چگونه توابع را بدون دانستن محدودیت های انتگرال ادغام کنیم

همه ما می دانیم که COMSOL Multiphysics می تواند مشتقات جزئی بگیرد. از این گذشته، معادلات دیفرانسیل جزئی را از طریق روش اجزای محدود حل می کند . آیا می دانستید که می توانید انتگرال را نیز حل کنید؟ این به تنهایی نباید خیلی تعجب آور باشد، زیرا حل مسائل اجزای محدود مستلزم ادغام توابع است. معماری نرم افزار COMSOL به شما امکان می دهد کمی بیشتر از ارزیابی یک انتگرال انجام دهید. شما همچنین می توانید مشکلاتی را حل کنید که محدودیت های انتگرال را نمی دانید! در اینجا چگونه است.

یکپارچه سازی یک تابع

مسئله گرفتن انتگرال یک تابع درجه دوم را در نظر بگیرید:

انتگرال مساحت ناحیه سایه دار است .

ما می‌توانیم این انتگرال را در COMSOL Multiphysics با استفاده از تابع integrate ارزیابی کنیم که دارای نحو است: integrate(u^2,u,0,2,1e-3). در اینجا، اولین آرگومان عبارت است، دومی متغیری است که باید روی آن ادغام شود، آرگومان های سوم و چهارم محدودیت های یکپارچه سازی هستند، و آرگومان پنجم اختیاری، تحمل نسبی انتگرال است که باید بین 0 و 1 باشد. اگر آرگومان پنجم حذف شود، از مقدار پیش فرض 1e-3 استفاده می شود. ما می‌توانیم این تابع را در هر جایی از تنظیمات مدل فراخوانی کنیم.

در اینجا، ما از آن در رابط معادلات جهانی استفاده خواهیم کرد :

معادله جهانی برای انتگرال انتگرال بین حدود مشخص شده را محاسبه می کند.

تا اینجا هیچ سورپرایز بزرگی وجود ندارد. ما می توانیم این مشکل را در COMSOL Multiphysics یا با دست حل کنیم. اما فرض کنید مشکل را کمی برگردانیم. اگر بدانیم انتگرال باید چه چیزی را ارزیابی کند، اما حد بالای انتگرال را ندانیم چه؟

بیایید به نحوه حل مشکل زیر برای حد بالایی نگاه کنیم،:

ما می توانیم این را با تغییر معادله جهانی به گونه ای حل کنیم که حد بالایی انتگرال را حل کند:

معادله جهانی برای u_b حد بالایی بازه ای را که انتگرال برای آن 6 ارزیابی می کند، حل می کند.

چند تغییر در معادله جهانی بالا وجود دارد. متغیر به u_b تغییر می کند و عبارتی که باید برابر با صفر باشد تبدیل به: 6-integrate(u^2,u,0,u_b) می شود. بنابراین، نرم افزار مقداری برای u_b پیدا می کند که انتگرال برابر با مقدار مشخص شده باشد.

توجه داشته باشید که مقدار اولیه u_b غیر صفر است.

از آنجایی که برای حل این مشکل از روش نیوتن رافسون استفاده می کنیم ، نباید از نقطه ای شروع کنیم که شیب تابع صفر باشد. پس از حل مسئله، متوجه می شویم که u_b = 2.621.

حالا بیایید کارها را کمی پیچیده تر کنیم و مشکل زیر را برای هر دو حد فاصله حل کنیم.و:

از آنجایی که ما دو مجهول داریم، به وضوح نیاز داریم که یک معادله دیگر در اینجا داشته باشیم، بنابراین بیایید علاوه بر این بگوییم که

یک معادله اضافی برای مشخص کردن تفاوت بین حد بالایی و پایینی بازه اضافه می شود.

حل مدلی که در بالا نشان داده شده است، مقادیر u_a = 1.932 و u_b = 2.932 را به ما می دهد. در واقع می توان با نوشتن معادله 6-integrate(u^2,u,u_b-1,u_b) این را با یک معادله جهانی حل کرد، اما جالب است که ببینیم می توانیم حل چندین معادله به طور همزمان

مثالی از انتقال حرارت

در مرحله بعد، بیایید تکنیک بالا را برای تعیین شرایط عملکرد یک مبدل حرارتی عملی کنیم. نمونه کتابخانه مدل از گرمایش زمین گرمایی آب در گردش از طریق شبکه ای از لوله های غوطه ور در یک حوض را در نظر بگیرید .

