الگوریتم حل ارزش ویژه در این بخش توضیح داده شده است. همچنین به انتخاب یک حل کننده ثابت، وابسته به زمان یا مقدار ویژه مراجعه کنید .
گسسته سازی المان محدود منجر به سیستم ارزش ویژه تعمیم یافته می شود
جایی که حل کننده E , D , K , N و N F را برای بردار راه حل U 0 ارزیابی می کند . λ نشان دهنده مقدار ویژه است. و λ 0 نقطه خطی شدن است. اگر E = 0 باشد ، یک مسئله مقدار ویژه خطی است. اگر E غیر صفر باشد، یک مسئله مقدار ویژه درجه دوم است. برای حل مسئله مقدار ویژه درجه دوم، COMSOL Multiphysics آن را به عنوان یک مسئله ارزش ویژه خطی دوباره فرموله می کند. پس از مدیریت محدودیت، می توان سیستم را به شکل Ax = λ نوشتBx .
گاهی اوقات زمانی که شرایط مرزی یا ویژگی‌های ماده، توابع غیرخطی مقدار ویژه هستند، مشکلات مربوط به مقدار ویژه به وجود می‌آیند. این موارد را می توان به عنوان یک سری مسائل ارزش ویژه درجه دوم در نظر گرفت. COMSOL Multiphysics وابستگی های کلی به مقدار ویژه را با جمع آوری یک تقریب درجه دوم حول نقطه خطی شدن مقدار ویژه λ 0 درمان می کند . به طور معمول، به روز رسانی مکرر نقطه خطی سازی منجر به همگرایی سریع می شود.
الگوریتم حل ARPACK
یافتن نزدیکترین مقادیر ویژه به شیفت σ معادل محاسبه بزرگترین مقادیر ویژه ماتریس C = ( A – σ B ) – 1 B است . برای انجام این کار، حل‌کننده از روال‌های ARPACK FORTRAN برای مسائل مقادیر ویژه در مقیاس بزرگ استفاده می‌کند ( مراجعه 13 ). این کد مبتنی بر گونه‌ای از الگوریتم آرنولدی به نام روش آرنولدی مجدداً راه‌اندازی شده (IRAM) است. روال های ARPACK باید چندین ضرب ماتریس-بردار Cv را انجام دهند که با حل سیستم خطی ( A – σ B ) x انجام می شود.= Bv با استفاده از یکی از حل کننده های سیستم خطی.
روش جستجوی منطقه ارزش ویژه
روش ناحیه مقدار ویژه از الگوریتمی مبتنی بر ARPACK استفاده می کند که یافتن همه مقادیر ویژه را در یک منطقه به اندازه کافی کوچک (مستطیل) در صفحه مختلط ممکن می سازد. الگوریتم از ARPACK برای یافتن مقادیر ویژه پوشاننده یک مستطیل در صفحه مختلط حاوی مقادیر ویژه جستجو شده استفاده می کند. یعنی مقادیر ویژه با اجزای واقعی یا خیالی بزرگتر و کوچکتر از کوچکترین و بزرگترین قطعات واقعی یا خیالی وجود دارد. در یک بررسی سازگاری اختیاری، یک مبنای Schur مربوط به مقادیر ویژه یافت شده به عنوان ورودی ARPACK برای جستجوی یک مقدار ویژه اضافی استفاده می‌شود. بردار اولیه به صورت متعامد بر اساس Schur گرفته می شود. اگر مقدار ویژه جدید خارج از مستطیلی باشد که مقادیر ویژه قبلاً پیدا شده است، الگوریتم از این اطلاعات به عنوان نشانه ای استفاده می کند که تمام مقادیر ویژه مورد نظر پیدا شده و الگوریتم با موفقیت خاتمه یافته است. الگوریتم از ورودی های زیر استفاده می کند:
|
•
|
چهار عدد مستطیل را در صفحه مختلط تعریف می کنند: بزرگترین عدد واقعی، کوچکترین عدد واقعی، بزرگترین عدد فرضی و کوچکترین عدد فرضی. اگر بزرگترین و کوچکترین اعداد واقعی یا خیالی با هم برابر باشند، الگوریتم به ترتیب تنها یک بازه را روی محور واقعی یا فرضی در نظر می‌گیرد.
|
|
•
|
تعداد تقریبی مقادیر ویژه
|
|
•
|
حداکثر تعداد مقادیر ویژه.
|
شیفت به عنوان مرکز مستطیل مقادیر ویژه جستجو شده در نظر گرفته می شود.
