 |
تعیین کمیت عدم قطعیت عملکرد ایشیگامی
معرفی
این مثال نحوه انجام تجزیه و تحلیل کمی عدم قطعیت تابع Ishigami را نشان می دهد. این تابع تصادفی از سه متغیر یک معیار شناخته شده است که برای آزمایش تحلیل حساسیت جهانی و الگوریتم‌های کمی عدم قطعیت استفاده می‌شود. میانگین، انحراف استاندارد، مقادیر حداکثر و حداقل و همچنین شاخص های Sobol تابع Ishigami را می توان به صورت تحلیلی برای توزیع های ورودی استفاده شده در اینجا محاسبه کرد.
برای این مشکل تست، تابع Ishigami است
که در آن X 1 ، X 2 و X 3 متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت در [-π,+π] با a = 7 و b = 0.1 هستند .
این تابع را می توان به صورت سه بعدی با استفاده از یک نمودار برش مانند شکل 1 تجسم کرد .
شکل 1: نمودار برش تابع ایشیگامی.
مقادیر محاسبه شده به صورت تحلیلی مطابق جدول 1 می باشد .
تعداد | اصطلاح | مقدار عددی (گرد) |
مقدار میانگین | a/2 | 3.5 |
واریانس (V) | (a^2)/8+b*(pi^4)/5+b^2*(pi^8)/18+1/2 | 13.845 |
بیشترین | 8+(pi^4)/10 | 17.741 |
کمترین | -1-(pi^4)/10 | -10.741 |
انحراف معیار | sqrt(V) | 3.7208 |
سوبول مرتبه اول شاخص X 1 | (0.5*(1+b*(pi^4)/5)^2)/V | 0.31391 |
سوبول مرتبه اول X 2 | ((a^2)/8)/V | 0.44241 |
سوبول مرتبه اول شاخص X 3 | 0 | 0 |
شاخص کل سوبول X 1 | ((1/2)*(1+b*(pi^4)/5)^2+(8*b^2*pi^8)/225)/V | 0.55759 |
شاخص کل سوبول X 2 | ((a^2)/8/V | 0.44241 |
شاخص کل سوبول X 3 | ((8*b^2*pi^8)/225/V | 0.24368 |
برای مرجع، این مقادیر به عنوان پارامترهای سراسری در مدل وارد می شوند.
تعریف مدل
این مدل از طریق 3 مطالعه کمی سازی عدم قطعیت اجرا می شود: غربالگری ، تجزیه و تحلیل حساسیت ، و انتشار عدم قطعیت با استفاده از تابع Ishigami به عنوان کمیت مورد علاقه. به منظور انجام تحلیل کمی عدم قطعیت، سه متغیر تصادفی باید به عنوان پارامترهای جهانی با استفاده از مقادیر دلخواه تعریف شوند. مقادیر واقعی برای این متغیرها، در طول شبیه سازی، توسط الگوریتم های کمی سازی عدم قطعیت تصادفی می شوند. تمام پارامترهای جهانی در مدل در شکل 2 نشان داده شده است .
شکل 2: پارامترهای مدل.
تابع Ishigami به عنوان یک تابع تحلیلی با سه آرگومان ورودی تعریف شده است که در شکل 3 نشان داده شده است .
شکل 3: تابع Ishigami به عنوان یک تابع تحلیلی، ishigami وارد شده است .
نتایج و بحث
تجزیه و تحلیل حساسیت نشان می دهد که شاخص های Sobol محاسبه شده با مقادیر تحلیلی واقعی مطابقت دارند، همانطور که در شکل 4 زیر نشان داده شده است.
شکل 4: شاخص های Sobol محاسبه شده.
به طور مشابه، مقادیر میانگین، انحراف استاندارد (STD)، حداقل و حداکثر با مقادیر تحلیلی مطابقت دارند، همانطور که در شکل 5 نشان داده شده است .
شکل 5: مقادیر محاسبه شده برای میانگین، انحراف استاندارد، حداقل، حداکثر و فواصل اطمینان.
دقت نتایج را می توان با کاهش تلرانس ها یا افزایش تعداد نقاط ورودی نمونه افزایش داد.
