 |
معادله گراس-پیتافسکی برای تراکم بوز-اینشتین
این مدل آموزشی با استفاده از رابط فیزیک معادله شرودینگر در ماژول نیمه هادی، معادله گروس-پیتافسکی را برای حالت پایه یک میعانات بوز-اینشتین در یک تله هارمونیک حل می کند. این معادله اساساً یک معادله شرودینگر تک ذره ای غیرخطی است که سهم انرژی بالقوه آن متناسب با چگالی ذرات محلی است. مطالعه ارزش ویژه برای حل این نوع مسائل ارزش ویژه غیرخطی مناسب نیست. در عوض، یک مطالعه ثابت با یک معادله جهانی استفاده می شود که نرمال سازی تابع موج را برای حل برای حل حالت پایه اعمال می کند. نتیجه برای تعداد زیادی ذرات به خوبی با تقریب توماس-فرمی همانطور که انتظار می رود مقایسه می شود.
معرفی
معادله Gross-Pitaevskii برای اولین بار برای تجزیه و تحلیل خطوط گرداب در ابرشاره ها در دهه 60 توسعه یافت ( مرجع 1 و مرجع 2 ). این سیستم مجموعه ای از بوزون های یکسان را توصیف می کند و به شکل یک معادله شرودینگر تک ذره ای غیرخطی است:
(1)
که در آن V ( r ) یک پتانسیل خارجی است، N تعداد بوزون های سیستم، و U 0 قدرت برهمکنش است.
برای این مدل، یک میعان بوز-انیشتین از 87 اتم Rb را در یک پتانسیل هارمونیک متقارن محوری فرض می‌کنیم:
قدرت تعامل توسط
که در آن a s طول پراکندگی موج s است.
تابع موج حالت پایه و انرژی ویژه برای یک میعان با یک میلیون اتم حل شده است. همانطور که انتظار می رود، نتیجه به خوبی با تقریب توماس-فرمی مقایسه می شود.
تعریف مدل
پارامترهای مورد استفاده در مدل عبارتند از: جرم اتمی m = 1.443·10-25 کیلوگرم ، فرکانس زاویه‌ای تله‌گذاری ω 0 = 2 π · 10 راد بر ثانیه، و طول پراکندگی as = 5.2 نانومتر. این معادله به راحتی با استفاده از رابط معادله شرودینگر تنظیم می شود.
از آنجایی که عبارت اندرکنش غیرخطی شامل تابع موج مجهول است، این معادله را نمی توان با استفاده از مطالعه مقدار ویژه حل کرد. مشکل در دو مطالعه حل شده است. در اولین مطالعه ارزش ویژه، راه حل حالت پایه بوزون های غیر برهم کنش در تله هارمونیک محاسبه شده است. در مطالعه دوم، عبارت برهمکنش غیرخطی اضافه می‌شود، بنابراین یک معادله جهانی عادی‌سازی تابع موج را اعمال می‌کند. معادلات ترکیبی در یک حل کننده ثابت با استفاده از راه حل اولین مطالعه به عنوان شرط اولیه حل می شوند.
نتایج و بحث
شکل 1 نتیجه حالت پایه چگالش بوز-اینشتین را با یک میلیون اتم خلاصه می کند: کل انرژی پتانسیل به رنگ خاکستری نشان داده شده است، و بخش واقعی تابع موج به صورت رنگی نشان داده شده است (قسمت فرضی برای حالت محدود صفر است). .
شکل 1: نمودار خلاصه برای حل حالت پایه.
راه حل حالت پایه را می توان با تقریب توماس-فرمی مقایسه کرد، که در آن عبارت انرژی جنبشی در معادله شرودینگر غیرخطی نادیده گرفته شده و نمایه چگالی ذرات با یک راه حل جبری ساده شکل پتانسیل به دام انداختن (وارونه) را به خود می گیرد. معادله باقی مانده شکل زیر چگالی محاسبه شده را با نتیجه تقریب توماس-فرمی در جهت محوری و شعاعی مقایسه می کند.
