این نرم افزار حالت های الکترونیکی را برای یک سیستم کوانتومی نقطه/لایه مرطوب محاسبه می کند. این تا حد زیادی از کار دکتر M. Willatzen و دکتر R. Melnik ( مراجعه 1 ) و همچنین B. Lassen الهام گرفته شده است.
معرفی
نقاط کوانتومی ابزارهایی در مقیاس نانو یا میکرو مقیاس هستند که با محصور کردن الکترونهای آزاد در یک ماتریس نیمهرسانای سهبعدی ایجاد میشوند. جزایر کوچک یا قطرات “الکترون های آزاد” محدود (آنهایی که انرژی پتانسیل ندارند) ویژگی های الکترونیکی جالبی را ارائه می دهند. آنها از اهمیت بالقوه ای برای برنامه های کاربردی در محاسبات کوانتومی، برچسب گذاری بیولوژیکی و لیزر برخوردار هستند که فقط چند مورد را نام می برد.
دانشمندان می توانند چنین ساختارهایی را به صورت تجربی با استفاده از تکنیک پرتو مولکولی استرانسکی-کراستانوف ایجاد کنند. به این ترتیب آنها مناطق محصور سه بعدی (نقاط کوانتومی) را با رشد یک لایه نازک از ماده (لایه مرطوب) بر روی یک ماتریس نیمه رسانا به دست می آورند. نقاط کوانتومی می توانند هندسه های زیادی از جمله استوانه ای، مخروطی یا هرمی داشته باشند. این نرم افزار حالت های الکترونیکی یک نقطه کوانتومی مخروطی InAs را که روی یک بستر GaAs رشد کرده است، مطالعه می کند.
برای محاسبه حالات الکترونیکی گرفته شده توسط مجموعه لایه کوانتومی نقطه/ترس تعبیه شده در ماتریس اطراف GaAs، باید معادله شرودینگر 1 باندی را در تقریب جرم موثر حل کنید:
که در آن h ثابت پلانک است، Ψ تابع موج، E مقدار ویژه (انرژی)، و m e جرم الکترون موثر (برای در نظر گرفتن اثرات غربالگری) است.
تعریف مدل
این مدل با معادله شرودینگر ساکن 1 ذره کار می کند
این مشکل ارزش ویژه را برای سیستم لایه کوانتومی/نقطه مرطوب با استفاده از سد پتانسیل مرحله زیر و تقریب جرم موثر حل می کند:
•
|
V = 0 برای لایه کوانتومی نقطه/مرطوب InAs و V = 0.697 eV برای زیرلایه GaAs.
|
•
|
m e = 0.023 m برای InAs و m e = 0.067 m برای GaAs.
|
فرض کنید نقطه کوانتومی دارای تقارن استوانه ای کامل است. در این صورت می توانید ساختار کلی را به صورت دو بعدی مانند شکل زیر مدل کنید.
شکل 1: هندسه دو بعدی یک نقطه کوانتومی کاملاً استوانه ای و لایه مرطوب.
اکنون می توانید تابع موج کل Ψ را به آن جدا کنید
زاویه ازیموتال کجاست سپس معادله شرودینگر را به صورت مختصات استوانه ای بازنویسی کنید
تقسیم این معادله بر
و مرتب کردن مجدد عبارت های آن منجر به دو معادله مستقل می شود
(1)
و
(2)
معادله 1 راه حل های واضح شکل را دارد
که در آن شرط تناوب دلالت بر این دارد که l ، عدد کوانتومی اصلی، باید یک عدد صحیح باشد. حل معادله 2 باقی مانده است که می توانید آن را بازنویسی کنید
توجه داشته باشید که این یک نمونه از PDE در فرم ضریب است،
جایی که ضرایب غیر صفر هستند
و λ = E l .
نتایج
این تمرین مقادیر ویژه را برای چهار پایین ترین سطح انرژی الکترونیکی برای عدد کوانتومی اصلی l = 0 مدل می کند. نمودارهای شکل 2 توابع موج ویژه آن چهار حالت را نشان می دهند.
شکل 2: چهار پایین ترین سطح انرژی الکترونیکی برای مورد l = 0.
