میدان الکتریکی بین سیلندرهای متحدالمرکز
معرفی
این مدل مقدماتی به حل مسئله الکترواستاتیک دو استوانه متحدالمرکز با طول بینهایت میپردازد که معمولاً در کتابهای درسی یافت میشود. از آنجایی که مسئله را می توان به صورت تحلیلی حل کرد، می توان از مدل برای مقایسه نظریه با نتایج شبیه سازی عددی استفاده کرد. دو مورد در نظر گرفته شده است:
•
|
پتانسیل ثابت در هر سیلندر
|
•
|
چگالی بار سطحی در یک استوانه و پتانسیل ثابت در سیلندر دیگر
|
تعریف مدل
ابتدا راه حل تحلیلی این مشکل را برای مقایسه در نظر بگیرید. فرض کنید r i شعاع استوانه داخلی و r o شعاع سیلندر بیرونی باشد. در حالت اول، جایی که یک پتانسیل ثابت V 0 در مرز داخلی و زمین در مرز خارجی داریم ، پتانسیل الکتریکی برآورده میشود.
که منجر به میدان الکتریکی می شود
جایی که یک بردار واحد در جهت شعاعی است.
در موردی که بار سطحی q 0 بر روی سیلندر داخلی وجود دارد، پتانسیل الکتریکی به جای آن خوانده می شود
که میدان الکتریکی می دهد
که در آن ε 0 گذردهی خلاء است.
برای ساده کردن هندسه مدل، از تقارن دوگانه آن بهره ببرید. اولاً، از آنجایی که استوانه ها بی نهایت طول دارند، یک مقطع عمودی برای نشان دادن کل طول کافی است. علاوه بر این، چنین مقطعی از نظر چرخشی متقارن است و بنابراین میتوان آن را – و با گسترش، هندسه کامل – با یک جزء 1 بعدی نشان داد.
در مورد چگالی بار سطحی ثابت در مرز داخلی، نکته جالبی را می توان در مورد اینکه چرا ممکن است ترجیح داده شود به جای بار سطحی دیگر q 0، زمین را بر روی مرز بیرونی نگه دارید .با علامت مخالف از آنجایی که یک بار سطحی به سیلندر داخلی اضافه می شود، می توان دومی را بصری تر در نظر گرفت. با این حال، یک تفاوت مهم وجود دارد: داشتن زمین بر روی یک مرز، سطح صفر پتانسیل الکتریکی را تعیین می کند، و بنابراین به عنوان یک ثابت سنج عمل می کند. تنها با بارهای سطحی مشخص شده، تعداد بی نهایت راه حل قابل دوام برای پتانسیل الکتریکی وجود دارد. برای حل عددی چنین مسئله ای، باید حل کننده مستقیم پیش فرض را به یک حل کننده تکراری تغییر داد. حلکنندههای تکراری میتوانند حتی مشکلات اندازهگیری نشده را حل کنند، و یک راهحل از میان بسیاری از راهحلهای ممکن را پیدا کنند. البته مهم است که به یاد داشته باشید که میدان الکتریکی بدون توجه به پتانسیل انتخاب شده یکسان خواهد بود.
نتایج
پتانسیل الکتریکی در دو حالت در شکل 1 و شکل 2 ترسیم شده است ، جایی که جواب عددی با همتای تحلیلی آن مقایسه شده است.
شکل 1: پتانسیل الکتریکی از راه حل های عددی و تحلیلی برای مورد با پتانسیل مشخص.
شکل 2: پتانسیل الکتریکی از راه حل های عددی و تحلیلی برای مورد با چگالی بار سطحی مشخص.
به طور مشابه، راه حل های مولفه شعاعی میدان الکتریکی ترسیم شده و در شکل 3 و شکل 4 مقایسه شده است . در این نمودارها، می توان دید که جواب های عددی برای دو رویکرد مختلف تا چه اندازه با جواب های تحلیلی مطابقت دارند.
شکل 3: جزء شعاعی میدان الکتریکی از راه حل های عددی و تحلیلی برای مورد با پتانسیل مشخص.
شکل 4: جزء شعاعی میدان الکتریکی از راه حل های عددی و تحلیلی برای مورد با چگالی بار سطحی مشخص.
مسیر کتابخانه برنامه: ACDC_Module/Introductory_Electrostatics/Electric_field_concentric_cylinders
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی Model Wizard کلیک کنید .
مدل جادوگر
1
|
در پنجره Model Wizard ، روی 1D Axismetric کلیک کنید .
|
2
|
در درخت Select Physics ، AC/DC>Electric Fields and Currents>Electrostatics (es) را انتخاب کنید .
|
3
|
روی افزودن کلیک کنید .
|
4
|
روی مطالعه کلیک کنید .
|
5
|
در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید .
|
6
|
روی Done کلیک کنید .
|
ابتدا پارامترهایی را که در ساخت مدل مورد استفاده قرار می گیرند، تعریف کنید.
