 |
جریان مولکولی از طریق میکروکاپیلاری
معرفی
محاسبه جریان های مولکولی در هندسه های دلخواه معادلات انتگرال پیچیده ای را تولید می کند که محاسبه تحلیلی آنها بسیار دشوار است. بنابراین راه حل های تحلیلی فقط برای هندسه های ساده در دسترس هستند. یکی از اولین مشکلات حل شده، جریان گاز از طریق لوله های با طول دلخواه بود، که برای اولین بار توسط Clausing به درستی درمان شد ( مراجعه 1 ). بعداً عبارات انتگرالی که او استخراج کرد توسط کول با دقت بیشتری محاسبه شد ( مرجع 2 ). این نویسندگان مقادیری را برای احتمال انتقال مولکول‌ها بر روی لوله‌ای با طول دلخواه، که مستقل از فشار است، استخراج کردند، مشروط بر اینکه عدد نادسن بسیار بیشتر از یک باشد (که در رژیم جریان مولکولی است).
این مدل از COMSOL Multiphysics برای محاسبه احتمال انتقال برای جریان مولکولی مولکول ها از طریق یک میکروکاپیلاری با نسبت های مختلف طول به شعاع استفاده می کند. نتایج با راه حل دقیق کول مقایسه می شوند ( مرجع 2 ).
تعریف مدل
گاز نیتروژن از طریق یک لوله ریز مویرگ با قطر 200 میکرومتر ، از یک مخزن با فشار ثابت 10-3 mBar به یک مخزن در خلاء بالا جریان می یابد. شار مولکول هایی که از انتهای خلاء بالا وارد لوله می شوند ناچیز فرض می شود. در این فشار میانگین مسیر آزاد نیتروژن تقریباً 100 میلی متر است، بنابراین عدد نادسن جریان بسیار بیشتر از 1 است. نسبت شار مولکول های وارد شده به لوله به شار مولکول های خروجی از لوله برای لوله محاسبه می شود. طول های 0.4 میلی متر، 0.8 میلی متر، 1.2 میلی متر، 1.6 میلی متر و 2.0 میلی متر. این مدل به صورت محوری متقارن است و در رابط متقارن محوری دو بعدی ساخته شده است. هندسه در شکل 1 نشان داده شده استبرای مورد لوله 2.0 میلی متری. مرز پایینی در خلاء کم به مخزن وصل می‌شود، مرز بالایی با خلاء زیاد به مخزن و مرز عمودی غیرمحوری دیواره مویرگی است.
شکل 1: هندسه مدل.
احتمال χ مولکول هایی که به لوله عبوری از لوله برخورد می کنند را می توان به صورت انتگرال زیر محاسبه کرد:
که در آن J شار خروجی، G شار فرودی، r فاصله شعاعی، RS مرز مجاور مخزن و HV مرز مجاور خلاء زیاد است.
نتایج و بحث
شار فرودی روی سطوح لوله در شکل 2 برای لوله 2 میلی متری نشان داده شده است. نمودار خطی فشار در امتداد دیوار در شکل 3 نشان داده شده است . همانطور که انتظار می رود، شار فرودی به طور پیوسته از انتهای مخزن تا انتها در خلاء بالا کاهش می یابد، همانطور که فشار نیز کاهش می یابد. توجه داشته باشید که شار فرودی (برخلاف شار ساطع شده) در امتداد مرزهای دو مخزن ثابت نیست، زیرا از بازتاب های داخل هندسه ناشی می شود. احتمال انتقال برای لوله بر اساس نسبت طول به شعاع در شکل 4 ترسیم شده است . توافق خوبی بین نتایج محاسبه شده و احتمالات محاسبه شده توسط کول به دست می آید ( مرجع 2 ).
شکل 2: شار فرودی داخل لوله.
شکل 3: فشار در امتداد دیواره لوله.
شکل 4: احتمال انتقال برای لوله به عنوان تابعی از نسبت طول به شعاع. نتایج حاصل از کول ( مرجع 2 ) برای مقایسه نشان داده شده است.
منابع
1. P. Clausing، “در مورد جریان گازهای بسیار رقیق از طریق لوله های هر طول”، Ann. فیزیک ، جلد. 404، شماره 8، صفحات 961-989، 1932. ترجمه انگلیسی موجود به عنوان: “The Flow of Highly Rarefied Gases Through Tubes of Arbitrary Length”, J. Vacuum Science and Technology , vol. 8. شماره 5، صفحات 636-646، 2009.
2. RJ Cole، “اصول متغیر تکمیلی برای نرخ جریان Knudsen”، IMA J. Appl. ریاضی. ، جلد 20، صص 107-115، 1977.
نکاتی درباره پیاده سازی COMSOL
راه اندازی این مدل با استفاده از رابط جریان مولکولی ساده است. دیواره های مویرگی شرایط مرزی دیوار، شرایط مرزی مخزن برای دهانه پایین و دهانه بالایی شرایط مرزی خلاء کل اختصاص داده می شود. هندسه پارامتری شده است و یک حل کننده پارامتری برای تغییر ابعاد مویرگی استفاده می شود.