نکاتی درباره پیاده سازی COMSOL
برای حل این مشکل از رابط PDE Coefficient Form استفاده کنید. این مدل یک مقدار ویژه/تابع ویژه را حل می کند، که برای آن باید داده ها و ثابت های فیزیکی مناسب را وارد کنید. از الکترون ولت به عنوان واحد انرژی و نانومتر به عنوان واحد طول برای هندسه استفاده کنید.
ارجاع
1. R. Melnik و M. Willatzen، “ساختار نواری نقاط کوانتومی مخروطی با لایه های مرطوب،” نانوتکنولوژی ، جلد. 15، صفحات 1-8، 2004.
مسیر کتابخانه برنامه: COMSOL_Multiphysics/Equation_Based/conical_quantum_dot
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی Model Wizard کلیک کنید .
مدل جادوگر
1
|
در پنجره Model Wizard ، روی 2D Axismetric کلیک کنید .
|
2
|
در درخت انتخاب فیزیک ، ریاضیات> رابط های PDE> فرم ضریب PDE (c) را انتخاب کنید .
|
3
|
روی افزودن کلیک کنید .
|
4
|
روی مطالعه کلیک کنید .
|
5
|
در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Eigenvalue را انتخاب کنید .
|
6
|
روی Done کلیک کنید .
|
تعاریف جهانی
پارامترهای بدون بعد جرم الکترون و ثابت پلانک کاهش یافته را که در واحدهای الکترون ولت بیان می شود، تعریف کنید. شما می توانید این مقادیر را با تقسیم مقادیر واحد SI ثابت های از پیش تعریف شده COMSOL Multiphysics، me_const و hbar_const ، بر مقدار بار اولیه e_const بر حسب کولن به دست آورید.
پارامترهای 1
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید .
|
3
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
نام
|
اصطلاح
|
ارزش
|
شرح
|
متر
|
me_const[1/kg]/e_const[1/C]
|
5.6856E-12
|
جرم الکترون (eV/c^2)
|
hbar
|
hbar_const[1/(J*s)]/e_const[1/C]
|
6.5821E-16 راد
|
کاهش ثابت پلانک (eV*s)
|
V_In
|
0
|
0
|
مانع بالقوه، InAs (eV)
|
V_Ga
|
0.697
|
0.697
|
مانع بالقوه، GaAs (eV)
|
c_in
|
hbar^2/(2*0.023*m)
|
1.6565E-18 راد
|
ضریب c، InAs
|
c_Ga
|
hbar^2/(2*0.067*m)
|
5.6865E-19 راد
|
ضریب c، GaAs
|
ل
|
0
|
0
|
عدد کوانتومی اصلی
|
هندسه 1
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Geometry 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات هندسه ، بخش Units را پیدا کنید .
|
3
|
از لیست واحد طول ، nm را انتخاب کنید .
|
مستطیل 1 (r1)
1
|
در نوار ابزار Geometry ، روی Rectangle کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای Rectangle ، بخش Size and Shape را پیدا کنید .
|
3
|
در قسمت متن Width عدد 25 را تایپ کنید .
|
4
|
در قسمت متن ارتفاع ، 100 را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت Position را پیدا کنید . از لیست پایه ، مرکز را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن r ، 12.5 را تایپ کنید .
|
7
|
روی Build Selected کلیک کنید .
|
مستطیل 2 (r2)
1
|
در نوار ابزار Geometry ، روی Rectangle کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای Rectangle ، بخش Size and Shape را پیدا کنید .
|
3
|
در قسمت متن Width عدد 25 را تایپ کنید .
|
4
|
در قسمت متن ارتفاع ، 2 را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت Position را پیدا کنید . از لیست پایه ، مرکز را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن r ، 12.5 را تایپ کنید .
|
7
|
روی Build Selected کلیک کنید .
|
چند ضلعی 1 (pol1)
1
|
در نوار ابزار Geometry ، روی Polygon کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات چند ضلعی ، بخش مختصات را پیدا کنید .
|
3
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
R (NM)
|
Z (NM)
|
0
|
0
|
12
|
0
|
0
|
3.6
|
4
|
روی Build Selected کلیک کنید .
|
ترکیب 1 (co1)
1
|
در نوار ابزار Geometry ، روی Booleans and Partitions کلیک کنید و Compose را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط اشیاء pol1 و r2 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نوشتن ، بخش نوشتن را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن فرمول تنظیم ، r2+pol1 را تایپ کنید .
