تکنیک های تثبیت

چندین تکنیک برای مدیریت ناپایداری های عددی بدون نیاز به اصلاح مش در دسترس است. وجه مشترک همه آنها این است که عبارت هایی را به معادله حمل و نقل اضافه می کنند. این عبارات انتشار عددی را معرفی می‌کنند (انتشار مصنوعی، ویسکوزیته مصنوعی یا ویسکوزیته عددی نام‌های رایج دیگری هستند) که محلول را تثبیت می‌کنند. برای نمایش این بخش‌ها، روی دکمه (

) کلیک کنید و در کادر محاوره‌ای

•

روشهای تثبیت سازگار و ناسازگار انتقال حرارت

•

پایداری عددی – تکنیک های پایدارسازی برای جریان سیال

تثبیت مداوم

یک روش تثبیت ثابت، انتشار عددی را به گونه‌ای اضافه می‌کند که اگر u یک راه‌حل دقیق برای معادله 3-3 باشد، آنگاه راه‌حلی برای مسئله انتشار عددی نیز باشد. به عبارت دیگر، یک روش تثبیت سازگار، هر چه حل عددی به جواب دقیق نزدیک‌تر شود، انتشار عددی کمتری می‌دهد.

تثبیت ناسازگار

یک روش تثبیت ناسازگار، انتشار عددی را به گونه ای اضافه می کند که اگر u یک راه حل دقیق برای معادله 3-3 باشد، آنگاه لزوماً راه حلی برای مسئله با انتشار عددی نیست. به عبارت دیگر، یک روش ناسازگار مقدار مشخصی از انتشار را مستقل از نزدیک بودن حل عددی به جواب دقیق اضافه می کند.

انتشار ایزوتروپیک

افزودن انتشار همسانگرد معادل افزودن یک عبارت است،

به ضریب انتشار فیزیکی، ج . در اینجا δ id یک پارامتر تنظیم است. این به این معنی است که شما مشکل اصلی، معادله 3-3 را حل نمی کنید ، بلکه مشکل تغییر یافته O ( h ) -perturbed را حل می کنید.

(3-6)

از این رو، انتشار ایزوتروپیک یک روش تثبیت ناسازگار است. اگر δ id = 0.5 باشد، عدد Péclet سلول جدید را می توان به صورت بیان کرد

واضح است که به عنوان ||β|| به بی نهایت نزدیک می شود، Pe نزدیک می شود، اما هرگز از یک تجاوز نمی کند. در حالی که یک محلول به دست آمده با انتشار همسانگرد ممکن است در همه موارد رضایت بخش نباشد، انتشار اضافه شده قطعا اثرات نوسانات را کاهش می دهد و مانع انتشار آنها به سایر قسمت های سیستم می شود. همیشه لازم نیست که δ id را تا 0.5 تنظیم کنید تا یک راه حل صاف بدست آورید و مقدار آن در صورت امکان باید کوچکتر باشد. یک قانون کلی خوب این است که δ = 0.5 / p را انتخاب کنید ، جایی که p ترتیب توابع پایه است. مقدار پیش فرض δ id = 0.25 است

شکل 3-29 اثر انتشار همسانگرد را بر معادله 3-5 با δ id = 0.25 نشان می دهد. اگرچه محلول صاف است، اما مقایسه با محلول مرجع در نمودار سمت راست نشان می دهد که انتشار همسانگرد باعث انتشار بسیار زیاد می شود.

شکل 3-29: معادله 3-5 با استفاده از انتشار همسانگرد حل شده است. نمودار سمت راست محلول تثبیت شده (خط چین) را در امتداد y = 0.8 با محلول مرجع (خط جامد) مقایسه می کند.

انتشار ساده

روش انتشار ساده در نرم افزار COMSOL Multiphysics یک روش پایدارسازی ثابت است. هنگامی که به معادله 3-3 اعمال می شود ، روش ساده و رو به باد پتروف-گالرکین (SUPG) را بازیابی می کند، اما همچنین می تواند عملکرد را از روش حداقل مربعات گالرکین (GLS) بازیابی کند. هر دو روش در زیر توضیح داده شده است. برای جزئیات نظری، رجوع کنید . 1 و رفر. 2 .

ساده‌سازی بادبال پتروف-گالرکین (SUPG)

تئوری زیربنایی SUPG کمی پیچیده‌تر از آن است که بتوان در اینجا توضیح داد، اما عبارات حاصل را می‌توان نشان داد که ارتباط نزدیکی با طرح‌های رو به بالا در روش‌های تفاضل محدود و حجم محدود دارند. نشان داده می شود که SUPG پایداری کمتری نسبت به انتشار همسانگرد اضافه می کند (رجوع کنید به شماره 3 )، اما در حالی که دقت انتشار همسانگرد در بهترین حالت O ( h ) است، می توان دقت SUPG را حداقل O ( h ) نشان داد. p+ 1/2 ) که در آن p ≥ 1 ترتیب توابع پایه است.

