سیستم معادلات مرزی
بر
بر
در مجهولات u و ψ به عنوان هویت Calderón شناخته می شود .
به منظور به دست آوردن یک درمان سیستماتیک از هر دو راه حل و شار در مرز، این معادلات با استفاده از یک فرمول ضعیف اجرا شده است. این همچنین امکان مدیریت همزمان شرایط مرزی دیریکله و نویمان را فراهم می کند.
برای استخراج یک فرمول ضعیف برای این سیستم معادله، قسمت مرزی هویت دوم گرین (به بالا مراجعه کنید) را می توان با تابع تست υ استفاده کرد :
با تمرکز بر معادله مرزی و استفاده از نمادهای 
, 
، 
به دست می آوریم:
, ، به دست می آوریم:
استفاده از شناسه های Calderón به دست می دهد:
در اجرای واقعی، اصطلاحات در سمت راست با تغییر القایی علائم جمع‌آوری می‌شوند.
این فرمول یکی از چندین راه ممکن برای فرموله کردن معادلات ضعیف برای BEM است. این به عنوان جفت متقارن Costabel شناخته می شود و دارای مزایایی با توجه به اعمال تداوم محلول و تعادل شار در مرزها برای جفت کردن BEM با FEM است.
شرایط مجانبی
در مورد دامنه های نامحدود، نمایش u بر حسب لایه های تک و دولایه باید اصلاح شود تا مشارکت های احتمالی از مرز میدان دور در نظر گرفته شود. برای معادله لاپلاس، این مشارکت ها منجر به یک ترم افزایشی ثابت می شود
که در
در سه بعدی راه حل اساسی برای عملگر لاپلاس و مشتقات آن برای نقطه نزدیک به بی نهایت به 0 نزدیک می شود و بنابراین دو جمله اول ناپدید می شوند. در نتیجه u const را می توان به عنوان یک مقدار مجانبی از راه حل در بی نهایت تفسیر کرد. در دوبعدی، به دلیل ماهیت لگاریتمی راه‌حل‌های اساسی، دو عبارت اول هنگام نزدیک شدن به بی‌نهایت ناپدید نمی‌شوند و بنابراین مقدار u const را نمی‌توان به یک شکل تفسیر کرد.
در دوبعدی و سه بعدی، باید این عبارت ثابت را مستقیماً با تعیین مقدار آن یا به طور غیرمستقیم با تعیین محدودیت بر شار کل از مرز مشخص کرد تا به طور منحصر به فرد راه حل را تعیین کند.
