با استفاده از About Auxiliary Equation-based Nodes می توان یک یا چند معادله موج مرتبه اول را حل کرد. یعنی PDE های فرم
(16-13)
جایی که u مجهول است، d a ضریب جرم، f منبع، و Γ بردار شار است که عموماً به u بستگی دارد .
روش عددی متشکل از یک روش گالرکین ناپیوسته در فضا در ترکیب با گام‌های صریح رانگ-کوتا است. این ترکیب از گسسته سازی فضا و زمان مخصوصاً برای مشکلات موجی به دلیل شرایط CFL مطلوب مناسب است. این حتی زمانی که از یک ansatz چند جمله ای مرتبه بالا برای u استفاده می شود نیز صادق است .
برای به دست آوردن شکل ضعیف زیربنای روش DG، اجازه دهید 
یک شبکه از دامنه را 
با 
نشان دادن یک عنصر مشخص کنیم. روی این مش، اجازه دهید V فضای شکسته باشد
یک شبکه از دامنه را با نشان دادن یک عنصر مشخص کنیم. روی این مش، اجازه دهید V فضای شکسته باشد
با 
نشان دادن فضای همه چند جمله ای های درجه حداکثر s در 
.
نشان دادن فضای همه چند جمله ای های درجه حداکثر s در .
 |
این توابع در داخل هر عنصر مش پیوسته هستند، اما عموماً در سراسر مرزهای عنصر ناپیوسته هستند.
|
مبنایی برای V توسط توابع شکل لاگرانژ ناپیوسته گرهی shhwdisc ارائه می شود (به عناصر لاگرانژ ناپیوسته (shdisc) و عناصر لاگرانژ ناپیوسته گرهی (shhwdisc) در کتابچه راهنمای مرجع برنامه نویسی چندفیزیکی COMSOL مراجعه کنید. این اساس برای این نوع روش ناپیوسته Galkin ساخته شده است. و دارای خواص درونیابی تقریباً بهینه است.
نقطه شروع برای استخراج یک فرم ضعیف این است که PDE را با یک تابع آزمایشی ضرب کنیم 
و روی دامنه ادغام کنیم تا به دست آید.
و روی دامنه ادغام کنیم تا به دست آید.
مرحله بعدی یکپارچه سازی توسط قطعات است. باید کمی دقت کرد، زیرا انتگرال‌های v و u توابع ناپیوسته در سراسر مرزهای عنصر هستند و فقط در داخل هر عنصر پیوسته هستند. بنابراین انتگرال ها ابتدا به صورت مجموع بر روی عناصر نوشته می شوند و سپس انتگرال توسط قطعات بر روی هر عنصر انجام می شود که به دست می آید.
که در آن n واحد بیرونی نرمال روی عنصر است. علاوه بر این، 
شار عددی نامیده می شود که بردار شار را در مرز هر عنصر تعریف می کند. بردار شار معمولاً ناپیوسته است زیرا به u بستگی دارد .
شار عددی نامیده می شود که بردار شار را در مرز هر عنصر تعریف می کند. بردار شار معمولاً ناپیوسته است زیرا به u بستگی دارد .شار عددی نحوه اتصال عناصر مجاور و پیوستگی u را مشخص می کند. تعاریف مختلف از شار عددی منجر به انواع مختلفی از روش‌های گالرکین ناپیوسته می‌شود.
شار عددی اجرا شده در COMSOL Multiphysics شار جهانی Lax-Friedrichs است:
که در آن زوایا 
و براکت 
ها به ترتیب میانگین و عملگرهای پرش هستند. بنابراین، در مرز هر عنصر، این شار به سادگی میانگین شار در دو عنصر مجاور است که در صورت مشترک هستند، به علاوه یک جریمه برای هر پرش محلول. جریمه برای پایداری لازم است و متناسب با پارامتر τ است که در کل دامنه Ω ثابت فرض می شود . بردار نرمال n یک بردار عادی از عنصر به سمت بیرون است. پرش ها به این صورت تعریف می شوند
و براکت ها به ترتیب میانگین و عملگرهای پرش هستند. بنابراین، در مرز هر عنصر، این شار به سادگی میانگین شار در دو عنصر مجاور است که در صورت مشترک هستند، به علاوه یک جریمه برای هر پرش محلول. جریمه برای پایداری لازم است و متناسب با پارامتر τ است که در کل دامنه Ω ثابت فرض می شود . بردار نرمال n یک بردار عادی از عنصر به سمت بیرون است. پرش ها به این صورت تعریف می شوند
که در آن u _ مقادیر داخلی و u + مقدار خارجی است. بنابراین مقدار عنصر منهای مقدار عنصر دیگر است. ضرب یک حاصلضرب بیرونی در مورد کمیت برداری u است.
با استفاده از تعریف شار Lax-Friedrichs، شکل ضعیف به دست می آید
همچنین می توان یک شار عددی کلی را تعیین کرد .
چیزی که این روش گالرکین ناپیوسته را برای گام‌های صریح زمانی جذاب می‌کند، این واقعیت است که اصطلاح
یک ماتریس جرم مورب بلوکی را به دست می دهد، که در آن هر بلوک فقط شامل درجات آزادی در هر عنصر است. در نتیجه، نیازی به معکوس کردن یا حل هیچ سیستم خطی که ماتریس جرم جهانی را شامل می شود وجود ندارد. معکوس ماتریس جرم جهانی به سادگی معادل معکوس کردن ماتریس جرم محلی در هر عنصر است. این به طور موثر با استفاده از روتین های با کارایی بالا مانند BLAS یا LAPACK انجام می شود.
یک اشکال شناخته شده با پله‌گذاری زمانی صریح، نیاز به گام زمانی است که برای به دست آوردن یک روش عددی پایدار باید بسیار کوچک باشد. به این شرط CFL گفته می شود که بزرگترین مرحله زمانی ممکن k را به کوچکترین اندازه مش h مرتبط می کند. برای معادلات موج با سرعت موج واحد، شرط CFL شکل می گیرد
که در آن p ترتیب توابع شکل و C یک ثابت عمومی است، معمولاً 0.25.
همانطور که در COMSOL Multiphysics پیاده سازی شده است، توابع شکل لاگرانژ ناپیوسته گرهی تنها مجموعه ای از توابع شکل تعریف شده برای این رابط هستند. ترتیب عناصر مرتبط را می توان از لیست ترتیب عناصر انتخاب کرد . بالاترین سفارش موجود چهار و ترتیب پیش‌فرض دو است.
 |
به گسسته سازی همانطور که برای درباره گره های مبتنی بر معادله کمکی تعریف شده است مراجعه کنید .
|
