 |
بهینه سازی توپولوژی ساختار زانو بارگذاری شده
معرفی
تصور کنید که در حال طراحی یک براکت هستید که باید بار مشخصی را به سمت پایین و کنار لنگر حمل کند. به عنوان اولین تلاش، یک ساختار کاملاً محکم مانند شکل زیر را امتحان کنید.
شکل 1: هندسه سازه با بارها و محدودیت ها.
این طرح به وضوح بیش از حد طراحی شده است و از متریال استفاده موثری نمی کند. همانطور که یک شبیه‌سازی مستقیم نشان می‌دهد، تنش‌ها به طور نابرابر توزیع می‌شوند، به این معنی که برخی از مناطق بار کمتری نسبت به سایرین دارند. به شرطی که بتوان سفتی قطعه را به عنوان مثال به 40 درصد از مقدار محاسبه شده از طراحی کاملاً جامد بدون نقض مشخصات کاهش داد، حذف برخی از مواد وسوسه انگیز است – باعث صرفه جویی در وزن و هزینه می شود. اما حداقل مواد لازم چقدر است و چگونه باید توزیع شود؟
این مدل نشان می دهد که چگونه می توانید مدل SIMP (مواد همسانگرد جامد با مجازات) را برای بهینه سازی توپولوژی ساختاری با COMSOL Multiphysics اعمال کنید. توجه داشته باشید که برخلاف روشی که معمولاً SIMP اعمال می شود، این مثال به جای حداکثر کردن سختی برای حداکثر وزن مشخص، وزن را برای حداقل سختی مشخص به حداقل می رساند.
تعریف مدل
ناحیه ای که ممکن است حاوی مواد جامد باشد با طرح L شکل اولیه محدود شده است. شکل 1 را ببینید . بالاترین مرز سازه ثابت است در حالی که بار به طور مساوی در بیرونی ترین 5 سانتی متر از مرز نشان داده شده در شکل توزیع می شود. ماده ای که سازه از آن ساخته شده است یک فولاد سازه ای با مدول یانگ، E 0 = 200 GPa و نسبت پواسون، ν = 0.33 است . قسمت باید از یک ورق به ضخامت 2 سانتی متر بریده شود.
در مدل SIMP (نگاه کنید به کد 1 )، تانسور تنش تابعی از مدول یانگ واقعی E 0 و ضریب حجم ماده، θp در نظر گرفته می‌شود ، که تابعی از متغیر کنترل است، 0 ≤ θc ≤ 1 :
از آنجایی که سفتی به دلایل عددی باید در هیچ کجای مدل به طور کامل از بین نرود، ضریب حجم ماده جریمه شده، θ p ، به گونه ای محدود می شود که 10 -3 = θ min ≤ θ p ≤ 1 . توان p ≥ 1 یک عامل جریمه است که باعث می‌شود چگالی‌های میانی سفتی کمتری را در مقایسه با وزنی که قیمت دارند ارائه دهند. ضریب حجم مواد به متغیر کنترل از طریق فیلتر هلمهولتز و تابع طرح بر اساس تابع مماس هذلولی مرتبط است:
در اینجا θf ، β ، و θβ ضریب حجم مواد فیلتر شده، شیب طرح ریزی و نقطه طرح ریزی هستند . راه حل را می توان با استفاده از یک مقدار ثابت شعاع فیلتر، Rmin مستقل از وضوح مش ایجاد کرد، اما در این مثال ، مش را تغییر نمی دهیم و بنابراین شعاع فیلتر پیش فرض را بر اساس اندازه عنصر مش محلی اعمال می کنیم.
هنگامی که یک حد پایین تر در سفتی هر طرح قابل قبولی وجود داشته باشد، که به طور معادل به عنوان یک حد بالایی در کل انرژی کرنش بیان می شود.
(1)
جریمه SIMP θc را به سمت هر یک از مرزهای آن نیرو می دهد. بنابراین افزایش p منجر به یک راه حل واضح تر می شود. حداکثر انرژی کرنش W s max به راحتی به عنوان یک عامل ضربدر کمترین انرژی کرنش ممکن بیان می شود، همانطور که برای طراحی کاملاً جامد در شکل 1 محاسبه شده است .
