هنگامی که تجزیه و تحلیل حساسیت را فعال می کنید، حل کننده های ثابت – علاوه بر راه حل اصلی – حساسیت یک تابع را محاسبه می کنند.
(20-24)
با توجه به متغیرهای حساسیت p . راه‌حل جلویی u p راه‌حلی برای مسئله پیش‌روی گسسته پارامتری شده است
(20-25)
که در آن Λ p ضرایب محدودیت لاگرانژ، یا نیروهای واکنش (تعمیم یافته)، مربوط به محدودیت های M هستند . فرض بر این است که Q به طور صریح به Λ p بستگی ندارد .
برای محاسبه حساسیت Q نسبت به p ، ابتدا قانون زنجیره را اعمال کنید:
(20-26)
جایی که u flux درجات مرزی دقیق آزادی است. در این عبارت، حساسیت محلول با توجه به متغیرهای حساسیت، ∂ u / ∂ p ، هنوز یک کمیت ناشناخته است. بنابراین، مسئله فوروارد را در معادله 20-25 به طور رسمی با توجه به p متمایز کنید :
(20-27)
در اینجا، K = −∂ L /∂ u و N = −∂ M /∂ u طبق معمول. اولین جمله داخل پرانتز بالا صفر فرض می شود، اساساً فقط زمانی معتبر است که ∂ N F / ∂ u = 0 (محدودیت های خطی) باشد. با فرض اینکه نیروی محدودیت Jacobian N F نیز مستقل از p باشد ، می توانید روابط فوق را به صورت ماتریس بنویسید.
(20-28)
حساسیت های ∂ u p / ∂ p و ∂Λ p / ∂ p را حل کنید و آنها را به معادله 20-26 وصل کنید :
(20-29)
این فرمول dQ / dp را به صراحت بر حسب کمیت های شناخته شده نشان می دهد، اما در عمل معکوس کردن ماتریس J بسیار گران است .
درجات آزادی شار مرزی دقیق به صورت داخلی با حل معادله درجه آزادی شار بدست می آید:
که در آن شار K به پارامتر p یا راه حل وابسته نیست. از سوی دیگر ، شار L می تواند یک کمیت وابسته به حل و پارامتر باشد و بنابراین حل کننده های حساسیت این مشتقات را جمع آوری می کنند:
و
اگر تعداد متغیرهای حساسیت فردی، p j ، کوچک باشد، معادله 20-28 را می توان برای هر سمت راست حل کرد [∂ L / ∂ p j ∂Μ/∂ p j ] T ، و سپس راه حل در آن درج می شود. معادله 20-26 . این روش فوروارد است که علاوه بر حساسیت dQ / dp حساسیت محلول ∂ u p / ∂ p را برمی گرداند . ماتریس Jدر واقع همان ماتریسی است که در آخرین خطی سازی مسئله رو به جلو است. بنابراین روش رو به جلو برای هر متغیر حساسیت به یک جایگزین مجدد اضافی نیاز دارد.
اگر متغیرهای حساسیت زیادی وجود داشته باشد و حساسیت خود راه حل، ∂ u p / ∂ p ، مورد نیاز نباشد، روش الحاقی کارآمدتر است. این مبتنی بر استفاده از متغیرهای کمکی u* و L* است که به عنوان راه حل الحاقی شناخته می شوند ، برای بازنویسی معادله 20-29 :
(20-30)
در این شکل فقط یک سیستم خطی از معادلات باید بدون توجه به تعداد متغیرهای حساسیت حل شود، و به دنبال آن یک عدد اسکالر ساده برای هر متغیر باید حل شود. اگر تعداد متغیرها زیاد باشد، این بسیار سریعتر از روش فوروارد است. ماتریس سیستم، که برای آن حل شده است، جابجایی آخرین خطی سازی مسئله رو به جلو است. این تفاوت قابل توجهی برای حل کننده های خطی تکراری ایجاد نمی کند. برای حل‌کننده‌های مستقیم، اگر J متقارن یا هرمیتی باشد، این تفاوتی در مقایسه با روش رو به جلو ندارد و حل‌کننده‌های مستقیم می‌توانند از فاکتورسازی مجدد استفاده کنند. در حالت نامتقارن، MUMPS و PARDISO می توانند از فاکتورسازی J استفاده مجدد کنند در حالی که SPOOLES باید فاکتورسازی جدیدی از J T انجام دهد .
حل کننده حساسیت تفکیک شده
هنگام استفاده از حل کننده تفکیک شده همراه با حساسیت، یک رویکرد تفکیک شده نیز برای مشکل حساسیت اتخاذ خواهد شد. این از چندین جنبه مهم است، اما مهمتر از همه این است که نیازهای محاسباتی را افزایش نمی دهد.
هنگام استفاده از حل کننده تفکیک شده، باید متغیرهای کنترلی را به گروه های تفکیک شده درست اضافه کنید. از معادله 20-27 ، واضح است که برای اینکه مسئله حساسیت رو به جلو به درستی محدود شود، متغیرهای کنترل باید به همه گروه‌های تفکیک‌شده که بخشی از محدودیت‌ها هستند اضافه شوند. برای روش الحاقی، معادلات معادلات معادله 20-30 هستند و در اینجا متغیرهای کنترل دخالتی ندارند. مدیریت صحیح محدودیت ها پس از همگرا شدن حلگر تفکیک شده با استفاده از فرمول در معادله 20-30 بدون نیاز صریح به افزودن آنها به هیچ گروهی در نظر گرفته می شود.
 |
حساسیت در کتابچه راهنمای مرجع برنامه نویسی مولتیفیزیک COMSOL .
|
