هدف حل معین و کاهش مدل ، سرعت بخشیدن به شبیه‌سازی‌های خاص با انجام یک کاهش مدل با استفاده از جفت‌های ویژه، استفاده از راه‌حل یک مسئله ارزش ویژه یا فرکانس ویژه برای ساختن مبنایی با استفاده از بردارهای ویژه مربوط به دینامیک غالب است. یعنی حل سیستم معادلات زیربنایی با ترکیب خطی ضرایب پارامتری یا وابسته به زمان و چند بردار ویژه غالب تقریب زده می شود. به صورت اختیاری می توان این مبنا را با حالت های محدودیت گسترش داد. هر حالت محدودیت راه حلی برای یک مسئله ثابت با یک شرط مرزی ناهمگن است. این حالت ها امکان گسترش اعتبار مدل کاهش یافته را فراهم می کند. همچنین استفاده از ورودی‌های مدل کاهش‌یافته را در محدودیت‌ها برای استفاده عمومی‌تر در مدل کاهش‌یافته مدال تولید شده توسط کاهش مدل ممکن می‌سازد.
معادله بهره را می توان به صورت زیر نوشت
(20-10)
که در آن E ماتریس جرم، D ماتریس میرایی، K ماتریس سختی، و L بردار بار است. هر دو E یا D می توانند به طور یکسان صفر باشند. در اینجا N محدودیت Jacobian و M بردار بار محدودیت است. الگوریتم حل معین مستلزم آن است که چند بردار ویژه برای مسئله هارمونیک همگن مربوطه محاسبه شده باشد. حل کننده های مقدار ویژه در COMSOL به طور خودکار مسئله همگن را در صورت استفاده از فرمولی مانند فرمول بالا در نظر می گیرند. یعنی در ساده ترین شکل، مسئله مقدار ویژه را حل می کند
حالت های محدودیت اختیاری هستند. یک حالت محدودیت U j راه حلی برای مسئله ساکن است
چندین بردار بار محدودیت مختلف M j را می توان استفاده کرد و در نتیجه چندین حالت محدودیت را تعریف کرد. اگر یک ماتریس Φ تشکیل دهید که ستون‌های آن بردارهای ویژه و حالتهای محدودیت هستند، آنگاه تقریبی u m از راه‌حل u را می‌توان به صورت زیر نوشت.
(20-11)
که در آن q بردار کوچکی از m ضرایب مجهول است. جایگزینی u در معادله 20-10 توسط u m و ضرب پیش از آن در بازده Φ H
(20-12)
که در آن E m = Φ H E Φ ، D m = Φ H D Φ ، K m = Φ H K Φ ، N m = N Φ ، و N F ، m = Φ H N F.
ماتریس میرایی D ممکن است هنگام انجام تجزیه و تحلیل مقدار ویژه وجود داشته باشد. با این حال، اضافه کردن میرایی اضافی با ارائه نسبت های میرایی در هر حالت (یا یک نسبت برای همه حالت ها) امکان پذیر است. اگر λ i نشان دهنده مقدار ویژه i و ξ i نسبت میرایی مربوطه باشد، آنگاه
به ورودی قطری i ماتریس میرایی کاهش یافته در معادله 20-12 اضافه می شود . اگر E و K معین واقعی و متقارن مثبت باشند، D = 0، و Em و Km مورب باشند، ξ i را می توان به عنوان کسری از میرایی بحرانی در حالت i تفسیر کرد.
ورودی های مدل کاهش یافته
الگوریتم حل کننده مدال از ورودی های کنترل مدل در بردار بار و بردار بار محدودیت پشتیبانی می کند. با نشان دادن این ورودی ها ν ، به دست می آید
که در آن B r = Φ H ∂ L /∂ν ، B rdot = Φ H ∂ L /∂
، B rdotdot = Φ H ∂ L / ∂
، و B M = ∂ M /∂ν .
