معادله بلک اسکولز

معادله بلک اسکولز

PDF

معادله بلک اسکولز
معرفی
انواع مختلفی از گزینه های سهام وجود دارد:
اختیار خرید، حق خرید اوراق بهادار با قیمت معین (به نام قیمت اعمال یا اعتصاب) در یک دوره زمانی مشخص است.
اختیار فروش ، حق فروش اوراق بهادار به قیمت مشخص در یک دوره زمانی مشخص است.
اختیارات آمریکایی را می توان در هر زمان و تا روز انقضای اختیار اعمال کرد. اختیارات اروپایی فقط در روز انقضای اختیار قابل اعمال است.
معادله معروف بلک اسکولز هزینه u یک گزینه سهام اروپایی را محاسبه می کند
با پارامترهای زیر:
x ، قیمت دارایی اساسی
r ، نرخ بهره ترکیبی پیوسته
σ ، انحراف استاندارد نرخ بازده دارایی (همچنین به عنوان نوسان شناخته می شود)
ارزش یک اختیار فروش در روز تمرین است
که در آن K قیمت اعتصاب است. دامنه مسئله نامتناهی است و از کل محور واقعی در طول حوزه زمانی  ≤   ≤  T تشکیل شده است .
مفروضاتی که در استخراج معادله بلک شولز انجام می شود عبارتند از:
سهام پایه هیچ سود سهامی پرداخت نمی کند.
قیمت سهام، یک دوره قبل، دارای توزیع لگ نرمال با میانگین و انحراف معیار است که در طول عمر اختیار معامله ثابت است.
وجود نرخ بهره بدون ریسک که در طول عمر اختیار معامله ثابت است.
می توانید با نرخ بهره بدون ریسک وام دهید و وام بگیرید.
بلک و اسکولز یک عبارت تحلیلی برای حل مسئله فوق به دست آوردند. با این حال، فرمول فقط برای موارد خاص کار می کند. برای مثال، وقتی σ و r توابعی از x و t هستند ، نمی‌توانید از آن استفاده کنید . با استفاده از فرمول PDE می توانید قیمت چنین مواردی را تعیین کنید.
تعریف مدل
از آنجا که شما در یک دامنه محدود  ≤   ≤  X کار می کنید ، لازم است نه تنها شرایط مرزی برای  =  T ، بلکه برای  =  0 و  =  X نیز مشخص شود . بنابراین ضروری است که ویژگی های مسئله برای تعیین محل مرزهای ورودی و خروجی مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد.
تعریف معادله
برای قرار دادن معادله به شکل ضریب، معادله را به صورت بازنویسی کنید
در ادامه، مشخص کنید
برای کاهش مشکلات مرزهای ورودی، با در نظر گرفتن گزینه فروش شروع کنید: ارزش یک اختیار فروش را در قیمت 40  =  با 0.3 = σ  و 0.12  =  r مطالعه کنید .
شرایط مرزی و شرایط اولیه
دامنه را با زمان از 12 تا  ≤   ≤  80 قرار دهید . سپس شرط اولیه در  =  12 و  =  80 بر اساس مقدار گزینه put 0 است . شرایط اولیه در ناحیه  ≤   ≤  40 به صورت خطی از 0 تا 40 متغیر است . در انتهای حوزه شبیه سازی، مرز آزاد است (از یک شرط مرزی همگن استفاده کنید).
نکاتی درباره پیاده سازی COMSOL
معادله بلک شولز را با استفاده از روش زیر مدل کنید:
یک مدل وابسته به زمان یک بعدی ایجاد کنید، با استفاده از الگوریتم گام زمانی برای حل c به عنوان تابعی از x و t ، زمان. گام های زمانی در زمان به عقب می روند. با استفاده از جایگزینی متغیر برای معکوس کردن علامت زمان، ضریب a می شود  1.
برای مدل سازی شرط اولیه، از عبارت منطقی (x<40)*(40-x) استفاده کنید . این بدان معنی است که در مناطقی که x   40 , مقدار اولیه صفر است.
مسیر کتابخانه برنامه: COMSOL_Multiphysics/Equation_Based/black_scholes_put
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی  Model  Wizard کلیک کنید .
مدل جادوگر
1
در پنجره Model  Wizard ، روی  1D کلیک کنید .
2
در درخت انتخاب  فیزیک ، ریاضیات>  رابط های PDE>  فرم ضریب  PDE  (c) را انتخاب کنید .
3
روی افزودن کلیک کنید .
4
 روی مطالعه کلیک کنید .
5
در درخت انتخاب  مطالعه ، General  Studies>Time  Dependent را انتخاب کنید .
6
 روی Done کلیک کنید .
ریشه
1
در پنجره Model  Builder ، روی گره ریشه کلیک کنید.
2
در پنجره تنظیمات گره ریشه ، بخش Unit  System را پیدا کنید .
3
از لیست سیستم واحد  ، هیچکدام را انتخاب کنید .
پیگیری واحدها در این مدل مهم نیست. با خاموش کردن پشتیبانی واحد، از نیاز به تعیین ابعاد برای ضرایب معادله و مختصات برای خلاص شدن از شر هشدارهای واحد جلوگیری می کنید.
هندسه 1
فاصله 1 (i1)
1
در پنجره Model  Builder ، در قسمت Component   (comp1) روی Geometry  1 کلیک راست کرده و Interval را انتخاب کنید .
2
در پنجره تنظیمات برای فاصله ، قسمت فاصله را بیابید .
3
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
 