تخمین چگالی هسته محاسبه شده در شکل 6 نمایش داده شده است .
شکل 6: نمودار KDE برای تابع Ishigami.
این نتایج کمی سازی عدم قطعیت را می توان نه تنها با مقادیر تحلیلی بلکه با شبیه سازی مستقیم مونت کارلو که در مدل شبیه سازی مستقیم مونت کارلو تابع ایشیگامی انجام شده است، مقایسه کرد .
ارجاع
1. T. Ishigami و T. Homma، “یک تکنیک کمی سازی اهمیت در تحلیل عدم قطعیت برای مدل های کامپیوتری”، Proc. اولین علامت بین المللی مدلسازی و تحلیل عدم قطعیت ، IEEE، صفحات 398-403، 1990.
مسیر کتابخانه برنامه: Uncertainty_Quantification_Module/Tutorials/ishigami_function_uncertainty_quantification
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Blank Model کلیک کنید .
Blank Model کلیک کنید .اضافه کردن مطالعه
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study باز شود . |
2 | به پنجره Add Study بروید . |
3 | زیربخش مطالعات را پیدا کنید . در درخت انتخاب مطالعه ، Preset Studies for Selected Physics Interfaces>Stationary را انتخاب کنید . |
4 | روی Add Study در نوار ابزار پنجره کلیک کنید . |
5 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study بسته شود . |
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
X1 | 1 | 1 | متغیر تصادفی 1 |
x2 | 1 | 1 | متغیر تصادفی 2 |
X3 | 1 | 1 | متغیر تصادفی 3 |
آ | 7 | 7 | پارامتر Ishigami 1 |
ب | 0.1 | 0.1 | پارامتر ایشیگامی 2 |
م | a/2 | 3.5 | منظور داشتن |
V | (a^2)/8+b*(pi^4)/5+b^2*(pi^8)/18+1/2 | 13.845 | واریانس |
STD | sqrt(V) | 3.7208 | انحراف معیار |
V1 | 0.5*(1+b*(pi^4)/5)^2 | 4.3459 | واریانس مرتبه اول 1 |
v2 | (a^2)/8 | 6.125 | واریانس مرتبه اول 2 |
V3 | 0 | 0 | واریانس مرتبه اول 3 |
S1 | V1/V | 0.31391 | سوبول مرتبه اول شاخص 1 |
S2 | V2/V | 0.44241 | سوبول مرتبه اول شاخص 2 |
S3 | V3/V | 0 | سوبول مرتبه اول شاخص 3 |
VT1 | (1/2)*(1+b*(pi^4)/5)^2+(8*b^2*pi^8)/225 | 7.7196 | واریانس کل 1 |
VT2 | (a^2)/8 | 6.125 | واریانس کل 2 |
VT3 | (8*b^2*ft^8)/225 | 3.3737 | واریانس کل 3 |
ST1 | VT1/V | 0.55759 | شاخص کل سوبول 1 |
ST2 | VT2/V | 0.44241 | شاخص کل سوبول 2 |
ST3 | VT3/V | 0.24368 | شاخص کل سوبول 3 |
imax | 8+(pi^4)/10 | 17.741 | حداکثر تابع |
نزدیک | -1-(pi^4)/10 | -10.741 | تابع حداقل |
عملکرد ایشیگامی
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Functions کلیک کنید و Global>Analytic را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای تحلیل ، ishigami را در قسمت متن نام تابع تایپ کنید . |
3 | قسمت Definition را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، sin(x1)+a*(sin(x2))^2+b*x3^4*sin(x1) را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن Arguments ، x1,x2,x3 را تایپ کنید . |
5 | در قسمت نوشتار برچسب ، تابع Ishigami را تایپ کنید . |
6 | قسمت Plot Parameters را پیدا کنید . در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
بحث و جدل | حد پایین | حد بالا | واحد |
x1 | -pi | پی | |
x2 | -pi | پی | |
x3 | -pi | پی |
7 |  روی Create Plot کلیک کنید . |
نتایج
گروه طرح سه بعدی 1
مطالعه 1
کمیت عدم قطعیت
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  Uncertainty Quantification کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای تعیین کمیت عدم قطعیت ، بخش مقادیر مورد علاقه را پیدا کنید . |