شکل 3-30 اثر SUPG را بر حل معادله 3-5 نشان می دهد. راه حل از نزدیک از راه حل مرجع دور از لایه های مرزی پیروی می کند، اما در لایه های مرزی، نوسانات رخ می دهد. این یک رفتار معمولی برای انتشار ساده است: محلول در مناطق صاف صاف و دقیق می شود اما می تواند دارای نوسانات محلی در شیب های تیز باشد.

شکل 3-30: معادله 3-5 با استفاده از انتشار ساده حل شد. نمودار سمت راست محلول تثبیت شده (خط چین) را در امتداد y = 0.8 با محلول مرجع (خط جامد) مقایسه می کند.

حداقل مربعات گالرکین (GLS)

حداقل مربعات Galerkin (GLS) نسخه پیشرفته تری از SUPG است که ویژگی های بسیاری را با آن به اشتراک می گذارد. به عنوان مثال، GLS نیز یک روش ثابت است و همان ترتیب دقت SUPG را دارد. برای درک تفاوت بین GLS و SUPG، شکل توسعه یافته زیر را از معادله 3-3 در نظر بگیرید :

(3-7)

که در آن s یک ضریب تولید است اگر s > 0 و ضریب جذب اگر s < 0 باشد. اگر s ≠ 0 باشد ، حل عددی معادله 3-7 با عدد Péclet (به معادله 3-4 مراجعه کنید ) و عدد Damköhler مشخص می شود:

با ترکیب عدد دامکوهلر و عدد پکله می توان یک عدد بی بعد جدید ایجاد کرد:

(3-8)

گسسته سازی گالرکین (ناثبات) ناپایدار می شود اگر 2DaPe > 1 ( مراجعه 4 ) باشد، یعنی اگر اثرات تولید/جذب بر اثرات چسبناک غالب شود. تفاوت GLS با SUPG در این است که GLS این نیاز را کاهش می دهد در حالی که SUPG اینطور نیست. ¹

انتشار باد متقابل

انتشار ساده، انتشار مصنوعی در جهت جریان را معرفی می کند. اگر جواب دقیق معادله 3-3 (یا معادله 3-7 ) حاوی هیچ ناپیوستگی نباشد، اغلب برای به دست آوردن یک راه حل عددی صاف کافی است. با این حال، در شیب‌های تند، ریزش‌ها و فراروش‌ها می‌توانند در جواب‌های عددی رخ دهند ( شکل 3-30 را ببینید ). انتشار باد متقابل این نوسانات کاذب را با اضافه کردن انتشار متعامد به جهت جریان – یعنی در جهت باد متقابل، برطرف می کند.

روش‌های انتشار باد متقابل سازگار هستند، اما غیرخطی نیز هستند. این بدان معنی است که سیستم معادلات گسسته غیرخطی می شود حتی اگر معادله اصلی ( معادله 3-3 یا معادله 3-7 ) خطی باشد که می تواند هزینه محاسباتی را افزایش دهد.


	اگر مهم است که از زیرشاخه یا بیش از حد عبور نکنید، از انتشار باد متقابل استفاده کنید. نمونه‌های معمول غلظت‌هایی هستند که نباید منفی شوند و کسرهای جرمی که باید بین صفر و یک باشند.

همانطور که در Ref پیشنهاد شده است، گزینه انتشار باد متقابل سهم ضعیفی را اضافه می کند . 5 . برای مثال اسکالر در اینجا، اصطلاح خوانده می شود

که در آن g ij تانسور متریک کوواریانت است. ضریب ν h برای سیستم های ناویر-استوکس یک نسخه اصلاح شده از فرمول Hughes-Mallet (HM) Ref است. 6 . در حالت اسکالر، فرمول HM اصلاح شده به طور موثری به شکل پیشنهادی در Ref کاهش می یابد. 6 . علاوه بر این، Ref. 7 پیشنهاد می کند ν h را برای عناصر مرتبه بالاتر کاهش دهید. فرمول در نرم افزار COMSOL Multiphysics ν h را با یک ضریب ضرب می کند

که در آن N ترتیب تابع شکل است.

شکل 3-31 مثال مسئله ( معادله 3-5 ) را نشان می دهد که با استفاده از انتشار جریان جریان و انتشار باد متقابل حل شده است. نوسانات در لایه های مرزی تقریباً به طور کامل حذف شده اند (مقایسه با شکل 3-30 )، اما با معرفی مقداری انتشار اضافی به دست آمده است. به طور کلی، انتشار باد متقابل سعی می‌کند لایه مرزی را به‌طوری که به اندازه‌ای پهن شود که روی مش جدا شود ( شکل 3-26 ). برای به دست آوردن محلول تیزتر و حذف آخرین نوسانات، مش باید به صورت موضعی در لایه های مرزی تصفیه شود.

شکل 3-31: معادله 3-5 با استفاده از انتشار جریان جریان و انتشار باد متقابل حل شد. نمودار سمت راست محلول تثبیت شده (خط چین) را در امتداد y = 0.8 با محلول مرجع (خط جامد) مقایسه می کند.

تثبیت انتشار ساده در COMSOL Multiphysics GLS است اما بدون هیچ گونه عبارات چسبناک در عملگر آزمایش در مدت تثبیت.

تکنیک های تثبیت

شما چه احساسی دارید

اشتراک گذاری این مقاله :