از نظر مفهومی، مسئله بهینه سازی صرفاً به حداقل رساندن مقدار مواد استفاده شده است که به عنوان کسر جامد از حوزه طراحی اولیه اندازه گیری می شود.
(2)
بدون نقض محدودیت سختی در معادله 1 . در اینجا، A مساحت دامنه طراحی است.
مش المان محدود
بدون تنظیم، مشکلات این نوع ذاتاً به اندازه مش بستگی دارند. برای این مدل، یک مش مثلثی آزاد اولیه با استفاده از حداکثر اندازه عنصر 15 میلی متر ایجاد کنید. این مش، که در شکل 2 نشان داده شده است ، نسبتاً درشت است و به طور موثر کوچکترین اندازه ممکن جزئیات را در راه حل توپولوژی محدود می کند. وقتی مش بعداً پالایش می‌شود و حل‌کننده بهینه‌سازی مجدداً روی مش ظریف‌تر راه‌اندازی می‌شود، مقیاس‌بندی مناسب عبارت منظم‌سازی تضمین می‌کند که راه‌حل به‌روز شده همان توپولوژی را حفظ می‌کند و فقط جزئیات را واضح می‌کند.
شکل 2: مش المان محدود سازه.
نتایج و بحث
شکل 3 یک توزیع مواد ممکن را نشان می دهد که برای استراتژی منظم سازی انتخاب شده بهینه است. نواحی سیاه نمایانگر ماده و نواحی سفید نمایانگر فضای خالی است. مگر اینکه مواد کامپوزیتی در نظر گرفته شوند، نواحی خاکستری غیرفیزیکی هستند، بنابراین یک طرح بهینه شده مفید باید اساساً سیاه و سفید باشد.
شکل 3: توزیع متغیر کنترل پس از بهینه سازی.
همانطور که در شکل 4 در زیر مشاهده می شود ، تنش نسبتاً به طور یکنواخت بر روی ماده جامد توزیع می شود. هر یک از اعضای منفرد در ساختار خرپایی تقریباً تحت فشار حداکثری مشابهی قرار می‌گیرد، که نشان می‌دهد طراحی از سختی مواد استفاده کامل می‌کند. در عین حال، تنش اوج بیش از حد نیست: فقط حدود 3 برابر تنش متوسط در مناطق جامد.
شکل 4: تنش فون میزز توزیع بهینه متغیر کنترل.
ارجاع
1. MP Bendsøe و O. Sigmund، نظریه بهینه سازی توپولوژی، روش ها و کاربردها ، Springer، 2004.
نکاتی درباره پیاده سازی COMSOL
یک رابط مکانیک جامد با یک مدل چگالی ترکیب می‌شود تا ویژگی‌های ساختاری براکت را نشان دهد، در حالی که هدف و محدودیت مستقیماً در یک مرحله مطالعه بهینه‌سازی توپولوژی تعریف می‌شوند. انرژی کرنش داخلی یک متغیر از پیش تعریف شده، جامد است که به راحتی برای استفاده به عنوان تابع هدف برای مسئله بهینه سازی در دسترس است.
حل کننده بهینه سازی از مرحله مطالعه انتخاب و کنترل می شود. برای بهینه سازی توپولوژی، می توان از حل کننده MMA، IPOPT یا SNOPT استفاده کرد. این مثال یک استراتژی مبتنی بر استفاده از MMA با تعداد محدودی از تکرارها را در مش های متوالی ظریف نشان می دهد. به سرعت و با اطمینان توپولوژی های قابل اعتمادی را تولید می کند که بهبود خوبی در مقدار تابع هدف نشان می دهد. این راه حل ها لزوماً در سطح جهانی بهینه نیستند، اما ممکن است در عمل از اهمیت کمتری برخوردار باشند.
