در کار اصلی خود، Biot نظریه کلاسیک کشش خطی را به محیط های متخلخل اشباع شده با سیالات گسترش داد ( مرجع 1 ، مرجع 2 ، و مرجع 3 ).
در تئوری Biot، مدول های حجیم و قابلیت تراکم مستقل از فرکانس موج هستند و می توانند به عنوان پارامترهای ثابت در نظر گرفته شوند. ماتریس متخلخل با الاستیسیته خطی توصیف می‌شود و میرایی با در نظر گرفتن ویسکوزیته سیال در منافذ، که می‌تواند وابسته به فرکانس باشد، معرفی می‌شود. این توصیف برای انتشار امواج متخلخل در خاک ها و سنگ هایی که سیال اشباع کننده مایع است، مانند نفت یا آب، کافی است. این فرمول به عنوان مدل Biot نامیده می شود (این به نوعی فرمول کلاسیک است).
• | تصحیح فرکانس بالا (مدل Biot) |
هنگامی که ماده متخلخل در نظر گرفته شده توسط یک گاز اشباع می شود، مانند هوا، تلفات حرارتی باید لحاظ شود تا رفتار آن به درستی مدل شود. این مورد در مورد مدل سازی جاذب صدا، آستر کابین خودرو یا فوم های مورد استفاده در هدست یا بلندگوها است. فرمول معادلات که در آن هر دو تلفات حرارتی و ویسکوز گنجانده شده است، گاهی اوقات به عنوان مدل Biot-Allard نامیده می شود . در این مورد، هم ویسکوزیته و هم تراکم‌پذیری سیال وابسته به فرکانس و ارزش پیچیده در نظر گرفته می‌شوند ( مرجع 7 ، رفرنس 8 ، مرجع 9 ، رف .
• | مدل Biot-Allard (تلفات چسبناک و حرارتی) |
عبارات Biot را برای امواج poroelastic در نظر بگیرید ( مرجع 3 ، مرجع 4 ، و مرجع 6 )
(3-2)
در اینجا، u جابجایی ماده متخلخل، σ تانسور تنش کل (ماده سیال و متخلخل)، w جابجایی سیال نسبت به ماتریس متخلخل، ρf و μf چگالی و ویسکوزیته سیال است ، τ است. پیچ خوردگی، ε p تخلخل، p f فشار منفذ سیال، κ نفوذپذیری و ρ av چگالی متوسط است. چگالی متوسط چگالی کل (مواد متخلخل به اضافه سیال منفذی) ρ av = ρ d + ε است. p ρ f .
با فرض وابستگی هارمونیک زمانی برای متغیرها، u ( x ,t ) = u ( x ) e i ω t , w ( x ,t ) = w ( x ) e i ω t , مشتقات زمانی را می توان حذف کرد، بنابراین سیستم در معادله 3-2 تبدیل می شود
(3-3)
در اینجا، چگالی مختلط ρc ( ω ) ( مراجعه 5 ) پیچ خوردگی، تخلخل، و چگالی سیال، و کشش چسبناک روی ماتریس متخلخل را به حساب می‌آورد .
(3-4)
تصحیح فرکانس بالا (مدل BIOT)
در فرکانس‌های پایین یا برای اندازه‌های منافذ کوچک، می‌توان پروفیل جریان داخل منافذ را شبیه پوازوی فرض کرد. در این حالت، ویسکوزیته در معادله 3-4 به طور موثر مقدار ثابتی دارد. برای افزایش فرکانس، پروفایل تغییر می کند و یک ضریب تصحیح وابسته به فرکانس باید در نظر گرفته شود. این کار با انتخاب گزینه محدوده فرکانس بالا Biot از لیست مدل ویسکوزیته انجام می شود . در این مورد معادله 3-4 با ویسکوزیته وابسته به فرکانس μc ( f ) اجرا می‌شود ( مرجع 2 ، مرجع 3 ، مرجع 5 )
در اینجا، f r یک فرکانس مرجع (واحد SI: هرتز) است که محدوده فرکانس پایین f << f r و محدوده فرکانس بالا f >> f r را تعیین می کند .
فرکانس مرجع f r را می توان به عنوان حدی تفسیر کرد که نیروهای ویسکوز با نیروهای اینرسی در حرکت سیال برابری کنند. در منافذی با اندازه مشخصه a ، این زمانی اتفاق می افتد که عمق نفوذ چسبناک برابر با شعاع منافذ باشد.
در حد فرکانس پایین، اثرات ویسکوز غالب است، در حالی که در حد فرکانس بالا، اثرات اینرسی بر حرکت سیال در منافذ غالب است (تلفات در لایه مرزی چسبناک رخ می دهد). در محدوده فرکانس پایین Biot، ω → 0 و F c = 1 .
به منظور محاسبه وابستگی فرکانس به درگ چسبناک، Biot عملگر Fc ( Θ ) را به صورت تعریف کرد.
که در آن T ( Θ ) به توابع کلوین Ber ( Θ ) و Bei ( Θ ) مربوط می شود.
و J 0 و J 1 توابع بسل از نوع اول هستند. این عبارت را می توان به عنوان اصطلاحات تلفات در Zwikker-Kosten مانند مدل های سیال معادل ( اشتقاق مدول حجمی معادل معتبر برای هر سیال در نظریه Zwikker-Kosten ) یا مدل های تلفات برای موجبرهای استوانه ای در مدل های آکوستیک ناحیه باریک یا LRF شناسایی کرد. ( درباره مدل های آکوستیک منطقه باریک ) مدل ها.
