هندسه دو بعدی را برای سادگی در نظر بگیرید، که در آن مختصات قاب فضایی و مادی به ترتیب ( x ، y ) و ( X ، Y ) نامیده می شوند. فرض کنید ( X 0 , Y 0 ) مختصات یک گره مش در پیکربندی مواد اولیه باشد. مختصات فضایی ( x 0 ، y 0 ) همان گره مش در زمان دیگری، t ، توسط توابع داده می شود.
(18-1)
این توابع می توانند تبدیل های صریح (عبارات) یا حل معادله هموارسازی مش باشند. مختصات ماده گره مش ( X 0 , Y 0 ) به نوبه خود می تواند به عنوان توابع یک سیستم زیربنایی مختصات هندسی ( Xg , Yg ) و یک پارامتر p ، به گونه ای که
(18-2)
با گزینه های مشابه برای تحولات. تبدیل‌ها را می‌توان به گونه‌ای زنجیره‌ای کرد که ( x 0 ، y 0 ) به عنوان توابع ( Xg ، Yg )، t و p دیده شوند .
معرفی یک نماد برداری برای مختصات:
|
•
|
مختصات مکانی x = [ x , y , z ]
|
|
•
|
مختصات مواد X = [ X , Y , Z ]
|
|
•
|
مختصات هندسی X g = [ X g , Y g , Z g ]
|
|
•
|
مختصات مش X m = [ X m , Y m , Z m ]
|
رابطه کلی بین فریم ها را می توان نوشت
(18-3)
که در آن f ، g و h توابع با ارزش برداری هستند، t زمان است، p مجموعه‌ای از پارامترها است که ویژگی‌های هندسه تغییر شکل یافته را کنترل می‌کنند، و i تعداد دفعاتی است که هندسه مجدداً مشروب شده است. از نقطه نظر فیزیک، دامنه در مختصات قاب هندسی X g ثابت است که بنابراین در فرمول های بالا ثابت دیده می شود.
از دیدگاه اجزای محدود، در عوض مختصات قاب مش X m است که ثابت هستند و X g = h − 1 ( X m , i ) . بنابراین هنگام مونتاژ ماتریس های المان محدود، رابطه ای که در واقع استفاده می شود این است
که در آن f یک نقشه واحد است اگر قاب های مکانی و مادی بر هم منطبق باشند، g یک نقشه واحد است اگر قاب های ماده و هندسه بر هم منطبق باشند، و نقشه برداری معکوس h − 1 ( Xm , i ) ابتدا یک نقشه واحد است و سپس با درون یابی به روز می شود. بعد از هر عملیات مش بندی مجدد
علاوه بر مجموعه‌های مختلف متغیرهای مختصات، برخی از متغیرهای هندسی دیگر که نرم‌افزار تعریف می‌کند هم برای قاب‌های مکانی و هم برای مادی در دسترس هستند (به متغیرهای هندسی، متغیرهای مش و متغیرهای ایجاد شده توسط فریم‌ها مراجعه کنید ).