مسیر کتابخانه برنامه: Optimization_Module/Topology_Optimization/loaded_knee
دستورالعمل های مدل سازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard روی  2D کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Structural Mechanics>Solid Mechanics (جامد) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
F_load | 10[kN] | 10000 نیوتن | بار اعمال شده |
h0 | 7.5[mm] | 0.0075 متر | اندازه مش |
WsRef | 1 | 1 | انرژی کرنش مرجع |
WsMaxFactor | 1/0.4 | 2.5 | حداکثر انرژی کرنش نسبی مجاز |
د | 2[cm] | 0.02 متر | ضخامت براکت |
بتا | 1 | 1 | شیب پروجکشن |
توجه داشته باشید که انرژی کرنش مرجع در ابتدا برابر با 1 تنظیم شده است و قبل از شروع بهینه سازی باید به روز شود.
هندسه 1
هندسه را ایجاد کنید. برای ساده کردن این مرحله، یک دنباله هندسی آماده شده را وارد کنید.
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی Insert Sequence کلیک کنید و Insert Sequence را انتخاب کنید . |
2 | به پوشه Application Libraries مدل بروید و روی فایل loaded_knee_geom_sequence.mph دوبار کلیک کنید . |
3 | در نوار ابزار Geometry ، روی  ساختن همه کلیک کنید . |
4 |  روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
اکنون هندسه باید مانند شکل 1 باشد . توجه داشته باشید که هندسه درج شده پارامتری است و پارامترهای استفاده شده به طور خودکار به لیست پارامترهای جهانی در مدل اضافه می شوند.
مواد را اضافه کنید
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Material کلیک کنید تا پنجره Add Material باز شود . |
2 | به پنجره Add Material بروید . |
3 | در درخت، Built-in>Structural steel را انتخاب کنید . |
4 | روی Add to Global Materials در نوار ابزار پنجره کلیک کنید . |
5 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Material کلیک کنید تا پنجره Add Material بسته شود . |
مواد
پیوند مواد 1 (matlnk1)
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Materials راست کلیک کرده و More Materials>Material Link را انتخاب کنید .
یک ویژگی مدل چگالی اضافه کنید ، که می تواند برای تمایز بین مناطق خالی و جامد استفاده شود. این متغیر از طریق مدول یانگ به رابط مکانیک جامد متصل می شود . شعاع فیلتر نباید کوچکتر از اندازه عنصر مش باشد، بنابراین پیش فرض کار خواهد کرد، اما یک مقدار ثابت باید انتخاب شود تا نتیجه مش بهینه سازی مستقل شود.
جزء 1 (COMP1)
تراکم مدل 1 (dtopo1)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Optimization کلیک کنید و Topology Optimization>Density Model را انتخاب کنید . |
2 | فقط دامنه 1 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره Model Builder ، روی Density Model 1 (dtopo1) کلیک کنید . |
4 | در پنجره تنظیمات برای مدل چگالی ، بخش Projection را پیدا کنید . |
5 | از لیست نوع Projection ، طرح تانژانت Hyperbolic را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت متن β ، بتا را تایپ کنید . |
یک گره Mass Properties را برای محاسبه جرم و مساحت کل اضافه کنید.
تعاریف
Mass Properties 1 (mass1)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Definitions کلیک راست کرده و Physics Utilities>Mass Properties را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات Mass Properties ، قسمت Density را پیدا کنید . |
3 | از فهرست منبع تراکم ، از رابط فیزیک را انتخاب کنید . |
مکانیک جامدات (جامدات)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Solid Mechanics (solid) کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مکانیک جامدات ، بخش تقریب دو بعدی را پیدا کنید . |
3 | از لیست، استرس هواپیما را انتخاب کنید . |
4 | قسمت Thickness را پیدا کنید . در قسمت متن d ، d را تایپ کنید . |
مواد
پیوند توپولوژی 1 (toplnk1)
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Materials راست کلیک کرده و More Materials>Topology Link را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پیوند توپولوژی ، بخش تنظیمات پیوند را پیدا کنید . |
3 | از فهرست منبع توپولوژی ، مدل تراکم 1 (dtopo1) را انتخاب کنید . |
4 | قسمت انتخاب موجودیت هندسی را پیدا کنید . از لیست انتخاب ، همه دامنه ها را انتخاب کنید . |
در مراحل بعدی، سازه را برای انتقال و چرخش بدنه صلب با تجویز صفر جابجایی در امتداد یکی از اضلاع تعمیر می‌کنید، سپس بار را اعمال می‌کنید.