، B rdotdot = Φ H ∂ L / ∂ ، و B M = ∂ M /∂ν .خروجی های مدل کاهش یافته
الگوریتم حل معین می تواند تعدادی از متغیرهای سراسری را به عنوان متغیرهای خروجی تعریف کند. وقتی اینها در متغیر وابسته زیربنایی و در ورودی‌های مدل خطی باشند، می‌توان آنها را به سرعت بدون هیچ گونه بازسازی راه‌حل کامل PDE محاسبه کرد. این می تواند آنها را به یک جایگزین کارآمد برای تجزیه و تحلیل بعدی تبدیل کند. اجازه دهید
(20-13)
بردار متغیرهای خروجی، Y 0 بردار سوگیری خروجی، Cr ماتریس خروجی، و F ماتریس بازخورد باشد.
وابسته به زمان، مطالعه معین
حل معین (با استفاده از یک گام مطالعه معین، وابسته به زمان ) و مدل مرتبه کاهش یافته معین وابسته به زمان ، می توانند ماتریس ها و بردارهای کاهش یافته را برای استفاده در شبیه سازی های بیشتر صادر کنند.
برای مطالعات وابسته به زمان، بار L 1 به شکل l ( t ) Φ H L 0 در نظر گرفته می شود که L 0 ثابت است و l ( t ) ضریب بار داده شده است. علاوه بر این، ماتریس طرح ریزی Φ احتمالاً با یک یا دو ستون اضافه می شود به طوری که مقادیر اولیه u ( 0 ) = u 0 و 
در محدوده Φ قرار می گیرند . این بردارهای مقدار اولیه قبل از اضافه شدن حالتهای محدودیت Φ ضمیمه می شوند .
در محدوده Φ قرار می گیرند . این بردارهای مقدار اولیه قبل از اضافه شدن حالتهای محدودیت Φ ضمیمه می شوند .اگر شرایط مرزی دیریکله ناهمگن وجود داشته باشد، معادله 20-10 به صورت بازنویسی می شود.
به طوری که y = u − u d در مرز صفر است (برای ν = 0 ) و
.هنگام استفاده از مدل سفارش کاهش‌یافته (به مدل Modal Reduced-Order مراجعه کنید ) می‌توان از حالتهای محدودیت نسبتاً آزادانه استفاده کرد. پیش‌فرض این است که DOFهای حالت محدودیت برابر با عبارت ورودی مدل کاهش‌یافته مربوطه هستند.
که در آن q j یک حالت محدودیت DOF است که به عبارت ورودی مدل ν k متصل است . انگیزه این رفتار این است که اگر حالت های محدودیت شرایط را برآورده کنند
(20-14)
در مرز مربوطه آن ∂Ω j و
(20-15)
در مرزهایی که i ≠ j ، آنگاه شرط مرزی پیش‌فرض برای مدل کاهش‌یافته، محدودیت را تقریب می‌کند.
در مرز ∂Ω j . توجه داشته باشید که این رفتار را می توان از گره Modal Reduced-Order Model و گفتگوی Constraint Modes تغییر داد . نقشه بین حالت محدودیت شماره i (نه عدد DOF) و شاخص عبارت ورودی k به عنوان یک نقشه برداری CI ( i ) = k از الگوریتم حل معین صادر می شود . اگر چنین عبارتی وجود نداشته باشد، این نقشه -1 را برمی گرداند.
توجه داشته باشید که یک راه ساده برای تولید حالت های محدودیت با ویژگی های a) و b) این است که یک پارامتر برای هر محدودیت معرفی کنید و سپس Auxiliary Sweep را برای مطالعه Stationary و این پارامترها فعال کنید. با استفاده از ترکیبات مشخص شده می توانید با تنظیم پارامترها بر روی صفر یا یک مطابق با معادله 20-14 و معادله 20-15، حالت های محدودیت را حل کنید . این روش برای ساخت حالت های اضافی مانند روش کلاسیک کریگ-بامپتون است. رجوع کنید به رفر. 44 . ترتیبی که این حالت‌ها برای آنها حل می‌شوند، در چنین جابجایی، ترتیب پیوستن آنها به Φ را در حل‌کننده مدال نیز دیکته می‌کند و در نتیجه ترتیب qj ، DOFهای حالت محدودیت کاهش‌یافته را کنترل می‌کند.
