معادلات زیربنایی رابط‌های فیزیک معمولاً بر حسب تانسورها فرمول‌بندی می‌شوند، قبل از تبدیل شدن به شکل مؤلفه‌ای که توسط ارزیاب بیان و کد مونتاژ ماتریس در هسته COMSOL Multiphysics مورد نیاز است. این تبدیل تا حد زیادی خودکار است: در داخل رابط های فیزیک، معادلات با استفاده از اجسام بردار و ماتریس با ویژگی های تانسور (تبدیل) به خوبی تعریف شده نشان داده می شوند. وقتی معادلات برای مونتاژ یا برای نمایش در Equation View صادر می شوندگره ها، این اشیاء به مجموعه ای از متغیرها مسطح می شوند که اجزای آنها را در برخی از سیستم مختصات نشان می دهد. برای تفسیر مقادیر این متغیرها در پس پردازش یا استفاده صحیح از آنها در معادلات دیگر، مهم است که بدانیم آنها چه نوع اجزایی هستند، به کدام سیستم مختصات اشاره می کنند و گاهی اوقات چگونه بین سیستم ها تبدیل می شوند.
برای برخی از متغیرهای مؤلفه، سیستم مختصاتی که آنها به آن اشاره می‌کنند در توضیحات متغیر نوشته شده است، که در پس پردازش، در نمای معادله و در درخت‌های منوی Replace Expression قابل مشاهده است. اما در بسیاری از موارد، ویژگی‌های مؤلفه با نوع متغیری که مؤلفه‌ها به آن تعلق دارند و شاخص‌هایی که برای تولید نام متغیرهای منحصر به فرد برای مؤلفه‌های آن استفاده می‌کنند، دلالت می‌کنند. این بخش قصد دارد راهنمایی هایی را برای تفسیر معنای متغیرهای مؤلفه تانسور بر اساس نام و منشأ آنها ارائه دهد.
نشانه گذاری شاخص
نام متغیرهای مؤلفه تانسور معمولاً از یک نام پایه (نام تانسور ) با افزودن یک یا دو شاخص ایجاد می شود. این کار با استفاده از یکی از دو اصل موجود انجام می‌شود: یا شاخص‌ها نام مختصاتی از سیستم مختصاتی هستند که شاخص به آن اشاره دارد، یا اعداد 1 ، 2 و 3 هستند.
رایج‌ترین حالت این است که یک متغیر بردار یا ماتریسی به عنوان مؤلفه در یکی از چهار فریم استاندارد صادر می‌شود و سپس معمولاً از نام مختصات آن فریم به عنوان شاخص استفاده می‌کند. همه نام‌های مختصات قاب که در حال حاضر در یک کامپوننت استفاده می‌شوند را می‌توان در پنجره تنظیمات گره مؤلفه بررسی کرد (و تغییر داد). نام‌های پیش‌فرض قاب‌های فضایی و مادی در یک مدل سه‌بعدی به ترتیب x ، y ، z و X ، Y ، Z هستند. به عنوان مثال، بردار a در قاب ماده دارای اجزایی است که با aX ، aY و aZ نشان داده شده است.در حالی که یکی در قاب فضایی دارای اجزای ax , ay , و az می باشد .
تانسورهایی که به عنوان متغیرهای مؤلفه ای نشان داده می شوند که به یک سیستم مختصات تعریف شده توسط کاربر اشاره می کنند، اغلب اما همیشه از نام مختصات مشخص شده در پنجره تنظیمات گره های سیستم مختصات به عنوان شاخص استفاده نمی کنند. برای مثال، جزء جهت عادی یک بردار a در سیستم مرزی پیش‌فرض معمولاً یک نامیده می‌شود .