مکانیک جامدات (جامدات)
محدودیت ثابت 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Fixed Constraint را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 3 را انتخاب کنید. |
بار مرزی 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Boundary Load را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 6 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای بار مرزی ، بخش Force را پیدا کنید . |
4 | از لیست نوع بار ، نیروی کل را انتخاب کنید . |
5 | بردار F tot را به صورت مشخص کنید |
0 | ایکس |
-F_load | y |
مش 1
مثلثی رایگان 1
در نوار ابزار Mesh ، روی Free Triangular کلیک کنید .
Free Triangular کلیک کنید .اندازه
1 | در پنجره Model Builder ، روی Size کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای اندازه ، قسمت اندازه عنصر را پیدا کنید . |
3 | روی دکمه Custom کلیک کنید . |
4 | قسمت پارامترهای اندازه عنصر را پیدا کنید . در قسمت حداکثر اندازه عنصر ، h0 را تایپ کنید . |
5 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
مش به دست آمده در شکل 2 نشان داده شده است .
مطالعه 1
ابتدا فقط یک راه حل ثابت را محاسبه کنید که بر اساس آن می توانید یک مقدار مرجع برای هدف ارزیابی کنید و همچنین نمودارهای مناسب را تنظیم کنید.
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
استرس (جامد)
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .
ضریب حجم مواد مجازات شده
1 | در پنجره Model Builder ، گره Results>Topology Optimization را گسترش دهید ، سپس روی ضریب حجم مواد خروجی کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح دوبعدی ، ضریب حجم مواد مجازات شده را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید . |
سطح 1
ترسیم ضریب حجم مواد مجازات شده، تصویر واضح تر و منصفانه تری از توپولوژی، همانطور که توسط رابط Solid Mechanics مشاهده می شود، به دست می دهد .
1 | در پنجره Model Builder ، گره Penalized Material Volume Factor را گسترش دهید ، سپس روی Surface 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Surface ، روی Replace Expression در گوشه سمت راست بالای بخش Expression کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Definitions>Density Model 1>Auxiliary variables>dtopo1.theta_p – Penalized material volume factor را انتخاب کنید . |
3 | قسمت Coloring and Style را پیدا کنید .  روی تغییر جدول رنگ کلیک کنید . |
4 | در کادر محاوره ای Color Table ، Linear>GrayScale را در درخت انتخاب کنید. |
5 | روی OK کلیک کنید . |
6 | در پنجره تنظیمات برای Surface ، بخش Coloring and Style را پیدا کنید . |
7 | از لیست تبدیل جدول رنگ ، Reverse را انتخاب کنید . |
8 | در نوار ابزار Penalized Material Volume Factor ، روی  Plot کلیک کنید . |
ارزیابی جهانی 1
1 | در پنجره Model Builder ، گره Results>Derived Values را گسترش دهید . |
2 | روی Results>Derived Values کلیک راست کرده و Global Evaluation را انتخاب کنید . |
3 | در پنجره تنظیمات برای ارزیابی جهانی ، روی Add Expression در گوشه سمت راست بالای بخش عبارات کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Solid Mechanics>Global>solid.Ws_tot – انرژی کرنش الاستیک کل – J را انتخاب کنید . |
4 |  روی ارزیابی کلیک کنید . |
از مقدار پنجره جدول 1 برای به روز رسانی مقدار پارامتر WsRef استفاده کنید . این امر محدودیت انطباق را به گونه ای عادی می کند که حداکثر افزایش انطباق نسبی مجاز را به راحتی می توان تجویز کرد.
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
WsRef | 1.3 [J] | 1.3 J | انرژی کرنش مرجع |
پروب ها را برای توابع هدف و محدودیت تنظیم کنید.