مسیر کتابخانه برنامه: Molecular_Flow_Module/Benchmarks/vacuum_capillary
دستورالعمل مدلسازی
از منوی File ، New را انتخاب کنید .
جدید
در پنجره جدید ، روی 
Model Wizard کلیک کنید .
Model Wizard کلیک کنید .مدل جادوگر
1 | در پنجره Model Wizard ، روی  2D Axismetric کلیک کنید . |
2 | در درخت Select Physics ، Fluid Flow> Rarefied Flow>Free Molecular Flow (fmf) را انتخاب کنید . |
3 | روی افزودن کلیک کنید . |
4 |  روی مطالعه کلیک کنید . |
5 | در درخت انتخاب مطالعه ، General Studies>Stationary را انتخاب کنید . |
6 |  روی Done کلیک کنید . |
تعاریف جهانی
پارامترهای 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Global Definitions روی Parameters 1 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای پارامترها ، بخش پارامترها را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
نام | اصطلاح | ارزش | شرح |
ال سی | 2[mm] | 0.002 متر | طول مویرگی |
Rc | 0.2[mm] | 2E-4 متر | شعاع مویرگی |
p0 | 1e-3[mbar] | 0.1 Pa | فشار مخزن |
هندسه 1
مستطیل 1 (r1)
1 | در نوار ابزار Geometry ، روی  Rectangle کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای Rectangle ، بخش Size and Shape را پیدا کنید . |
3 | در قسمت متن Width ، Rc را تایپ کنید . |
4 | در قسمت متن ارتفاع ، Lc را تایپ کنید . |
5 |  روی Build All Objects کلیک کنید . |
6 |  روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
جریان مولکولی آزاد (FMF)
شرایط مرزی ورودی و خروجی لوله را تنظیم کنید.
خلاء کل 1
1 | در پنجره Model Builder ، در قسمت Component 1 (comp1) روی Free Molecular Flow (fmf) کلیک راست کرده و Total Vacuum را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 3 را انتخاب کنید. |
مخزن 1
1 | در نوار ابزار Physics ، روی  Boundaries کلیک کنید و Reservoir را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 2 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای Reservoir ، بخش Reservoir را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متن p 0,G ، p0 را تایپ کنید . |
تعاریف
یک تابع درونیابی برای حل کول برای احتمال انتقال به عنوان تابعی از نسبت طول به شعاع تعریف کنید. بعداً از آن برای مقایسه با نتیجه مدل استفاده خواهید کرد.
درون یابی 1 (int1)
1 | در نوار ابزار Home ، روی  Functions کلیک کنید و Local>Interpolation را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای درون یابی ، قسمت Definition را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
تی | F(T) |
2 | 0.5142 |
4 | 0.3566 |
6 | 0.2755 |
8 | 0.2253 |
10 | 0.1910 |
جفت‌های غیرمحلی یکپارچه‌سازی را برای محاسبه شار کل مولکول‌ها در سیستم تنظیم کنید.
ادغام 1 (در اول)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Nonlocal Couplings کلیک کرده و Integration را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای ادغام ، بخش انتخاب منبع را پیدا کنید . |
3 | از لیست سطح نهاد هندسی ، Boundary را انتخاب کنید . |
4 | فقط مرز 2 را انتخاب کنید. |
5 | قسمت Advanced را پیدا کنید . چک باکس Compute integral in revolved geometry را پاک کنید . |
ادغام 2 (intop2)
1 | در نوار ابزار تعاریف ، روی  Nonlocal Couplings کلیک کرده و Integration را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای ادغام ، بخش انتخاب منبع را پیدا کنید . |
3 | از لیست سطح نهاد هندسی ، Boundary را انتخاب کنید . |
4 | فقط مرز 3 را انتخاب کنید. |
5 | قسمت Advanced را پیدا کنید . چک باکس Compute integral in revolved geometry را پاک کنید . |
برای این هندسه ساده از مش نگاشت شده استفاده کنید.
مش 1
نقشه برداری 1
در نوار ابزار Mesh ، روی Mapped کلیک کنید .
Mapped کلیک کنید .توزیع 1
1 | روی Mapped 1 کلیک راست کرده و Distribution را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرزهای 2 و 3 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای توزیع ، بخش توزیع را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متنی Number of Elements عدد 15 را تایپ کنید . |
توزیع 2
1 | در پنجره Model Builder ، روی Mapped 1 کلیک راست کرده و Distribution را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرزهای 1 و 4 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای توزیع ، بخش توزیع را پیدا کنید . |
4 | در قسمت متنی Number of Elements عدد 60 را تایپ کنید . |
5 |  روی ساخت همه کلیک کنید . |
یک جارو پارامتریک روی طول مویرگ تنظیم کنید.