ماتریس های کاهش یافته زیر را می توان صادر کرد: ماتریس جرم Em ، ماتریس میرایی Dm ، ماتریس سختی Km ، و ماتریس نسبت میرایی
که در آن p تعداد ستون‌هایی است که به Φ اضافه شده‌اند (یعنی، نسبت‌های میرایی بر آخرین ورودی‌های مورب p که از بردارهای اولیه یا بردارهای حالت محدودیت می‌آیند، تأثیر نمی‌گذارند). علاوه بر این، بردار بار ، Φ H L 0 ; ماتریس ورودی B r ; ماتریس ورودی مشتق زمانی B rdot ; بار دوم ماتریس ورودی مشتق B rdotdot ; بردار سوگیری خروجی Y 0 ; ماتریس خروجی Cr ; _ ماتریس بازخورد خروجی F ; ماتریس سختی بار u d , Φ H Ku d ; ماتریس طرح ریزی , Φ ; حالت محدودیت برای ورودی نقشه ، نقشه CI ; بردار مقدار اولیه , q ( 0 ) ; و بردار مشتق اولیه ، ، می تواند صادر شود.
دامنه فرکانس، مطالعه مودال
برای حوزه فرکانس، COMSOL از فرمول های خطی و همچنین فرمول های نسبتاً کلی از نظر فرکانس پشتیبانی می کند. معادله 20-10 خطی است و نمی توان از آن برای توصیف آن استفاده کرد. نقطه شروع برای کاهش مدل یک مشکل دامنه فرکانس، گسترش بردار باقیمانده FEM حول فرکانس f 0 = ω 0 / (2 π ) است. بردار باقیمانده کاهش نیافته را در یک بسط تیلور سه ترم گسترش یافته در نظر بگیرید
(20-16)
کجا 
و 
. در مرحله بعد، یک نقطه خطی سازی برای u = u 0 و مسئله در نظر بگیرید
و . در مرحله بعد، یک نقطه خطی سازی برای u = u 0 و مسئله در نظر بگیرید(20-17)
که در آن 
،،،،، 
و جایی که بار 
L از نوع فرض می شود
،،،،، و جایی که بار L از نوع فرض می شود(20-18)
که در آن ω فرکانس زاویه ای تابع اجباری است و بار محدودیت بردار بار M از نوع فرض می شود
.راه‌حل معادله 20-18 در شکل است 
، و ما می‌توانیم دوباره از تقریب Φ q ( ω , t ) استفاده کنیم ، که در آن 
، اما طبق معمول فقط عامل مستقل از زمان 
توسط حل‌کننده یا زمانی که توسط کاهش‌یافته بازسازی می‌شود، برمی‌گردد. مدل سفارش با استفاده از این تقریب در معادله 20-18 و ضرب از چپ در Φ H ، مشکل حوزه فرکانس کاهش یافته را به دست می‌دهد.
، و ما می‌توانیم دوباره از تقریب Φ q ( ω , t ) استفاده کنیم ، که در آن ، اما طبق معمول فقط عامل مستقل از زمان توسط حل‌کننده یا زمانی که توسط کاهش‌یافته بازسازی می‌شود، برمی‌گردد. مدل سفارش با استفاده از این تقریب در معادله 20-18 و ضرب از چپ در Φ H ، مشکل حوزه فرکانس کاهش یافته را به دست می‌دهد.(20-19)
که نماد ~ برای q , Λ , L و M از اینجا به بعد حذف می شود. همچنین 
نماد ~ را معرفی و رها می کنیم. در اینجا 
،،، 
و 
ماتریس های ضریب کاهش یافته از معادله 20-18 و هستند
نماد ~ را معرفی و رها می کنیم. در اینجا ،،، و ماتریس های ضریب کاهش یافته از معادله 20-18 و هستند
و
.اگر نسبت های میرایی ارائه شده باشد، مدت
به مجموع داخل براکت مربع معادله 20-19 اضافه می شود . توجه داشته باشید که وقتی ماتریس‌های ضریب مستقل از فرکانس هستند، این عبارت میرایی با آنچه در مطالعه Modal وابسته به زمان اضافه شده است، مطابقت دارد.