شکل 2: مقایسه چگالی محاسبه شده با تقریب توماس فرمی در جهت محوری و شعاعی.
منابع
1. EP Gross، “ساختار یک گرداب کوانتیزه در سیستم های بوزونی”، Il Nuovo Cimento ، جلد. 20، شماره 3، صفحات 454-457، 1961. doi:10.1007/BF02731494.
2. LP Pitaevskii، “خطوط گرداب در گاز Bose ناقص”، Sov. فیزیک JETP ، جلد. 13، شماره 2، صفحات 451-454، 1961.
مسیر کتابخانه برنامه: Semiconductor_Module/Quantum_Systems/gross_pitaevskii_equation_for_bose_einstein_condensation
دستورالعمل های مدل سازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard ، روی  2D Axismetric کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Semiconductor>Schrödinger Equation (schr) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت Select Study ، Preset Studies for Selected Physics Interfaces>Eigenvalue را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
هندسه 1
Model Wizard در قسمت تنظیمات گره Geometry در ساختار درختی Model Builder به پایان رسید. ما می توانیم از این فرصت برای انتخاب یک واحد طول مناسب استفاده کنیم.
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Geometry 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات هندسه ، بخش Units را پیدا کنید . |
3 | از لیست واحد طول ، میکرومتر را انتخاب کنید . |
پارامترهای تله و میعانات Rb-87 را وارد کنید.
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
w0 | 2*pi*10[Hz] | 62.832 هرتز | فرکانس دام |
مادر | 86.909 [g/mol]/N_A_const | 1.4432E-25 کیلوگرم | جرم اتمی Rb-87 |
مانند | 5.2[nm] | 5.2E-9 متر | طول پراکندگی |
U0 | 4*pi*hbar_const^2*as/ma | 5.0356E-51 J m³ | قدرت تعامل |
N0 | 1 | 1 | تعداد اتم ها |
wr | w0*sqrt(3) | 108.83 هرتز | فرکانس تله عرضی |
Rr0 | (15*U0*w0*N0/(4*pi*ma*wr^3))^0.2 | 1.1522E-6 متر | اندازه TF عرضی |
Rz0 | (15*U0*wr^2*N0/(4*pi*ma*w0^4))^0.2 | 1.9956E-6 متر | اندازه TF طولی |
put0 | 15*N0/(8*pi*Rr0^2*Rz0) | 2.2529E17 1/m³ | پیک تراکم TF |
یک نیم دایره برای دامنه مدل سازی ایجاد کنید.
هندسه 1
دایره 1 (c1)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  Circle کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات دایره ، بخش اندازه و شکل را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Radius عدد 50 را تایپ کنید . |
4 | در قسمت نوشتار زاویه بخش ، 180 را تایپ کنید . |
5 | قسمت Rotation Angle را پیدا کنید . در قسمت متن چرخش ، -90 را تایپ کنید . |
6 |  روی Build All Objects کلیک کنید . |
یک واحد انرژی مناسب برای انرژی ویژه تنظیم کنید.
معادله شرودینگر (SCHR)
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش 1 (comp1) روی معادله شرودینگر (schr) کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات معادله شرودینگر ، بخش ویژگی های مدل را پیدا کنید . |
3 | زیربخش مطالعه مقدار ویژه را پیدا کنید . در قسمت متنی مقیاس λ ، 1[nK]*k_B_const را تایپ کنید . |
جرم اتمی و انرژی پتانسیل تله را وارد کنید.
جرم اتمی
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)> Schrödinger Equation (schr) روی Effective Mass 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جرم موثر ، Atomic Mass را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
3 | بخش Effective Mass را پیدا کنید . در قسمت متن m eff,e , 11 ، ma را تایپ کنید . |
به دام انداختن انرژی بالقوه
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)> Schrödinger Equation (schr) روی Electron Potential Energy 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مربوط به انرژی پتانسیل الکترون ، در قسمت نوشتار Label ، Trap Potential Energy را تایپ کنید . |
3 | بخش انرژی پتانسیل الکترون را پیدا کنید . از لیست V e ، User defined را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، 0.5*ma*w0^2*(3*r^2+z^2) را تایپ کنید . |
پتانسیل تله محکم تری در جهت شعاعی نسبت به جهت محوری وارد می شود که منجر به ایجاد میعان دراز می شود.
