streamline ، بخش Data را پیدا کنید . |
3 | از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 1/راه حل 1 (sol1) را انتخاب کنید . |
4 | قسمت Plot Array را پیدا کنید . در قسمت متن Index ، 1 را تایپ کنید . |
5 | برای گسترش بخش Inherit Style کلیک کنید . در نوار ابزار Velocity (fp) ، روی  Plot کلیک کنید . |
6 |  روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
نمودار را از شکل 4 ایجاد کنید .
Cut Line 2D 1
1 | در نوار ابزار نتایج ، بر روی  Cut Line 2D کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Cut Line 2D ، بخش Line Data را پیدا کنید . |
3 | در ردیف 1 ، x را روی -1e3 تنظیم کنید . |
4 | در ردیف 2 ، x را روی 1e3 تنظیم کنید . |
قدر سرعت
1 | در نوار ابزار نتایج ، روی  1D Plot Group کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، مقدار Velocity را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
نمودار خطی 1
1 | روی Velocity magnitude کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از لیست Dataset ، Cut Line 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | در نوار ابزار اندازه سرعت ، روی  Plot کلیک کنید . |
5 | برای گسترش بخش Coloring and Style کلیک کنید . زیربخش نشانگرهای خط را پیدا کنید . از لیست نشانگر ، چرخه را انتخاب کنید . |
6 | از لیست موقعیت یابی ، Interpolated را انتخاب کنید . |
7 | برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
8 | زیربخش پیشوند و پسوند را پیدا کنید . روی دکمه کلیک کنید  . از منو، Global definitions>Parameters>fs را انتخاب کنید – Switch for Forchheimer . |
9 | در قسمت متن پیشوند ، fs= را تایپ کنید . |
10 | در نوار ابزار اندازه سرعت ، روی  Plot کلیک کنید . |