تعاریف
پروب متغیر جهانی 1 (var1)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Probes کلیک کنید و Global Variable Probe را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پروب متغیر جهانی ، روی Replace Expression در گوشه سمت راست بالای بخش Expression کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Definitions>Density Model 1>Global>dtopo1.theta_avg – میانگین ضریب حجم مواد را انتخاب کنید . |
3 | قسمت Expression را پیدا کنید . |
4 | چک باکس Description را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، Solid fraction را تایپ کنید . |
پروب متغیر جهانی 2 (var2)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Probes کلیک کنید و Global Variable Probe را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پروب متغیر جهانی ، روی Replace Expression در گوشه سمت راست بالای بخش Expression کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Solid Mechanics>Global>solid.Ws_tot – انرژی کرنش الاستیک کل – J را انتخاب کنید . |
3 | قسمت Expression را پیدا کنید . در قسمت Expression text solid.Ws_tot/WsRef را تایپ کنید . |
4 | چک باکس Description را انتخاب کنید . در قسمت متن مربوطه، ضریب انرژی کرنش را تایپ کنید . |
مطالعه 1
مرحله مطالعه Topology Optimization را اضافه کنید ، یک حل کننده انتخاب کنید و تعداد تکرارها را محدود کنید. هنگام حل، نمودار را روشن کنید.
بهینه سازی توپولوژی
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  Optimization کلیک کنید و Topology Optimization را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای بهینه سازی توپولوژی ، بخش Optimization Solver را پیدا کنید . |
3 | در قسمت حداکثر تعداد تکرار ، 50 را تایپ کنید . |
این مقدار به اندازه‌ای کم است که فرآیند بهینه‌سازی را قبل از رسیدن به حد تحمل بهینه خاتمه دهد و در نتیجه اخطاری از طرف حل‌کننده ایجاد شود. با این حال، از آنجایی که می‌توانید از پروبی‌هایی که به‌تازگی راه‌اندازی کرده‌اید تأیید کنید، به اندازه کافی بزرگ است که مقدار تابع هدف به یک سطح پایدار برسد.
4 | روی Add Expression در گوشه سمت راست بالای بخش Objective Function کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Definitions>Density Model 1>Global>comp1.dtopo1.theta_avg – میانگین ضریب حجم مواد را انتخاب کنید . |
5 | روی Add Expression در گوشه سمت راست بالای بخش Constraints کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Solid Mechanics>Global>comp1.solid.Ws_tot – Total elastic strain energy – J را انتخاب کنید . |
6 | قسمت Constraints را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
اصطلاح | کران پایین | کران بالا |
comp1.solid.Ws_tot/WsRef | WsMaxFactor |
7 | قسمت Output while Solving را پیدا کنید . کادر Plot را انتخاب کنید . |
8 | از لیست گروه Plot ، ضریب حجم مواد مجازات را انتخاب کنید . |
9 | در پنجره Model Builder ، روی Study 1 کلیک کنید . |
10 | در پنجره تنظیمات برای مطالعه ، قسمت تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
11 | تیک Generate defaults defaults را پاک کنید . |
جارو پارامتریک
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  پارامتر Sweep کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جابجایی پارامتری ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 |  روی افزودن کلیک کنید . |
4 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام پارامتر | لیست مقادیر پارامتر | واحد پارامتر |
بتا (شیب طرح ریزی) | 1 8 |
5 | قسمت Output while Solving را پیدا کنید . از لیست Probes ، هیچکدام را انتخاب کنید . |
6 | برای گسترش بخش تنظیمات پیشرفته کلیک کنید . گزینه استفاده مجدد از مرحله قبل را انتخاب کنید . |
7 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
ضریب حجم مواد مجازات شده
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .نمودار پیش فرض توزیع تنش در ساختار بهینه شده را نشان می دهد که به وضوح نشان می دهد که مسیرهای بار از توپولوژی بهینه شده پیروی می کنند ( شکل 4 ). برای نمایش تصویر واضح تر از طرح نهایی، به گروه نمودار دیگر بروید ( شکل 3 ).
