برای تعیین یک تابع ناپیوسته، مانند یک گام در فضا یا زمان، می توانید از توابع منطقی استفاده کنید که در صورت درست بودن به 1 و در غیر این صورت 0 ارزیابی می شود. به عنوان مثال، تابع زیر یک موج سینوسی را تعریف می کند که به مدت 10 ثانیه وجود دارد و پس از آن مقدار 0 را می گیرد:
sin(2*pi*t)*(t<10)
اگر یک ضریب یا یک ویژگی ماده حاوی یک تابع پله یا برخی ناپیوستگی های دیگر باشد، ممکن است مشکلات همگرایی ایجاد شود. برای مسائل وابسته به زمان، الگوریتم گام زمانی می تواند با مشکلاتی مواجه شود. برای مشکلات ثابت، مسائل مربوط به رزولوشن مش می تواند به وجود بیاید، مانند بیش از حد یا کم نور شدن راه حل به دلیل مشکلات شار نامحدود. برای جلوگیری از مشکلات ناشی از ناپیوستگی، آن را با یک تابع گام هموار که مراحل را شبیه‌سازی می‌کند جایگزین کنید. انجام این کار دو هدف را دنبال می کند:
|
•
|
قابلیت اطمینان و همگرایی عددی بهبود یافته است.
|
|
•
|
آنچه به عنوان تابع پله ای در نظر گرفته می شود، در واقع، به دلیل اینرسی، یک تابع پیوسته هموار است.
|
هموارسازی توابع ناپیوسته
ساده ترین راه برای ایجاد یک گام صاف، استفاده از تابع از پیش تعریف شده Step است. این شامل صاف کردن به طور پیش فرض است. توابع Piecewise، Ramp، Rectangle و Triangle نیز شامل صاف کردن هستند (به طور پیش فرض برای توابع Rectangle و Triangle فعال است). توابع پله و مستطیل هموار با چند جمله‌ای درجه 5 تکه‌ای، توابع سطح شیبدار با چند جمله‌ای درجه 4 تکه‌ای و توابع مثلث هموار با چند جمله‌ای درجه 3 تکه‌ای تعریف می‌شوند. هیچکدام از این توابع دارای هیچ افت یا کمتری نیستند.
توابع صاف اضافی
علاوه بر این، عملکردهای صاف زیر در دسترس هستند:
|
•
|
flsmhs ، یک تابع گام هموار، یا تابع Heaviside ، با مشتق اول پیوسته و بیش از حد در دو طرف پله. بیش از حد اطمینان می دهد که انتگرال از 0 تا بی نهایت درست است. y=flsmhs(x,scale) عبارت منطقی y = (x>0) را با هموارسازی انتقال در بازه
تقریبی می کند – scale < x < scale ; یعنی مقدار مقیاس نصف ناحیه هموارسازی s است. fldsmhs مشتق تابع Heaviside هموار شده است. |
|
•
|
flsmsign ، یک تابع علامت هموار با مشتق اول پیوسته. y = flsmsign(x,scale) تابع y = sign(x) را با هموارسازی انتقال در بازه − مقیاس < x < مقیاس تقریبی می کند . fldsmsign مشتق تابع علامت هموار است.
|
|
•
|
flc1hs ، یک تابع Heaviside هموار شده با مشتق اول پیوسته بدون اضافه شدن بیش از حد. نحو آن شبیه توابعی است که توضیح داده شد. تعریف flc1hs به شرح زیر است:
|
|
–
|
flc1hs(x,d) = 0 ، اگر x ≤ – d
|
|
–
|
flc1hs(x,d) = 1 ، اگر x ≥ d
|
|
–
|
flc1hs(x,d) = 0.5 + 0.75 · ( x / d ) – 0.25 · ( x / d ) 3
|
|
•
|
flc2hs ، یک تابع Heaviside هموار با مشتق دوم پیوسته بدون اضافه شدن بیش از حد. نحو آن شبیه توابعی است که توضیح داده شد. تعریف flc2hs به شرح زیر است:
|
|
–
|
flc2hs(x,d) = 0 ، اگر x ≤ – d
|
|
–
|
flc2hs(x,d) = 1 ، اگر x ≥ d
|
|
–
|
flc2hs(x,d) = 0.5 + 0.9375 · ( x / d ) – 0.625 · ( x / d ) 3 + 0.1875 · ( x / d ) 5
|
برای ایجاد یک مستطیل هموار در بازه [ a , b ] با یک مشتق پیوسته و ناحیه هموار s ، از flc1hs(xa,0.5*s)-flc1hs(xb,0.5*s) استفاده کنید. به طور مشابه، یک مستطیل هموار را در یک بازه [ a , b ] با دو مشتق پیوسته و یک ناحیه هموار s با استفاده از flc2hs(xa,0.5*s)-flc2hs(xb,0.5*s) تعریف می‌کنید .
این توابع می توانند به عنوان مکمل و پسوند تابع Step از پیش تعریف شده مفید باشند. در بازه -scale<x<scale ، توابع flsmhs و flsmsign توسط یک چند جمله‌ای درجه 7 انتخاب می‌شوند تا مشتق دوم پیوسته باشد. علاوه بر این، ممان های مرتبه 0، 1 و 2 به ترتیب با ممان های تابع Heaviside و تابع علامت مطابقت دارند. این نشان می دهد که توابع دارای بیش از حد کوچک هستند.
حالا یک مثال را در نظر بگیرید. از flc1hs برای مدل‌سازی ظرفیت حرارتی Cp یک ماده تغییر فاز استفاده کنید . فرض کنید که یک ماده کریستالی دارای ظرفیت گرمایی 1 کیلوژول بر کیلوگرم است. نقطه ذوب آن در فشار فعلی 273.15 K است. فاز مایع دارای ظرفیت گرمایی 2 کیلوژول بر کیلوگرم است. یک مقیاس پارامتر با مقدار 0.1 و سپس یک گره تحلیلی ایجاد کنید که در آن یک تابع تحلیلی HeatCapacity با استفاده از عبارت زیر با آرگومان T تعریف شده است : 1+flc1hs(T-273,scale) ; سپس محدوده نموداری 272.5-273.5 K را در قسمت Plot Parameters تعریف کنید و روی دکمه Plot کلیک کنید.پنجره تنظیمات برای Analytic برای رسم C p حول نقطه ذوب.
 |
توابع هموار شده هر واحد را در آرگومان های ورودی خود می پذیرند با این محدودیت که هر دو آرگومان باید واحد یکسانی داشته باشند. خروجی همیشه بدون واحد است، به جز توابع مشتق خاص fldsmhs و fldsmsign ، که یک واحد بر روی واحد آرگومان ورودی دریافت می کنند.
|