برای شرایط مرزی دیریکله ناهمگن، یک راه حل خاص توسط حل کننده مدال محاسبه می شود. یک راه حل خاص v p از معادله غیر کاهش یافته محاسبه می شود
(20-20)
که در آن ماتریس 
برای f 0 مونتاژ شده است . عبارت
برای f 0 مونتاژ شده است . عبارت
سپس از سمت راست معادله 20-19 کم می شود . ورودی‌های مدل کاهش‌یافته در محدودیت‌ها بسیار شبیه موارد وابسته به زمان مدیریت می‌شوند. حالتهای محدودیت، که برای یک مشکل ثابت مانند بالا محاسبه شده‌اند، پشتیبانی می‌شوند. مدل سفارش کاهش یافته تولید شده می تواند آزادانه این DOF های حالت محدودیت کاهش یافته را محدود کند. همچنین در اینجا رفتار پیش‌فرض این است که اینها را به عبارت ورودی متناظرشان قید کنیم qj = ν k ، و همچنین برای حوزه فرکانس این رفتار را می‌توان از مدل مرتبه کاهش‌یافته مدال تغییر داد.
از حل معین و دامنه فرکانس، مدل مرتبه کاهش یافته مودال ، ماتریس های کاهش یافته زیر را می توان صادر کرد: ماتریس جرم ، 
; ماتریس میرایی ; 
_ و ماتریس سختی 
. ماتریس نسبت میرایی , نسبت D ; ماتریس طرح ریزی , Φ ; ماتریس جرم ضربدر محلول خاص ، ; ماتریس میرایی برابر راه حل خاص ، و بردار بار نیز می تواند صادر شود. علاوه بر این، حالت محدودیت برای نقشه ورودی ، 
نقشه CI ; ماتریس ورودی B r ; ماتریس ورودی مشتق زمانی B rdot ; بار دوم ماتریس ورودی مشتق B rdotdot ; بردار سوگیری خروجی Y 0 ; ماتریس خروجی Cr ; _ ماتریس بازخورد خروجی F ; بردار بار صادراتی برای آخرین فرکانس داده شده ω مونتاژ می شود . شما همچنین می توانید تمام بردارهای بار را صادر کنید (یعنی , 
, 
…, 
). این منجر به ماتریسی می شود که ستون های آن همه بردار بار مونتاژ شده هستند. اگر 
مستقل از ω باشد، این ماتریس فقط شامل یک ستون است.
; ماتریس میرایی ; _ و ماتریس سختی . ماتریس نسبت میرایی , نسبت D ; ماتریس طرح ریزی , Φ ; ماتریس جرم ضربدر محلول خاص ، ; ماتریس میرایی برابر راه حل خاص ، و بردار بار نیز می تواند صادر شود. علاوه بر این، حالت محدودیت برای نقشه ورودی ، نقشه CI ; ماتریس ورودی B r ; ماتریس ورودی مشتق زمانی B rdot ; بار دوم ماتریس ورودی مشتق B rdotdot ; بردار سوگیری خروجی Y 0 ; ماتریس خروجی Cr ; _ ماتریس بازخورد خروجی F ; بردار بار صادراتی برای آخرین فرکانس داده شده ω مونتاژ می شود . شما همچنین می توانید تمام بردارهای بار را صادر کنید (یعنی , , …, ). این منجر به ماتریسی می شود که ستون های آن همه بردار بار مونتاژ شده هستند. اگر مستقل از ω باشد، این ماتریس فقط شامل یک ستون است.
 |
برای صادر کردن ماتریس‌ها، در پنجره تنظیمات گره Modal Solver ، بخش Output را گسترش دهید و سپس چک باکس‌های Solution یا Reduced Matrices را انتخاب کنید تا چک باکس‌ها برای ماتریس‌ها و بردارهای کاهش‌یافته مختلف نمایش داده شود. چک باکس ها را برای ماتریس ها و بردارهایی که می خواهید صادر کنید انتخاب کنید.
|
 |
Modal در کتابچه راهنمای مرجع برنامه نویسی مولتیفیزیک COMSOL .
|
