تحول بین سیستم های مختصات
همه بردارها و ماتریس‌های فضایی می‌توانند به عنوان تانسور تبدیل شوند، زمانی که یک عملیات شامل دو شیء از این قبیل است که در سیستم‌های مختصات مختلف تعریف شده‌اند.
مثالی از جزء نرمال یک شار را در نظر بگیرید،
که در آن D بردار شار است. با استفاده از قرارداد جمع انیشتین،
که در آن زیرنویس ها نشان دهنده شاخص های کوواریانس و بالانویس ها نشان دهنده شاخص های متضاد هستند . نوع شاخص تعیین می کند که چگونه اجزای یک تانسور بین سیستم های مختصات مختلف تغییر شکل می دهند. یک سیستم مختصات غیر متعارف، در میان دیگر، دارای دو مجموعه بردار پایه است که به عنوان پایه های کوواریانت و متضاد شناخته می شوند. مولفه های تانسور کوواریانت به بردارهای پایه متضاد و مولفه های تانسور متضاد به بردارهای پایه کوواریانت اشاره دارند. برای همه سیستم‌های متعارف، این دو مجموعه از بردارهای پایه، و این دو مجموعه از اجزا، یکسان هستند. حال فرض کنید که D i در سیستم مختصاتی متفاوت از n i داده شده است . برای محاسبه صحیح q ، Dابتدا باید i به عنوان یک تانسور متضاد (مرتب اول) تبدیل شود
که x i مختصات i در سیستم مورد نظر و u i مختصات i در سیستم اصلی است . برای جدا کردن شاخص‌های تانسور در سیستم‌های مختلف، نام مختصات را نیز درج می‌کنند. اگر در عوض تانسور در ابتدا کوواریانت بود، تبدیل تبدیل می شد
هرگاه چندین سیستم در یک عبارت یا تخصیص متغیر وجود داشته باشد از این تبدیل ها استفاده می شود. رایج ترین مثال زمانی است که شما از یک سیستم مختصات ورودی برای ورودی های کاربر خود استفاده می کنید که با سیستم بردار پایه ای که متغیرها در آن ذخیره می شوند متفاوت است. برای مثال، یک تانسور ماده از کتابخانه مواد می‌تواند تحت یک چرخش قرار گیرد تا محور z خود را با محور y سیستم که در آن متغیرهای تانسوری استفاده شده در مدل تعریف شده‌اند، تراز کند.
موقعیت دیگری که یک متغیر ممکن است تحت تبدیل خودکار قرار گیرد این است که سعی کنید یک حاصل ضرب نقطه اسکالر را بین دو تانسور از یک نوع انجام دهید – برای مثال، دو تانسور کوواریانت. تجزیه کننده عبارت سپس یک عملیات افزایش شاخص را روی D j قبل از گرفتن حاصل ضرب نقطه انجام می دهد
این در اصل یک ضرب با تانسور متریک متضاد، g ij است . تانسور متریک ماتریس هویت برای همه سیستم‌های متعامد است که در آن اجزای کوواریانت و متضاد یکسان هستند.
ارجاع
1. GB Arfken, HJ Weber, Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, 1995.