یک مش مناسب ایجاد کنید.
مش 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Mesh 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات مش ، قسمت Physics-Controlled Mesh را پیدا کنید . |
3 | از فهرست اندازه عنصر ، Extra fine را انتخاب کنید . |
4 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
ما از حل حالت پایه ذره غیر متقابل به عنوان شرط اولیه برای مسئله ارزش ویژه غیرخطی که توسط معادله گروس-پیتافسکی ایجاد شده است استفاده خواهیم کرد.
مطالعه 1: مقدار ویژه برای شرایط اولیه
1 | در پنجره Model Builder ، روی Study 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مطالعه ، Study 1: Eigenvalue for Initial Condition را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
مرحله 1: مقدار ویژه
1 | در پنجره Model Builder ، در مطالعه 1: مقدار ویژه برای شرایط اولیه ، روی Step 1: Eigenvalue کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مقدار ویژه ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متنی Desired number of eigenvalues عدد 1 را تایپ کنید . |
4 | در نوار ابزار صفحه اصلی ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
اکنون می توانیم عبارت تعامل غیرخطی را اضافه کنیم.
معادله شرودینگر (SCHR)
انرژی تعامل
1 | در پنجره Model Builder ، روی Trap Potential Energy کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای انرژی پتانسیل الکترون ، انرژی تعاملی را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید . |
3 | بخش انرژی پتانسیل الکترون را پیدا کنید . در قسمت متن V e ، N0*U0*schr.Pr را تایپ کنید . |
ویژگی انرژی پتانسیل الکترون انباشته است، بنابراین این عبارت در معادله نهایی برای حل به عبارت انرژی پتانسیل تله بالا اضافه می شود .
یک معادله جهانی تنظیم کنید که نرمال‌سازی تابع موج تک ذره را اعمال می‌کند تا مطالعه ثابت را برای حل مسئله ارزش ویژه غیرخطی فعال کند.
4 |  روی دکمه Show More Options در نوار ابزار Model Builder کلیک کنید . |
5 | در کادر محاوره‌ای Show More Options ، در درخت، کادر را برای گره Physics>Equation-Based Contributions انتخاب کنید . |
6 | روی OK کلیک کنید . |
معادلات جهانی 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Global کلیک کنید و Global Equations را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای معادلات جهانی ، بخش معادلات جهانی را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | F(U,UT,UTT,T) (1) | مقدار اولیه (U_0) (1) | مقدار اولیه (U_T0) (1/S) | شرح |
E0 | (1-scr.int(2*pi*r*scr.Pr)) | 1 | 0 |
4 | در پنجره Model Builder ، روی معادله شرودینگر (schr) کلیک کنید . |
5 | در پنجره تنظیمات معادله شرودینگر ، بخش ویژگی های مدل را پیدا کنید . |
6 | زیربخش مطالعه ثابت را پیدا کنید . در قسمت متن E ، E0*1[nK]*k_B_const را تایپ کنید . |
متغیر حل سراسری E0 برای معادله جهانی مقدار انرژی ویژه را در واحدهای nK می گیرد.
یک گره شرط اولیه را برای به ارث بردن راه حل از حالت پایه ذره غیر متقابل تنظیم کنید.
مقادیر اولیه 2
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1)> Schrödinger Equation (schr) روی مقادیر اولیه 1 کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مقادیر اولیه ، قسمت مقادیر اولیه را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن psi ، schr.Psi را تایپ کنید . |
اکنون می‌توانیم مطالعه ثابت را برای حل کندانس تنظیم کنیم.