تانسورهای باقیمانده دارای اجزای آنها با شاخص های عددی هستند. به عنوان مثال، یک بردار a می تواند دارای اجزای a1 ، a2 و a3 باشد. این شاخص‌ها همیشه زمانی استفاده می‌شوند که مؤلفه‌ها به سیستم مختصات ضمنی اشاره می‌کنند (که به‌عنوان یک گره در درخت Model Builder وجود ندارد)، اما همچنین در موقعیت‌های دیگری که راحت‌تر از تغییر نام مؤلفه‌ها به‌صورت پویا در قاب یا مختصات اجتناب شود، استفاده می‌شود. نام مختصات سیستم تغییر کرده است. برای مثال، این مورد برای اجزای بردارهای پایه و ماتریس‌های تبدیل تعریف شده توسط گره‌های سیستم مختصات، و برای تانسورهایی است که به صورت داخلی در رابط‌های مکانیک ساختاری استفاده می‌شوند.
نمی توان فقط از روی نام متغیرهای مؤلفه، تشخیص داد که آیا شاخص ها کوواریانت یا مغایر هستند، زیرا آنها زیرنویس یا بالای خط نیستند. این وظیفه کاربر است که در صورت لزوم این ویژگی ها را پیگیری کند. همچنین نمی توان تشخیص داد که آیا تفسیر صحیح جزء به مرجع حجمی نیاز دارد یا خیر، و اگر چنین است، کدام مرجع حجمی خواهد بود. به عنوان مثال، شما نمی توانید تنها با نگاه کردن به نام اجزا، تفاوت بین یک بردار تنش اسمی (به مساحت سطح قاب ماده) و یک بردار تنش واقعی (اشاره به سطح قاب فضایی) را تشخیص دهید. یکی از راه های ممکن برای بررسی واریانس و خواص چگالی متغیرهای مؤلفه تانسور، درج آن در یکی از ویژگی های تبدیل است .یا Matrix Transform )، و نحوه به روز رسانی تنظیمات سیستم مختصات ورودی را مشاهده کنید.
نکته اصلی این است که وقتی یک متغیر جزء از یک چارچوب یا مختصات سیستم مختصات به عنوان شاخص استفاده می کند، می توانید مطمئن باشید که مقدار جزء به سیستم مربوطه اشاره دارد. وقتی شاخص یک عدد است، باید توصیف متغیر و زمینه ای که در آن استفاده می شود را بررسی کنید تا متوجه شوید به کدام سیستم اشاره دارد. و هنگامی که ویژگی‌های کوواریانس، ضد واریانس یا چگالی مهم هستند، همین موضوع صدق می‌کند
مولفه های کوواریانت و متضاد
اشیاء تانسوری که در داخل یک رابط فیزیک استفاده می‌شوند به یک سیستم مختصات گره خورده‌اند، که می‌تواند یک قاب استاندارد باشد، که توسط کاربر در Variable Utilities>Coordinate Systems تعریف شده است، یا به طور ضمنی در داخل رابط ایجاد شده است. هر جزء (هر شاخص) یک تانسور نیز به صورت کوواریانت یا متضاد تنظیم شده است. در برخی موارد، پیگیری این موضوع مهم است.
برای مثال، اجزای متضاد یک بردار با انقباض بر روی اولین شاخص ماتریس تبدیل تعریف شده توسط ویژگی سیستم مختصات (ضرب بردار با ماتریس تبدیل از سمت چپ) از یک سیستم مختصات تعریف شده توسط کاربر به سیستم قاب زیرین تبدیل می‌شوند. . اجزای کوواریانس با انقباض بر روی دومین شاخص معکوس ماتریس تبدیل (ضرب بردار از سمت چپ با جابجایی معکوس) در یک جهت تبدیل می شوند. اگر سیستم مختصات در قاب زیرین متعامد باشد، انتقال ماتریس تبدیل برابر با معکوس آن است و جابجایی معکوس، خود ماتریس تبدیل است. بنابراین در آن صورت مولفه های کوواریانت و متضاد به یک شکل تغییر می کنند. اما اگر سیستم مختصات غیر متعارف باشد،
طبق قرارداد، تمام ورودی های کاربر که ممکن است شکل ماتریسی یا برداری داشته باشند کاملاً متناقض تنظیم می شوند. این به صراحت بیان نشده است. به عنوان مثال، در رابط انتقال حرارت در جامدات، دو ورودی ممکن بردار سرعت v و ماتریس هدایت حرارتی k هستند. آنچه به عنوان اجزای آن تانسورها وارد می شود به عنوان اجزای متضاد تلقی می شود. تا زمانی که فقط از سیستم های مختصات متعامد استفاده می شود این مهم نیست، اما در غیر این صورت تفاوت ایجاد می کند. درست همانطور که هنگام وارد کردن مقادیر عددی باید واحد مشخص شود، برای اینکه مقادیر معنی داشته باشند، باید مبنایی که در آن اجزای تانسور را نشان می دهند، مشخص شود.