مختصات
0
80
4
 روی Build  Selected کلیک کنید .
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1
در پنجره Model  Builder ، در قسمت Global  Definitions روی Parameters  1 کلیک کنید .
2
در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید .
3
در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید:
 
نام
اصطلاح
ارزش
شرح
r
0.12
0.12
نرخ بهره مرکب پیوسته
سیگما
0.3
0.3
نوسان
فرم ضریب PDE (C)
ضریب فرم PDE 1
1
در پنجره Model  Builder ، در قسمت Component   (comp1)> Coefficient  Form  PDE  (c) روی Coefficient  Form  PDE  1 کلیک کنید .
2
در پنجره تنظیمات برای فرم ضریب  PDE ، بخش ضریب انتشار را پیدا کنید .
3
در قسمت متن c ، 1/2*sigma^2*x^2 را تایپ کنید .
4
قسمت ضریب جذب  را پیدا کنید . در قسمت متن، r را تایپ کنید .
5
قسمت Source  Term را پیدا کنید . در قسمت متن f ، 0 را تایپ کنید .
6
قسمت Damping  یا  Mass  Coefficient را پیدا کنید . در قسمت متن a ، -1 را تایپ کنید .
7
برای گسترش بخش ضریب همرفت  کلیک کنید . در قسمت متن β ، (-r+sigma^2)*x را تایپ کنید .
مقادیر اولیه 1
1
در پنجره Model  Builder ، روی مقادیر اولیه  1 کلیک کنید .
2
در پنجره تنظیمات برای مقادیر اولیه  ، قسمت مقادیر اولیه را پیدا کنید .
3
در قسمت متن u ، (x<40)*(40-x) را تایپ کنید .
شار/منبع 1
1
در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Flux/Source را انتخاب کنید .
2
فقط مرز 1 را انتخاب کنید.
شرایط مرزی دیریکله 1
1
در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Dirichlet  Boundary  Condition را انتخاب کنید .
2
فقط مرز 2 را انتخاب کنید.
مش 1
لبه 1
در نوار ابزار Mesh ، روی  Edge کلیک کنید .
اندازه
1
در پنجره Model  Builder ، روی Size کلیک کنید .
2
در پنجره تنظیمات برای اندازه ، قسمت اندازه عنصر  را پیدا کنید .
3
روی دکمه Custom کلیک کنید .
4
قسمت پارامترهای اندازه عنصر  را پیدا کنید . در قسمت متن حداکثر اندازه عنصر ، 2 را تایپ کنید .
5
 روی ساخت  همه کلیک کنید .
مش از 40 عنصر تشکیل شده است.
مطالعه 1
مرحله 1: وابسته به زمان
1
در پنجره Model  Builder ، در بخش مطالعه  1 ، روی Step  1:  Time  Dependent کلیک کنید .
2
در پنجره تنظیمات مربوط به زمان  وابسته ، قسمت تنظیمات مطالعه  را پیدا کنید .
3
در قسمت متن زمان خروجی ،  range(12,-0.5,0) را تایپ کنید .
4
در نوار ابزار صفحه اصلی ،  روی محاسبه کلیک کنید .
نتایج
برای مشاهده نمودار u به عنوان نمودار خطی در زمان = 0، مراحل زیر را دنبال کنید.
گروه طرح 1 بعدی 1
1
در پنجره Model  Builder ، در قسمت Results روی 1D  Plot  Group  1 کلیک کنید .
2
در پنجره Settings for 1D  Plot  Group ، بخش Data را پیدا کنید .
3
از لیست انتخاب زمان  ، از لیست را انتخاب کنید .
4
در لیست بارها  ، 0 را انتخاب کنید .
5
برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . قسمت Plot  Settings را پیدا کنید .
6
چک باکس x-axis  label را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، x را تایپ کنید .
7
کادر بررسی برچسب محور y  را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، u را تایپ کنید .
نمودار خطی 1
1
در پنجره Model  Builder ، گره 1D  Plot  Group  1 را گسترش دهید ، سپس روی Line  Graph  1 کلیک کنید .
2
در پنجره تنظیمات برای نمودار خط  ، روی Replace Expression در گوشه سمت راست بالای بخش x-Axis Data کلیک کنید . از منو، Component (comp1)>Geometry>Coordinate>x – x-coordinate را انتخاب کنید .
3
برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show  legends را انتخاب کنید .
4
زیربخش پیشوند  و  پسوند را پیدا کنید . در قسمت متن پیشوند ، Time = را تایپ کنید .
5
در نوار ابزار 1D Plot Group 1 ، روی  Plot کلیک کنید .