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید .
|
3
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
نام
|
اصطلاح
|
ارزش
|
شرح
|
ری
|
0.1[m]
|
0.1 متر
|
شعاع سیلندر داخلی
|
ro
|
1[m]
|
1 متر
|
شعاع سیلندر بیرونی
|
V0
|
100 [V]
|
100 ولت
|
پتانسیل در سیلندر داخلی
|
q0
|
1e-7[C/m]
|
1E-7 C/m
|
شارژ در سیلندر داخلی
|
ساخت هندسه با استفاده از متقارن محوری 1 بعدی ساده می شود، زیرا تنها یک فاصله برای ایجاد دو استوانه متحدالمرکز با طول بی نهایت مورد نیاز است.
هندسه 1
فاصله 1 (i1)
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Geometry 1 کلیک راست کرده و Interval را انتخاب کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای فاصله ، قسمت فاصله را بیابید .
|
3
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
مختصات (M)
|
ری
|
ro
|
4
|
روی Build All Objects کلیک کنید .
|
مواد
مواد 1 (mat1)
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Materials راست کلیک کرده و Blank Material را انتخاب کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای Material ، قسمت Material Contents را پیدا کنید .
|
3
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
ویژگی
|
متغیر
|
ارزش
|
واحد
|
گروه اموال
|
گذر نسبی
|
epsilonr_iso ; epsilonrii = epsilonr_iso، epsilonrij = 0
|
1
|
1
|
پایه ای
|
در اولین رابط فیزیک، زمین را در استوانه بیرونی و یک پتانسیل ثابت در سیلندر داخلی اضافه کنید.
الکترواستاتیک (ES)
زمین 1
1
|
در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Electrostatics (es) کلیک راست کرده و Ground را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط مرز 2 را انتخاب کنید.
|
پتانسیل الکتریکی 1
1
|
در نوار ابزار Physics ، روی Boundaries کلیک کنید و Electric Potential را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط مرز 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات Electric Potential ، قسمت Electric Potential را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متنی V 0 ، V0 را تایپ کنید .
|
اکنون، یک رابط فیزیک دوم Electrostatics اضافه کنید. در اینجا، یک چگالی بار سطحی به سیلندر داخلی اضافه می شود، در حالی که زمین روی سیلندر بیرونی حفظ می شود.
فیزیک را اضافه کنید
1
|
در نوار ابزار Physics ، روی Add Physics کلیک کنید تا پنجره Add Physics باز شود .
|
2
|
به پنجره Add Physics بروید .
|
3
|
در درخت، Recently Used>Electrostatics (es) را انتخاب کنید .
|
4
|
روی Add to Component 1 در نوار ابزار پنجره کلیک کنید .
|
5
|
در نوار ابزار Physics ، روی Add Physics کلیک کنید تا پنجره Add Physics بسته شود .
|
الکترواستاتیک 2 (ES2)
زمین 1
1
|
روی Component 1 (comp1)>Electrostatics 2 (es2) کلیک راست کرده و Ground را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط مرز 2 را انتخاب کنید.
|
چگالی شارژ سطحی 1
1
|
در نوار ابزار Physics ، روی Boundaries کلیک کنید و Surface Charge Density را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط مرز 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای چگالی شارژ سطحی ، قسمت چگالی شارژ سطحی را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن ρ s ، q0/(2*pi*ri) را تایپ کنید .
|
مطالعه 1
در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی محاسبه کلیک کنید .
نتایج
مقایسه پتانسیل الکتریکی، پتانسیل
اکنون زمان مقایسه نتایج با راه حل های تحلیلی شناخته شده است. نمودارهای پتانسیل الکتریکی به طور خودکار اضافه می شوند، بنابراین برای آن ها فقط مقایسه باید اضافه شود. سپس، نمودارهای میدان الکتریکی محاسبه شده را اضافه کنید و آن ها را با راه حل های تحلیلی نیز مقایسه کنید.