اضافه کردن مطالعه
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study باز شود . |
2 | به پنجره Add Study بروید . |
3 | زیربخش مطالعات را پیدا کنید . در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
4 | روی Add Study در نوار ابزار پنجره کلیک کنید . |
5 | در نوار ابزار Home ، روی  Add Study کلیک کنید تا پنجره Add Study بسته شود . |
مطالعه 2
مرحله 1: ثابت
دوباره روی دکمه Add Study کلیک کنید تا پنجره بسته شود.
1 | در پنجره تنظیمات برای Stationary ، برای گسترش بخش Values of Dependent Variables کلیک کنید . |
2 | مقادیر اولیه متغیرهای حل شده برای زیربخش را بیابید . از لیست تنظیمات ، کنترل کاربر را انتخاب کنید . |
3 | از لیست مطالعه ، مطالعه 1: ارزش ویژه برای شرایط اولیه ، ارزش ویژه را انتخاب کنید . |
تعداد اتم ها را از 1 تا 1 میلیون جارو کنید.
4 | برای گسترش بخش Study Extensions کلیک کنید . کادر بررسی جارو کمکی را انتخاب کنید . |
5 |  روی افزودن کلیک کنید . |
6 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام پارامتر | لیست مقادیر پارامتر | واحد پارامتر |
N0 (تعداد اتم ها) | 1 100 1e4 1e6 |
7 | در پنجره Model Builder ، روی Study 2 کلیک کنید . |
8 | در پنجره تنظیمات برای مطالعه ، Study 2: Stationary for Condensate را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
9 | در نوار ابزار صفحه اصلی ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نمودار پیش فرض تابع موج حالت پایه میعان را با 1 میلیون اتم نشان می دهد.
ما می توانیم این نتیجه را با تقریب توماس-فرمی مقایسه کنیم.
نتایج
با تقریب توماس-فرمی مقایسه کنید
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، Compare with Thomas-Fermi Approximation را در قسمت نوشتار Label تایپ کنید . |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 2: ثابت برای میعانات/محلول 2 (sol2) را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (N0) ، گزینه Last را انتخاب کنید . |
5 | برای گسترش بخش عنوان کلیک کنید . از لیست نوع عنوان ، دستی را انتخاب کنید . |
6 | در ناحیه متن عنوان ، چگالی احتمال محاسبه شده را با تقریب توماس-فرمی در جهت محوری و شعاعی مقایسه کنید . |
7 | قسمت Plot Settings را پیدا کنید . |
8 | چک باکس x-axis label را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، فاصله از مرکز میعان (um) را تایپ کنید . |
9 | کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، تراکم احتمال (1/um<sup>3</sup>) را تایپ کنید . |
نمودار خطی 1
1 | بر روی Compare with Thomas – Fermi Approximation کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرزهای 1 و 2 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متن Expression ، schr.Pr را تایپ کنید . |
5 | در قسمت Unit ، 1/um^3 را تایپ کنید . |
6 | چک باکس Description را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، axial را تایپ کنید . |
7 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
8 | در قسمت Expression text، z را تایپ کنید . |
9 | برای گسترش بخش Legends کلیک کنید . تیک Show legends را انتخاب کنید . |
10 | زیربخش Include را پیدا کنید . چک باکس Description را انتخاب کنید . |
نمودار خط 2
1 | روی Line Graph 1 کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Expression ، max(0,1-z^2/Rz0^2)*rho0/N0 را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن توضیحات ، axial TF را تایپ کنید . |
5 | برای گسترش بخش Coloring and Style کلیک کنید . زیربخش Line style را پیدا کنید . از لیست Line ، Dashed را انتخاب کنید . |
نمایه چگالی ذرات در امتداد محور z به خوبی با آنچه از تقریب توماس-فرمی منطبق است مطابقت دارد.
برای رسم نمایه در امتداد محور r ، ابتدا یک مجموعه داده ایجاد کنید تا به جهت منفی گسترش یابد.
