اشتقاق نمایش انتگرال مرزی حل معادله لاپلاس
مشابه هنگام استخراج شکل ضعیف، معادله لاپلاس را با یک تابع آزمایشی υ ضرب کنید و با قطعات ادغام کنید:
با معکوس شدن نقش های u و υ تکرار کنید:
حالا معادله اول را از معادله دوم کم کنید و عبارت ها را جمع آوری کنید:
این رابطه به عنوان هویت دوم گرین شناخته می شود.
اکنون با تنظیم از راه حل اساسی استفاده کنید:
با ادغام بیش از x :
استفاده از ویژگی راه حل اساسی برای اولین جمله در انتگرال حجمی به دست می دهد:
برای جمله دوم انتگرال حجمی، از آنجایی که فرض می شود u حل معادله لاپلاس است 
:
:
رابطه حاصل به عنوان نمایش u بر حسب انتگرال های مرزی شناخته می شود:
برای y داخل 
.بنابراین مقدار u در کل دامنه Ω به طور کامل توسط مقادیر u و شار 
روی مرز تعیین می شود. انتگرال ها در هیچ جای Ω منفرد نیستند زیرا انتگرال هر y بر روی x در مرزی که در آن انتگرال است گرفته می شود 
. علاوه بر این، توجه داشته باشید که این رابطه یک معادله نیست، بلکه صرفاً نمایشی از u است ، زمانی که ما از قبل راه‌حل و شار روی مرز را می‌دانیم. در واقع، از این نمایش برای بازسازی راه حل در هر جایی در Ω استفاده می شود، زمانی که میدان و شار برای مرز حل شده و در آن مشخص می شود.
روی مرز تعیین می شود. انتگرال ها در هیچ جای Ω منفرد نیستند زیرا انتگرال هر y بر روی x در مرزی که در آن انتگرال است گرفته می شود . علاوه بر این، توجه داشته باشید که این رابطه یک معادله نیست، بلکه صرفاً نمایشی از u است ، زمانی که ما از قبل راه‌حل و شار روی مرز را می‌دانیم. در واقع، از این نمایش برای بازسازی راه حل در هر جایی در Ω استفاده می شود، زمانی که میدان و شار برای مرز حل شده و در آن مشخص می شود.نمایش u را می توان به صورت فشرده تر نوشت:
که در
کجا 
.
.عملگر انتگرال
پتانسیل حجمی تک لایه نامیده می شود.
عملگر انتگرال
پتانسیل حجمی دولایه نامیده می شود.