فرمولاسیون UP
فرمول بندی بر حسب جابجایی‌های u و w از نظر عددی بهینه نیست، زیرا نیاز به حل دو میدان جابجایی دارد ( مرجع 7 ، مرجع 8 ، مرجع 9 ). رابط امواج Poroelastic برای متغیر فشار منفذ سیال pf به جای میدان جابجایی سیال w را حل می کند .
ردیف دوم در معادله 3-3 ساده شده است
بنابراین ردیف اول در معادله 3-3 تبدیل می شود
(3-5)
سپس تانسور تنش کل σ به کمک های ماتریس متخلخل الاستیک (زهکش شده) و سیال منفذی تقسیم می شود.
در اینجا، تانسور هویت I به این معنی است که فشار منفذی p f فقط به قطر تانسور تنش کل σ کمک می کند . پارامتر α B به اصطلاح ضریب Biot-Willis است. تانسور تنش زهکشی شده به صورت σ d = c نوشته می شود: ε وقتی تانسور کرنش ماتریس متخلخل است، و تانسور الاستیسیته c حاوی خواص کشسانی ماتریس متخلخل تخلیه شده است (ویژگی مواد الاستیک خطی را در ماژول مکانیک سازه ببینید . راهنمای کاربر ).
در نهایت، معادله 3-5 را بر حسب متغیرهای u و p مرتب کنید :
(3-6)
معادله Biot بعدی از گرفتن واگرایی ردیف دوم در معادله 3-3 بدست می‌آید که قبلاً بر -ρc ( ω ) تقسیم شده است.
(3-7)
با استفاده از عبارات کرنش حجمی ε vol = ∇ · u و جابجایی سیال ( مراجعه 3 ، کد 4 )،
مدول بیوت M از تخلخل εp ، تراکم پذیری سیال χf ، ضریب بیوت-ویلیس αB و مدول حجمی تخلیه شده ماتریس متخلخل Kd محاسبه می شود .
(3-8)
بنابراین معادله 3-7 ساده می شود
(3-9)
و معادلات موج Biot ( معادله 3-6 و معادله 3-9 ) را می توان بر حسب متغیر u و p f به صورت نوشتاری نوشت.
(3-10)
 | مدول اشباع شده (همچنین گاسمن نامیده می شود) را می توان از مدول حجمی تخلیه شده Kd ، مدول Biot M و ضریب Biot-Willis α B به عنوان K sat = Kd + α B 2 M به دست آورد ( مراجعه 5 ). |
ترتیب بیشتر ردیف اول در معادله 3-10 برای تناسب با فرمول در رابط امواج الاستیک ( معادله 3-1 ) نشان می دهد
(3-11)
بار بدن F به فرکانس زاویه ای و گرادیان فشار سیال بستگی دارد و فشار سیال به عنوان یک سهم کروی در قطر تانسور تنش کوشی عمل می کند.
ترتیب ردیف دوم در معادله 3-10 برای تناسب با اجرای آکوستیک فشار، رابط دامنه فرکانس ارائه می دهد (به پیشینه تئوری برای شاخه آکوستیک فشار مراجعه کنید )
(3-12)
منبع دامنه تک قطبی Q m (واحد SI: 1/s 2 ) و منبع دامنه دوقطبی qd (واحد SI: N/m 3 ) به فرکانس زاویه ای ω ، جابجایی ماتریس متخلخل u ، چگالی سیال و ضریب بیوت-ویلیس α B
مدل BIOT-ALLARD (تلفات چسبناک و حرارتی)
هنگامی که هر دو تلفات حرارتی و ویسکوزیته گنجانده شوند، ویسکوزیته در معادله 3-4 و تراکم پذیری سیال در معادله 3-8 با عبارات وابسته به فرکانس جایگزین می شوند. تلفات ناشی از ویسکوزیته با بیان ویسکوزیته و تلفات ناشی از هدایت حرارتی توسط بیان تراکم پذیری سیال در نظر گرفته می شود، رجوع کنید به Ref. 9 .
ویسکوزیته پیچیده وابسته به فرکانس با استفاده از
که در آن طول مشخصه چسبناک L v معرفی شده است (گاهی به آن Λ اطلاق می شود ). تراکم پذیری سیال پیچیده وابسته به فرکانس با استفاده از
که در آن طول مشخصه حرارتی L th معرفی شده است (گاهی اوقات به عنوان Λ ‘ نامیده می شود ). این دو عبارت را می توان در مدل سیال معادل JCA ( جانسون-شامپوکس-آلارد (JCA) ) موجود در فشار آکوستیک تشخیص داد.
 | مدل‌های تلفات یا فرمول‌بندی‌های مختلف برای ویسکوزیته وابسته به فرکانس و تراکم‌پذیری سیال را می‌توان به صورت دستی وارد کرد. برای انجام این کار، مدل Biot (تلفات ویسکوز) را انتخاب کنید و سپس تراکم پذیری سیال و ویسکوزیته دینامیک سیال را روی User defined تنظیم کنید . در این دو فیلد عبارت مدل مورد نظر را وارد کنید. برای مثال، می تواند با استفاده از متغیر freq به فرکانس بستگی داشته باشد . |