الگوریتم منطقه ارزش ویژه
روش منطقه ارزش ویژه با جستجوی تعداد تقریبی داده شده از مقادیر ویژه شروع می شود. اگر مقادیر ویژه همگرا ناحیه مورد نظر را پوشش دهد، ممکن است یک بررسی سازگاری اختیاری انجام دهد که در آن یک مقدار ویژه اضافی را با استفاده از مبنای Schur مربوط به مقادیر ویژه یافت شده که منطقه جستجو شده را پوشش می دهد و یک حدس بردار اولیه متعامد با این مبنا به عنوان ورودی ARPACK انجام می دهد. اگر مقدار ویژه جدید خارج از مستطیل پوشش قرار گیرد، الگوریتم با موفقیت خاتمه می یابد و مقادیر ویژه در ناحیه جستجو شده برگردانده می شوند. اگر مقدار ویژه جدید در داخل مستطیل پوشش قرار گیرد، ممکن است مقادیر ویژه اضافی در منطقه جستجو شده وجود داشته باشد و هشداری برای کاهش ناحیه ای که در آن مقادیر ویژه جستجو می شود صادر می شود.
اگر مقادیر ویژه همگرا منطقه مورد نظر را پوشش ندهند، تعداد مقادیر ویژه جستجو شده دو برابر می شود. سپس پنجره Log جستجو برای مقادیر ویژه بیشتر را نشان می دهد . اگر تعداد مقادیر ویژه جستجو شده قبلاً دو برابر شده باشد و مقادیر ویژه دیگری در منطقه یافت نشد، هشدار داده می شود. برای مثال، اخطار نشان می‌دهد که هیچ مقدار ویژه (تبدیل شده) با بخش واقعی کوچکتر یافت نمی‌شود. سپس توصیه می شود که اندازه منطقه ای را که می خواهید مقادیر ویژه را در آن جستجو کنید، کاهش دهید.
اگر تعداد تقریبی مقادیر ویژه داده شده بزرگتر از تعداد مقادیر ویژه در داخل و نزدیک به منطقه مورد نظر باشد، می‌توان تعداد مقادیر ویژه جستجو شده را توسط الگوریتم کاهش داد. سپس پنجره Log جستجو برای مقادیر ویژه کمتر را نشان می دهد .
الگوریتم همه مقادیر ویژه
با گزینه All (ماتریس پر شده) ، COMSOL Multiphysics از یک الگوریتم LAPACK برای یافتن تمام مقادیر ویژه و حالت های ویژه با استفاده از ماتریس سیستم پر شده برای مسائل کوچک ارزش ویژه استفاده می کند.
الگوریتم مقدار ویژه FEAST
حل‌کننده مقدار ویژه FEAST را می‌توان به‌عنوان یک تکرار زیرفضای تسریع‌شده همراه با رویه Rayleigh-Ritz درک کرد ( مرجع 20 ). جفت های ویژه را محاسبه می کند که مقادیر ویژه آنها در یک منطقه خاص تعریف شده در صفحه مختلط قرار دارند.
شتاب دهنده که به عنوان انتگرال در امتداد خط پیچیده C تعریف می شود
همچنین می تواند به عنوان یک فیلتر یا یک پروژکتور طیفی دیده شود که همه موارد ناخواسته را به 0 و همه مقادیر ویژه مورد نظر (در داخل کانتور C ) را به 1 ( مراجعه 18 ) نگاشت می کند.
FEAST ابتدا یک زیرفضای اولیه تصادفی انتخاب شده X ( 0 ) را بر روی فضای فرعی که توسط بردارهای ویژه مورد نظر در بر می گیرد، پروژه می دهد و سپس از روش Rayleigh-Ritz در این زیرفضا برای استخراج تقریب های مقدار ویژه/بردار ویژه استفاده می کند. فرافکنی بر روی زیرفضای مورد علاقه توسط انجام می شود
(20-8)
(همچنین رجوع کنید به مرجع 19 ). ادغام در معادله 20-8 توسط یک ربع عددی با نقاط ادغام و وزن های مناسب تقریب زده می شود.
(20-9)
جایی که z j و ω j به ترتیب نقاط ادغام و وزن هستند و هر Q j با حل سیستم های خطی جابجا شده به دست می آید ( z j B − A ) Q j = BX ( 0 ) . سپس زیرفضای Q به دست آمده متعامد شده و در روش ریلی – ریتز استفاده می شود. با اعمال مکرر طرح ریزی در معادله 20-9 ، متعامدسازی Q ، و روش ریلی-ریتز، FEAST تخمین ها را برای بردارهای ویژه مورد نظر اصلاح می کند.
 |
مقدار ویژه در کتابچه راهنمای مرجع برنامه نویسی مولتیفیزیک COMSOL .
|