آب پمپاژ شده از طریق شبکه لوله های غوطه ور گرم می شود.

در این مثال، ماژول جریان لوله برای مدل سازی آب در دمای 5 درجه سانتی گراد (278.15 کلوین) استفاده می شود که به شبکه ای از لوله ها پمپ می شود و توسط آب نسبتاً گرمتر در حوضچه گرم می شود. دمای آب در حوضچه بین 10 تا 20 درجه سانتی گراد با عمق متغیر است. دمای محاسبه شده در خروجی 11.1 درجه سانتی گراد (284.25 K) است. اگر دبی جرمی آب 4 کیلوگرم بر ثانیه باشد، کل گرمای جذب شده برابر است با:

جایی کهدبی جرمی است وگرمای ویژه است که به دما بستگی دارد.

اکنون، در واقع، شبکه لوله‌هایی که در اینجا داریم یک سیستم حلقه بسته است، اما ما به سادگی بخشی از سیستم را بین خروجی و ورودی لوله مدل‌سازی نمی‌کنیم. این مدل شامل یک فرض ضمنی است که با پمپاژ آب از خروجی به ورودی، دقیقاً تا دمای 5 درجه سانتیگراد خنک می شود.

بنابراین، به جای اینکه دمای آب ورودی به لوله را دمای ثابتی فرض کنیم، بیایید این سیستم حلقه بسته را متصل به مبدل حرارتی دیگری در نظر بگیریم که مقدار مشخصی گرما را حذف می کند. فرض کنید که این مبدل حرارتی فقط می تواند 10 کیلو وات را استخراج کند. دمای آب لوله ها چقدر خواهد بود؟

واضح است که اولین قدم در اینجا نوشتن انتگرال برای گرمای استخراج شده، بر حسب حدود ناشناخته است.و:

شرط دومی که باید لحاظ کنیم، رابطه بین دمای ورودی و خروجی است. این توسط مدل المان محدود موجود ما محاسبه می شود. این مدل از شرایط مرزی دمای ثابت در ورودی لوله استفاده می کند و دما را در طول کل لوله محاسبه می کند. بنابراین، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که یک معادله جهانی را به مدل موجود خود اضافه کنیم تا دمای ورودی (در ابتدا ناشناخته) T_in را بر حسب گرمای استخراج شده و اختلاف دما بین ورودی و خروجی محاسبه کنیم.

معادله جهانی که کل گرمای استخراج شده از حلقه حوض را مشخص می کند.

بیایید به معادله T_in، دمای ورودی به مدل جریان لوله، با جزئیات نگاه کنیم:

10[kW]-integrate(4[kg/s]*mat1.def.Cp,T,T_in,T_out)

با شروع از سمت راست، T_out دمای خروجی محاسبه شده است. این در معادله جهانی از طریق استفاده از اپراتور اتصال یکپارچه، تعریف شده در نقطه خروجی شبکه جریان در دسترس است. یعنی T_out=intop1(T) که به عنوان یک متغیر سراسری در تعاریف کامپوننت تعریف می شود.

T_in دمای ورودی به شبکه لوله است که مقداری است که می خواهیم محاسبه کنیم. T متغیر دما است که در تعاریف مواد استفاده می شود. و mat1.def.Cp عبارتی است برای گرمای ویژه وابسته به دما که در شاخه مواد تعریف شده است.

راه حل حلقه بسته 10 کیلو وات در این نقطه عملیاتی استخراج می شود. توجه داشته باشید که چگونه آب در داخل حوضچه تحت این شرایط عملیاتی گرم و سرد می شود.

سخنان پایانی

از تکنیک‌هایی که در اینجا بیان کردیم، می‌توانید ببینید که نه تنها می‌توانید یک انتگرال بگیرید، بلکه می‌توانید محدودیت‌های آن ادغام را حل کنید و این معادله را بخشی از بقیه مدل خود کنید. مثال ارائه شده در اینجا یک مبدل حرارتی را در نظر می گیرد. فکر می کنید کجا می توانید از این تکنیک قدرتمند استفاده کنید؟