3 |  روی افزودن کلیک کنید . |
4 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
اصطلاح | شرح | راه حل فردی برای استفاده |
ایشیگامی(X1,X2,X3) | عملکرد ایشیگامی | از “راه حل برای استفاده” |
5 | قسمت پارامترهای ورودی را پیدا کنید . سه بار روی Add کلیک کنید .  |
6 | در جدول، برای انتخاب سلول در ردیف شماره 1 و ستون شماره 1 کلیک کنید. |
7 | در قسمت متن با کران پایین ، -pi را تایپ کنید . |
8 | در قسمت متن کران بالا ، pi را تایپ کنید . |
9 | در جدول، برای انتخاب سلول در ردیف شماره 2 و ستون شماره 1 کلیک کنید. |
10 | در قسمت متن با کران پایین ، -pi را تایپ کنید . |
11 | در قسمت متن کران بالا ، pi را تایپ کنید . |
12 | در جدول، برای انتخاب سلول در ردیف شماره 3 و ستون شماره 1 کلیک کنید. |
13 | در قسمت متن با کران پایین ، -pi را تایپ کنید . |
14 | در قسمت متن کران بالا ، pi را تایپ کنید . |
15 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
MOAT، ایشیگامی (X1، X2، X3)
مطالعه غربالگری نشان می‌دهد که همه پارامترها تأثیرگذار هستند و پارامتر X3 تأثیر غیرخطی بر عملکرد ایشیگامی دارد، یا با سایر پارامترهای ورودی یا هر دو در تعامل است.
مطالعه 1
کمیت عدم قطعیت
در پنجره Model Builder ، در مطالعه 1 ، روی Uncertainty Quantification کلیک راست کرده و Add New Uncertainty Quantification Study For>Sensitivity Analysis را انتخاب کنید .
مطالعه 2
کمیت عدم قطعیت
برای دستیابی به دقت بالایی، از نوع پیش‌فرض Compute که Improve and analysis است ، به Compute and analysis تغییر دهید . این گزینه از هیچ نتیجه‌ای از ارزیابی‌های مدل قبلی استفاده مجدد نمی‌کند، بلکه از ابتدا شروع می‌کند.
1 | در پنجره Model Builder ، در مطالعه 2 ، روی Uncertainty Quantification کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای تعیین کمیت عدم اطمینان ، بخش تنظیمات کمی عدم قطعیت را پیدا کنید . |
3 | از لیست اقدامات Compute ، Compute and analysis را انتخاب کنید . |
4 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
مطالعه تحلیل حساسیت، شاخص‌های سوبول را محاسبه می‌کند که با مقادیر تحلیلی سازگار است.
5 | روی Study 2>Uncertainty Quantification کلیک راست کنید و Add New Uncertainty Quantification Study For>Uncertainty Propagation را انتخاب کنید . |
مطالعه 3
کمیت عدم قطعیت
اکنون، مدل جانشین را به بسط آشفتگی چند جمله‌ای پراکنده تطبیقی تغییر دهید . برای تابع ایشیگامی، مدل جایگزین گسترش آشوب چند جمله ای بسیار کارآمدتر از گزینه پیش فرض فرآیند تطبیقی گاوسی است .
1 | در پنجره Model Builder ، در مطالعه 3 ، روی Uncertainty Quantification کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای تعیین کمیت عدم اطمینان ، بخش تنظیمات کمی عدم قطعیت را پیدا کنید . |
3 | زیربخش تنظیمات مدل جایگزین را پیدا کنید . از لیست مدل جایگزین ، بسط آشفتگی چند جمله ای پراکنده تطبیقی را انتخاب کنید . |
مجدداً، برای دستیابی به سطح بالایی از دقت، به محاسبه و تجزیه و تحلیل تغییر دهید . این گزینه از هیچ نتیجه‌ای از ارزیابی‌های مدل قبلی استفاده مجدد نمی‌کند، بلکه از ابتدا شروع می‌کند.
4 | از لیست اقدامات Compute ، Compute and analysis را انتخاب کنید . |
5 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
