الگوریتم های حل تطبیقی و تخمین خطای نرمال L 2 ، تخمین خطای عملکردی ، و نشانگر خطا برای حل کننده وابسته به زمان در این بخش مورد بحث قرار می گیرند.
 |
اقتباس در کتابچه راهنمای مرجع برنامه نویسی مولتیفیزیک COMSOL .
|
الگوریتم حل تطبیقی - سازگاری ثابت و مقدار ویژه
حل کننده تطبیقی الگوریتم تکراری زیر را انجام می دهد ( مرجع 15 ):
|
1
|
با استفاده از حل کننده ثابت یا مقدار ویژه، مشکل مش موجود را حل کنید.
|
|
2
|
باقیمانده PDE را روی تمام عناصر مش ارزیابی کنید.
|
|
3
|
خطای محلول را در تمام عناصر مش تخمین بزنید. برآورد خطای محاسبه شده واقعاً یک نشانگر خطا است زیرا تخمین شامل یک ثابت ناشناخته ( C زیر) است.
|
|
4
|
اگر تعداد اصلاحات درخواستی را انجام داده باشد یا از حداکثر تعداد عناصر فراتر رفته باشد، اجرا را خاتمه دهید.
|
|
5
|
زیرمجموعه ای از عناصر را بر اساس اندازه نشانگرهای خطای محلی اصلاح کنید و در صورت نیاز تغییرات مش دیگری ایجاد کنید (به اصلاح مش تطبیقی (تطبیق ثابت و ارزش ویژه) و به خصوص روش اصلاح عمومی مراجعه کنید ).
|
|
6
|
این مراحل را تکرار کنید.
|
الگوریتم حل تطبیقی - سازگاری وابسته به زمان
یک راه حل سازگار در t = t n به مش پایه درشت نگاشت می شود. یک مش سازگار جدید برای بازه زمانی [ tn , tn + 1 ] با محاسبه ابتدا یک محلول درشت بر روی مش پایه در [ tn , ts ] ساخته می‌شود ، جایی که ts بزرگترین زمان نمونه و tn + است . 1 = 2 t n – t n – 1. نشانگر خطا با استفاده از محلول درشت در نقاط نمونه داده شده ارزیابی می شود.
در مورد یک بازه زمانی خودکار، اندازه گیری مقدار پالایش محاسبه شده و با مقدار درخواستی داده شده مقایسه می شود. اگر مقدار محاسبه شده خیلی کوچک یا خیلی بزرگ باشد ، طول بازه به ترتیب افزایش یا کاهش می یابد، که منجر به tn + 1 جدید می شود . اگر طول بازه نیاز به تغییر باشد، نشانگر خطا دوباره با استفاده از یک محلول درشت جدید نمونه برداری می شود. مقایسه فقط یک بار انجام می شود.
مش تطبیق یافته جدید با استفاده از نشانگر خطا نمونه برداری شده در نقاط داده شده در [ t n , t n + 1 ] ، انتخاب مجموعه ای از عناصر بر اساس تابع انتخاب عنصر و سپس در نهایت پالایش این عناصر به دست می آید. سپس راه حل در t n برای مسئله PDE در مش سازگار قبلی برای [ tn – 1 , tn ] به مش جدید برای [ tn , tn + 1 ] نگاشت می شود و ادغام زمان تا تطبیق مش بعدی ادامه می یابد . صورت می گیرد درt n + 1 .
معیار ساده ای که برای تعیین میزان پالایش استفاده می شود
در اینجا γ یک بردار N از اعداد صحیح است که حاوی تعداد دفعاتی است که عنصر در آن موقعیت باید پالایش شود، p = max i γ( i ) , و N تعداد عناصر مش پایه درشت است.
اکنون، اگر ρ بزرگتر از 120 درصد مقدار مرجع درخواستی باشد، طول بازه بعدی با یک عامل معین کاهش می یابد . اگر ρ کوچکتر از 80 درصد مقدار مرجع باشد، در عوض افزایش می یابد. در غیر این صورت، طول بازه یکسان نگه داشته می شود.