|
5
|
کادر تیک Keep interior borders را پاک کنید .
|
6
|
روی Build Selected کلیک کنید .
|
نوشتن 2 (co2)
1
|
در نوار ابزار Geometry ، روی Booleans and Partitions کلیک کنید و Compose را انتخاب کنید .
|
2
|
در پنجره Graphics کلیک کنید و سپس Ctrl+A را فشار دهید تا هر دو شی انتخاب شوند.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نوشتن ، بخش نوشتن را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن فرمول تنظیم ، r1+co1 را تایپ کنید .
|
5
|
روی Build Selected کلیک کنید .
|
6
|
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .
|
فرم ضریب PDE (C)
ضریب فرم PDE 1
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)> Coefficient Form PDE (c) روی Coefficient Form PDE 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای فرم ضریب PDE ، بخش ضریب انتشار را پیدا کنید .
|
3
|
در قسمت متن c ، c_In را تایپ کنید .
|
4
|
قسمت ضریب جذب را پیدا کنید . در قسمت متن ، c_In*(l/r)^2+V_In را تایپ کنید .
|
5
|
برای گسترش بخش ضریب همرفت کلیک کنید . بردار β را به صورت مشخص کنید
|
-c_In/r
|
r
|
0
|
z
|
فرم ضریب PDE 2
1
|
در نوار ابزار Physics ، روی Domains کلیک کنید و Coefficient Form PDE را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه های 1 و 3 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای فرم ضریب PDE ، بخش ضریب انتشار را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن c ، c_Ga را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت ضریب جذب را پیدا کنید . در قسمت متن a ، c_Ga*(l/r)^2+V_Ga را تایپ کنید .
|
6
|
برای گسترش بخش ضریب همرفت کلیک کنید . بردار β را به صورت مشخص کنید
|
-c_Ga/r
|
r
|
0
|
z
|
شرایط مرزی دیریکله 1
1
|
در نوار ابزار Physics ، روی Boundaries کلیک کنید و Dirichlet Boundary Condition را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط مرزهای 2 و 9 را انتخاب کنید.
|
مش 1
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Mesh 1 کلیک راست کرده و Build All را انتخاب کنید .
مطالعه 1
مرحله 1: مقدار ویژه
1
|
در پنجره Model Builder ، در بخش مطالعه 1 ، روی Step 1: Eigenvalue کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای مقدار ویژه ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید .
|
3
|
کادر بررسی تعداد دلخواه مقادیر ویژه را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، 4 را تایپ کنید .
|
4
|
در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی محاسبه کلیک کنید .
|
نتایج
دستورالعمل های زیر را برای بازتولید سری نمودارها در شکل 2 دنبال کنید .
بیان قد 1
1
|
در پنجره Model Builder ، گره Results>2D Plot Group 1 را گسترش دهید .
|
2
|
روی Surface 1 کلیک راست کرده و Height Expression را انتخاب کنید .
|
3
|
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .
|
نتیجه را با نمودار بالا سمت چپ در شکل 2 مقایسه کنید .
گروه طرح دو بعدی 1
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Results روی 2D Plot Group 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره Settings for 2D Plot Group ، بخش Data را پیدا کنید .
|
3
|
از لیست مقدار ویژه (rad/s) ، 0.39323 را انتخاب کنید .
|
4
|
در نوار ابزار 2D Plot Group 1 ، روی Plot کلیک کنید .
|
5
|
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .
|
نتیجه را با نمودار بالا سمت راست در شکل 2 مقایسه کنید .
6
|
از لیست مقدار ویژه (rad/s) ، 0.45891 را انتخاب کنید .
|
7
|
در نوار ابزار 2D Plot Group 1 ، روی Plot کلیک کنید .
|
8
|
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .
|
نتیجه را با نمودار پایین سمت چپ در شکل 2 مقایسه کنید .
9
|
از لیست مقدار ویژه (rad/s) ، 0.56531 را انتخاب کنید .
|
10
|
در نوار ابزار 2D Plot Group 1 ، روی Plot کلیک کنید .
|
11
|
روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید .
|
نتیجه را با نمودار پایین سمت راست در شکل 2 مقایسه کنید .