مطالعه 1
جارو پارامتریک
1 | در نوار ابزار مطالعه ، روی  پارامتر Sweep کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جابجایی پارامتری ، بخش تنظیمات مطالعه را پیدا کنید . |
3 |  روی افزودن کلیک کنید . |
4 | از لیست موجود در ستون نام پارامتر ، Lc (طول مویرگی) را انتخاب کنید . |
5 |  روی Range کلیک کنید . |
6 | در کادر محاوره‌ای Range ، 0.4[mm] را در قسمت متن شروع تایپ کنید . |
7 | در قسمت متن توقف ، 2[mm] را تایپ کنید . |
8 | در قسمت متن Step ، 0.4[mm] را تایپ کنید . |
9 | روی افزودن کلیک کنید . |
10 | در نوار ابزار مطالعه ،  روی محاسبه کلیک کنید . |
نتایج
شار مولکولی اتفاقی (fmf)
1 | در پنجره Settings for 2D Plot Group ، بخش Data را پیدا کنید . |
2 | از لیست مقدار پارامتر (Lc (m)) ، 4E-4 را انتخاب کنید . |
3 | در نوار ابزار Incident Molecular Flux (fmf) ، روی  Plot کلیک کنید . |
4 |  روی دکمه Zoom Extents در نوار ابزار Graphics کلیک کنید . |
نمودار پیش فرض شار مولکولی فرودی را در داخل لوله میکروکاپیلاری نشان می دهد. با نمودار در شکل 2 مقایسه کنید .
با دنبال کردن این مراحل، فشار را در امتداد دیواره لوله رسم کنید.
فشار کل
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، فشار کل را در قسمت نوشتار برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت Data را پیدا کنید . از لیست مجموعه داده ، مطالعه 1/ راه حل های پارامتریک 1 (sol2) را انتخاب کنید . |
4 | از لیست انتخاب پارامتر (Lc) ، First را انتخاب کنید . |
نمودار خطی 1
1 | روی Total Pressure کلیک راست کرده و Line Graph را انتخاب کنید . |
2 | فقط مرز 4 را انتخاب کنید. |
3 | در پنجره تنظیمات برای نمودار خط ، روی Replace Expression در گوشه سمت راست بالای بخش y-Axis Data کلیک کنید . از منو، Component 1 (comp1)>Free Molecular Flow>Pressure>fmf.ptot – Total Press – Pa را انتخاب کنید . |
4 | برای گسترش بخش کیفیت کلیک کنید . از لیست Resolution ، بدون پالایش را انتخاب کنید . |
از مختصات z برای داده های محور x استفاده کنید .
5 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
6 | در قسمت Expression text، z را تایپ کنید . |
7 | در نوار ابزار فشار کل ، روی  Plot کلیک کنید . |
نمودار حاصل را با نمودار 3 مقایسه کنید .
در نهایت، نتیجه را برای احتمال انتقال در مقابل نسبت طول به شعاع رسم کنید و با حل کول مقایسه کنید.
گروه طرح 1 بعدی 5
1 | در نوار ابزار صفحه اصلی ، روی  Add Plot Group کلیک کنید و 1D Plot Group را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره Settings for 1D Plot Group ، بخش Data را پیدا کنید . |
3 | از لیست مجموعه داده ، مطالعه 1/ راه حل های پارامتریک 1 (sol2) را انتخاب کنید . |
جهانی 1
1 | روی 1D Plot Group 5 کلیک راست کرده و Global را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جهانی ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
اصطلاح | واحد | شرح |
intop2(2*pi*r*G)/intop1(2*pi*r*fmf.J_G) | احتمال انتقال محاسبه شده |
4 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
5 | در قسمت متن Expression ، Lc/Rc را تایپ کنید . |
احتمال انتقال
1 | در پنجره Model Builder ، در بخش Results روی 1D Plot Group 5 کلیک کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای گروه طرح 1 بعدی ، احتمال انتقال را در قسمت متن برچسب تایپ کنید . |
3 | قسمت Plot Settings را پیدا کنید . |
4 | چک باکس x-axis label را انتخاب کنید . در قسمت متن مرتبط، طول/شعاع را تایپ کنید . |
5 | کادر بررسی برچسب محور y را انتخاب کنید . در فیلد متن مرتبط، Transmission probability را تایپ کنید . |
جهانی 2
1 | بر روی Transmission Probability کلیک راست کرده و Global را انتخاب کنید . |
2 | در پنجره تنظیمات برای جهانی ، بخش y-Axis Data را پیدا کنید . |
3 | در جدول تنظیمات زیر را وارد کنید: |
اصطلاح | واحد | شرح |
int1 (Lc/Rc) | نتیجه به دلیل کول است |
4 | قسمت x-Axis Data را پیدا کنید . از لیست Parameter ، Expression را انتخاب کنید . |
5 | در قسمت متن Expression ، Lc/Rc را تایپ کنید . |
سبک نمودار را تغییر دهید تا فقط نقاط داده نمایش داده شود.
6 | برای گسترش بخش Coloring and Style کلیک کنید . زیربخش Line style را پیدا کنید . از لیست Line ، هیچکدام را انتخاب کنید . |
7 | زیربخش نشانگرهای خط را پیدا کنید . از لیست نشانگر ، مربع را انتخاب کنید . |
احتمال انتقال
1 | در پنجره Model Builder ، روی Transmission Probability کلیک کنید . |
2 | در نوار ابزار احتمال انتقال ، روی  Plot کلیک کنید . |
با شکل 4 مقایسه کنید .