اکنون متغیرهای فیزیکی را در نظر بگیرید که معادلات برای آنها حل شده است، و اینکه آیا آنها “باید” کوواریانت یا متضاد باشند. یک تانسور ذاتاً کوواریانت یا متضاد نیست – انواع مختلف مؤلفه‌ها فقط دو راه برای بیان یک چیز هستند. به خاطر ثبات، قرارداد این است که بیشتر متغیرها به عنوان اجزای متضاد آنها ذخیره می شوند. با این حال، به منظور جلوگیری از تبدیل غیرضروری اجزای بین پایه‌ها، گاهی اوقات ذخیره اجزای کوواریانت به جای آن سودمند است.
چند نمونه از این را می توان از رابط های مختلف فیزیک گرفت. در ماژول مکانیک سازه، دو تانسور مرتبه دوم تانسور تنش σ و تانسور کرنش ε هستند. حاصلضرب کولون بین این تانسورها در عبارات انرژی و به ویژه در فرمول ضعیفی که برای ساختن ماتریس‌های سختی در فرمول اجزای محدود استفاده می‌شود، ظاهر می‌شود. بنابراین از آن زمان به بعد راحت‌تر است که یکی کوواریانت و دیگری متضاد باشد
.بدون نیاز به درگیر کردن یا حتی مشخص کردن یک معیار.
در نرم افزار COMSOL Multiphysics، تانسور تنش با اجزای متضاد و تانسور کرنش با اجزای کوواریانت ذخیره می شود. مثال دیگری را می توان از ماژول AC/DC گرفت که دارای متغیرهایی مانند بردار میدان الکتریکی E ، چگالی شار مغناطیسی B و پتانسیل بردار مغناطیسی A است. دو تا از معادلات ماکسول که حاوی اینها هستند را می توان به صورت نوشتاری نوشت
،و
.از آنجایی که گرادیان یک اسکالر در اصل دارای مولفه های کوواریانت است، اگر سایر بردارهای ظاهر شده در معادله اول نیز برای سازگاری کوواریانت باشند، عملی است. از آنجایی که عملگر curl واریانس آرگومان خود را تغییر می‌دهد، برای اینکه در معادله دوم سازگاری داشته باشد، باید چگالی شار مغناطیسی متناقض باشد. این دقیقاً چگونه این متغیرها ذخیره می شوند – میدان الکتریکی و پتانسیل بردار مغناطیسی با مولفه های کوواریانت و چگالی شار مغناطیسی با اجزای متضاد.
به طور کلی، می‌توانید انتظار داشته باشید که گرادیان‌ها با مؤلفه‌های کوواریانت و شارها با مؤلفه‌های متضاد نمایش داده شوند. سپس تانسورهای سازنده در همه شاخص ها متناقض خواهند بود.
تراکم تانسور
یک ویژگی مهم دیگر وجود دارد که اجزای متغیر می توانند داشته باشند، یعنی اینکه آیا چگالی تانسوری هستند یا خیر. چگالی تانسور، به طور کلی، چیزی است که در حجم یا در هر سطح اندازه گیری می شود . چنین متغیرهایی هنگام تبدیل بین سیستم های مختصات نیاز به ضرب اضافی در یک ضریب حجمی دارند. همچنین ظرفیت های تانسوری وجود دارد که به صورت حجم یا تحت تغییر سیستم مختصات تبدیل می شوند. توجه داشته باشید که علاوه بر بردارها و ماتریس ها، اسکالرها نیز می توانند چگالی یا ظرفیت باشند. چگالی جرم مشترک نمونه‌ای از حالت اول است، در حالی که متغیر dvol که حجم عنصر مش را نشان می‌دهد یک ظرفیت اسکالر است.