1
|
در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، مقایسه پتانسیل الکتریکی، پتانسیل را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید.
|
2
|
قسمت Plot Settings را پیدا کنید . کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید .
|
3
|
برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . از لیست نوع عنوان ، Label را انتخاب کنید .
|
نمودار خط 2
1
|
روی Electric Potential Comparison، Potential کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن Expression ، V0*log(r/ro)/log(ri/ro) را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید .
|
7
|
برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
8
|
از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید .
|
9
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
افسانه ها
|
راه حل تحلیلی
|
نمودار خطی 1
1
|
در پنجره Model Builder ، روی Line Graph 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، قسمت Legends را پیدا کنید .
|
3
|
تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
4
|
زیربخش Include را پیدا کنید . تیک گزینه Expression را انتخاب کنید .
|
5
|
چک باکس Solution را پاک کنید .
|
6
|
چک باکس Description را انتخاب کنید .
|
7
|
در نوار ابزار مقایسه پتانسیل الکتریکی ، روی Plot کلیک کنید .
|
مقایسه پتانسیل الکتریکی، چگالی شارژ
1
|
در پنجره Model Builder ، در بخش Results روی Electric Potential (es2) کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، مقایسه پتانسیل الکتریکی، چگالی شارژ را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید.
|
3
|
قسمت Plot Settings را پیدا کنید . کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید .
|
4
|
قسمت عنوان را پیدا کنید . از لیست نوع عنوان ، Label را انتخاب کنید .
|
نمودار خط 2
1
|
روی مقایسه پتانسیل الکتریکی ، چگالی شارژ کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت Expression text -q0*log(r/ro)/(2*pi*epsilon0_const) را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید .
|
7
|
قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
8
|
از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید .
|
9
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
افسانه ها
|
راه حل تحلیلی
|
نمودار خطی 1
1
|
در پنجره Model Builder ، روی Line Graph 1 کلیک کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، قسمت Legends را پیدا کنید .
|
3
|
تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
4
|
زیربخش Include را پیدا کنید . تیک گزینه Expression را انتخاب کنید .
|
5
|
چک باکس Solution را پاک کنید .
|
6
|
چک باکس Description را انتخاب کنید .
|
7
|
در نوار ابزار مقایسه پتانسیل الکتریکی، چگالی شارژ ، روی Plot کلیک کنید .
|
مقایسه میدان الکتریکی، پتانسیل
1
|
در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، مقایسه میدان الکتریکی، پتانسیل را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید.
|
3
|
قسمت Plot Settings را پیدا کنید .
|
4
|
کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، فیلد الکتریکی (V/m) را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت عنوان را پیدا کنید . از لیست نوع عنوان ، Label را انتخاب کنید .
|
نمودار خطی 1
1
|
بر روی Electric Field Comparison، Potential کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن Expression ، es.Er را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید .
|
7
|
قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
8
|
زیربخش Include را پیدا کنید . تیک گزینه Expression را انتخاب کنید .
|
9
|
چک باکس Solution را پاک کنید .
|
10
|
چک باکس Description را انتخاب کنید .
|
نمودار خط 2
1
|
در پنجره Model Builder ، بر روی Electric Field Comparison، Potential کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت متن Expression ، -V0/(r*log(ri/ro)) را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید .
|
7
|
قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
8
|
از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید .
|
9
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
افسانه ها
|
راه حل تحلیلی
|
10
|
در نوار ابزار مقایسه میدان الکتریکی، پتانسیل ، روی Plot کلیک کنید .
|
مقایسه میدان الکتریکی، چگالی بار
1
|
در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید .
|
2
|
در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، مقایسه میدان الکتریکی، چگالی شارژ را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید.
|
3
|
قسمت Plot Settings را پیدا کنید .
|
4
|
کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، فیلد الکتریکی (V/m) را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت عنوان را پیدا کنید . از لیست نوع عنوان ، Label را انتخاب کنید .
|
نمودار خطی 1
1
|
بر روی مقایسه میدان الکتریکی ، چگالی شارژ کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت Expression text es2.Er را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید .
|
7
|
قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
8
|
زیربخش Include را پیدا کنید . تیک گزینه Expression را انتخاب کنید .
|
9
|
چک باکس Solution را پاک کنید .
|
10
|
چک باکس Description را انتخاب کنید .
|
نمودار خط 2
1
|
در پنجره Model Builder ، بر روی Electric Field Comparison، Charge Density کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید .
|
2
|
فقط دامنه 1 را انتخاب کنید.
|
3
|
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید .
|
4
|
در قسمت Expression text q0/(2*pi*epsilon0_const*r) را تایپ کنید .
|
5
|
قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید .
|
6
|
در قسمت متن Expression ، r را تایپ کنید .
|
7
|
قسمت Legends را پیدا کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید .
|
8
|
از فهرست Legends ، Manual را انتخاب کنید .
|
9
|
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
|
افسانه ها
|
راه حل تحلیلی
|
10
|
در نوار ابزار مقایسه میدان الکتریکی، چگالی شارژ ، روی Plot کلیک کنید .
|