برآورد خطا
تخمین خطای نرمال L 2
تخمین خطای هنجار L 2 بر فرض یک تخمین پایداری قوی برای مسئله PDE تکیه دارد (برای مثال برای معادله پواسون در یک دامنه با مرز صاف برآورده می شود). از چنین فرضی، می توان نشان داد که یک C ثابت وجود دارد ، به طوری که هنجار L 2 خطا، e l ، در معادله l ارضا می کند.
که ρl باقیمانده در معادله l و ql ترتیب مشتق برآورد پایداری است. h اندازه عنصر مش محلی است. الگوریتم حل تطبیقی از نشانگر خطای L2 – norm زیر استفاده می کند:
با مقدار پیش فرض q l = 2 . این فرمول همچنین فاکتورهای مقیاس بندی s l را برای باقیمانده با مقدار پیش فرض sl = 1 معرفی می کند . نشانگر خطای محلی برای یک عنصر مش است
که در آن A مساحت (حجم ، طول) عنصر مش است و τl قدر مطلق معادله باقیمانده l است (یک عدد برای هر عنصر مش).
تخمین خطای عملکردی
برآورد مبتنی بر عملکرد بر برآورد خطای راه حل الحاقی متکی است. به جای تقریب خطای راه حل، حل کننده تطبیقی از تقریب خطای یک تابع خطای معین استفاده می کند ( مراجعه 16 ). تحت فرضیات نسبتاً کلی، می توان نشان داد که خطای e (یک تابع) را می توان به صورت تخمین زد
که در آن e l * و ρ l به ترتیب خطا در راه حل دوتایی یا الحاقی و باقیمانده معادله l هستند . الگوریتم حل تطبیقی از نشانگر خطای زیر برای عنصر مش استفاده می کند:
که در آن A مساحت (حجم ، طول) عنصر مش است و τl قدر مطلق معادله باقیمانده l است (یک عدد برای هر عنصر مش). در اینجا w l تخمینی از خطای حل الحاقی برای معادله l است . این خطا با استفاده از روش های زیر برآورد می شود. برای هر سه روش، از حلگر حساسیت برای یافتن راه حل الحاقی گسسته استفاده می شود.
|
•
|
اگر یک فیلد با استفاده از توابع شکل لاگرانژ نشان داده شود و تخمین خطای حل الحاقی PPR برای لاگرانژ باشد ، از تکنیک PPR برای تخمین خطا در راه حل الحاقی استفاده می شود.
|
|
•
|
اگر یک فیلد با استفاده از توابع شکل لاگرانژ نشان داده نشود یا اگر تخمین خطای حل الحاقی خطای درون یابی باشد ، از تخمین خطای درون یابی استفاده می شود.
|
|
•
|
در موجودیت های هندسی با ابعاد کمتر از بعد فضا، همیشه از یک تخمین خطا مبتنی بر گرادیان استفاده می شود.
|
برای جزئیات، به تخمین خطا – نظریه و متغیرها مراجعه کنید .
نشانگر خطا برای حل کننده وابسته به زمان
یک نشانگر خطای احتمالی، هنجار L 2 از گرادیان متغیرهای وابسته است (به عنوان مثال، sqrt(comp1.Tx^2+comp1.Ty^2) برای دما در مدل انتقال حرارت دو بعدی). گرادیان متغیر وابسته مقدار پیش فرض نشانگر خطا در بیشتر رابط های فیزیکی است.
یک راه حل روی مش پایه درشت در بازه زمانی بعدی محاسبه می شود و نشانگر خطا در نقاط مشخص شده در قسمت نقاط نمونه ارزیابی می شود . به این ترتیب یک مش سازگار جدید مناسب برای بازه زمانی بعدی می تواند تولید شود. نقاط نمونه باید به عنوان عددی بین 0 و 1 مشخص شوند زیرا آنها نسبت به بازه زمانی مورد بررسی تفسیر می شوند. وارد کردن مقدار اسکالر 0.5 به این معنی است که نشانگر خطا در نقطه میانی بازه ارزیابی می شود. مقدار پیش فرض محدوده (0.0،0.1،1.0) است که 11 امتیاز نمونه از 0 تا 1 می دهد.