توجه به این نکته مهم است که کدام متغیرهای فیزیکی باید دارای وزن چگالی تانسوری باشند. این سخت‌گیرانه‌تر از هم‌واریانتی بودن یا نبودن مؤلفه‌ها است، زیرا این یک واقعیت فیزیکی است تا یک موضوع تفسیری. برخی از متغیرها به دلیل منشأ فیزیکی باید چگالی تانسوری داشته باشند. این امر به ویژه برای تمام شارهای یک کمیت حفظ شده، به عنوان مثال چگالی جریان الکتریکی J اعمال می شود. بسیاری از خواص مواد به دلیل شکل ظاهری آنها در روابط سازنده باید چگالی باشند: ضرب یک گرادیان (که یک بردار ساده است) برای تولید یک شار (که چگالی برداری است).
تبدیل خودکار
دو نوع تبدیل اجسام تانسوری وجود دارد که باید به طور منظم در حین دستکاری متغیرها و معادلات انجام شوند. در داخل رابط های فیزیک، آنها به طور خودکار در صورت لزوم انجام می شوند.
|
•
|
شاخص ها باید کاهش یا افزایش یابد و مولفه ها از کوواریانت به متناقض و بالعکس تغییر کنند.
|
|
•
|
اجزا باید بین سیستم های مختصات مختلف تبدیل شوند.
|
افزایش و کاهش شاخص‌ها با انقباض با تانسور متریک انجام می‌شود که در COMSOL با gSub یا gSup نشان داده می‌شود ، بسته به اینکه آیا کوواریانت (شاخص‌های زیرنویس‌شده) یا متضاد (شاخص‌های فوق‌نویس) است. زمانی استفاده می‌شود که تانسورها در عبارات به شکل اشتباه وارد شوند. به عنوان مثال، اگر یک ضرب نقطه بین دو بردار a و b گرفته شود ، آنها باید به شکل مخالف باشند زیرا
.اگر هر دو بردار به عنوان کوواریانت یا هر دو متناقض وارد شوند، از متریک برای افزایش یا کاهش شاخص یکی از آنها استفاده می شود. همین امر برای سایر عملیات مانند محصول کولون یا محصول متقاطع، که در آن مهم است که چه اجزایی استفاده می شود، صدق می کند.
هنگام تولید معادلات و متغیرها، هم بین فریم های استاندارد مختلف و هم بین سیستم های مختصات تعریف شده توسط کاربر، تبدیل بین سیستم های مختصات مختلف نیز مورد نیاز است. به عنوان مثال، اگر دو تانسور ورودی برای نوعی عملیات، اجزای خود را در فریم های مختلف تعریف کرده باشند، باید یکی به قاب دیگری تبدیل شود. هنگام انجام چنین تبدیل مختصاتی، مهم می شود که اجزاء کوواریانت هستند یا متضاد. در غیر این صورت، مولفه ها با جابجایی معکوس ماتریس های تبدیل صحیح تبدیل می شوند و به جای مولفه هایی در فرم وجود دارند 
.
، یا برعکس. برای سیستم‌های متعارف از نظر فنی تفاوتی ایجاد نمی‌کند، اما برای سازگاری و اطمینان از اینکه در همه سیستم‌ها کار می‌کند، انتظار می‌رود معادلات به طور رسمی صحیح باشند. همچنین مهم است که آنها به درستی به عنوان چگالی تانسور با وزن مناسب برچسب گذاری شوند، زیرا این نیز بر تبدیل تأثیر می گذارد.
.، یا برعکس. برای سیستم‌های متعارف از نظر فنی تفاوتی ایجاد نمی‌کند، اما برای سازگاری و اطمینان از اینکه در همه سیستم‌ها کار می‌کند، انتظار می‌رود معادلات به طور رسمی صحیح باشند. همچنین مهم است که آنها به درستی به عنوان چگالی تانسور با وزن مناسب برچسب گذاری شوند، زیرا این نیز بر تبدیل تأثیر می گذارد.