آینه 2 بعدی 1
1 | در نوار ابزار نتایج ، روی  More Datasets کلیک کنید و Mirror 2D را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Mirror 2D ، بخش Data را پیدا کنید . |
3 | از فهرست مجموعه داده ، مطالعه 2: ثابت برای میعانات/محلول 2 (sol2) را انتخاب کنید . |
Cut Line 2D 1
1 | در نوار ابزار نتایج ، بر روی  Cut Line 2D کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Cut Line 2D ، قسمت Data را پیدا کنید . |
3 | از لیست Dataset ، Mirror 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | قسمت Line Data را پیدا کنید . کادر بررسی نقاط محدود شده را پاک کنید . |
نمودار خط 3
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش Results>Compare with Thomas – Fermi Approximation روی Line Graph 1 کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از لیست Dataset ، Cut Line 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (N0) ، گزینه Last را انتخاب کنید . |
5 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن توضیحات ، radial را تایپ کنید . |
6 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، cln1x را تایپ کنید . |
نمودار خطی 4
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش Results>Compare with Thomas – Fermi Approximation روی Line Graph 2 کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، بخش داده را پیدا کنید . |
3 | از لیست Dataset ، Cut Line 2D 1 را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (N0) ، گزینه Last را انتخاب کنید . |
5 | قسمت y-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، max(0,1-r^2/Rr0^2)*rho0/N0 را تایپ کنید . |
6 | در قسمت متن توضیحات ، radial TF را تایپ کنید . |
7 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . در قسمت متن Expression ، cln1x را تایپ کنید . |
8 | در نوار ابزار Compare with Thomas – Fermi Approximation ، روی  Plot کلیک کنید . |
یک نمودار ترکیبی برای خلاصه کردن تابع موج حالت پایه و پتانسیل کل ایجاد کنید.
خلاصه داستان
1 | در پنجره Model Builder ، روی Wave Function (schr) کلیک راست کرده و Duplicate را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح دوبعدی ، در قسمت نوشتار برچسب ، Summary Plot را تایپ کنید . |
قسمت خیالی
1 | در پنجره Model Builder گره Summary Plot را گسترش دهید . |
2 | روی Results>Summary Plot>Imaginary Part کلیک راست کرده و Delete را انتخاب کنید . |
سطح 1
1 | در پنجره Model Builder ، گره Results>Potential Energy (schr) 1 را گسترش دهید . |
2 | روی Surface 1 کلیک راست کرده و Copy را انتخاب کنید . |
سطح 1
1 | در پنجره Model Builder ، روی Summary Plot کلیک راست کرده و Paste Surface را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Surface ، بخش Coloring and Style را پیدا کنید . |
3 | از لیست Coloring ، Uniform را انتخاب کنید . |
4 | از لیست رنگ ، خاکستری را انتخاب کنید . |
5 | در نوار ابزار Summary Plot ، روی  Plot کلیک کنید . |
کف صاف پتانسیل کل نشانه دیگری از توافق با تقریب توماس-فرمی است.
در نهایت برای مطالعه 1، گره های اضافی اضافه شده برای مطالعه 2 را غیرفعال کنید تا در آینده بتوانید مطالعه 1 را با تنظیمات مورد نظرش دوباره محاسبه کنید.
مطالعه 1: مقدار ویژه برای شرایط اولیه
مرحله 1: مقدار ویژه
1 | در پنجره Model Builder ، در مطالعه 1: مقدار ویژه برای شرایط اولیه ، روی Step 1: Eigenvalue کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای مقدار ویژه ، قسمت Physics and Variables Selection را پیدا کنید . |
3 | تیک Modify model configuration for study step را انتخاب کنید . |
4 | در درخت، جزء 1 (comp1)> معادله شرودینگر (schr)> انرژی تعامل را انتخاب کنید . |
5 |  روی Disable کلیک کنید . |
6 | در درخت، جزء 1 (comp1)> معادله شرودینگر (schr)> معادلات جهانی 1 را انتخاب کنید . |
7 |  روی Disable کلیک کنید . |
8 | در درخت، جزء 1 (comp1)> معادله شرودینگر (schr)> مقادیر اولیه 2 را انتخاب کنید . |
9 |  روی Disable کلیک کنید . |
