پیاده سازی فرم ضعیف در مولتی فیزیک COMSOL

این پست وبلاگ بخشی از مجموعه ای با هدف معرفی فرم ضعیف با حداقل پیش نیاز است. در اولین پست وبلاگ ، با مفاهیم اولیه فرمول ضعیف آشنا شدیم. تمامی معادلات به صورت تحلیلی باقی ماندند. امروز با استفاده از نرم افزار شبیه سازی COMSOL Multiphysics معادلات را به صورت عددی پیاده سازی و حل می کنیم. به شما توصیه می شود که مراحل را با یک نسخه کارآمد از نرم افزار COMSOL دنبال کنید.

جمع بندی ایده های اساسی

به یاد بیاورید که در ورودی قبلی ، ما یک مثال ساده از انتقال حرارت 1 بعدی در حالت پایدار و بدون منبع گرما را مطالعه کردیم، جایی که دماتابعی از موقعیت استدر دامنه تعریف شده توسط بازه.

فرمول ضعیف معادله دیفرانسیل فیزیک انتقال حرارت را به یک معادله انتگرال با یک تابع تست تبدیل می کند.به عنوان یک تابع نمونه برداری موضعی در داخل انتگرال برای گیرکردن محلول. ادغام فرم ضعیف توسط قطعات، مزیت عددی کاهش نظم تمایز را فراهم می کند. همچنین یک روش طبیعی برای مشخص کردن شرایط مرزی از نظر شار گرما ارائه می‌کند. برای شرایط مرزی ثابت، از نظر دما، فرمول ضعیف از مکانیزم یکسانی از توابع آزمایشی و شرایط مرزی طبیعی خود برای ساخت اصطلاحات اضافی در سیستم معادلات استفاده می‌کند.

در پایان به یک معادله مثالی رسیدیم که به شکل زیر است:

(1)

در اینجا، انتگرال در سمت چپ فقط مشتق اول دما را شامل می شود، اولین عبارت در سمت راست تعریف می کند که شار خروجی باید 2 در مرز چپ باشد (، و دو عبارت دیگر در سمت راست با هم مشخص می کنند که دما باید 9 در مرز سمت راست باشد ().

فرم ضعیف رابط PDE

برای اجرای معادله (1) در COMSOL Multiphysics ، ما از Model Wizard برای ایجاد یک مدل 1 بعدی جدید با یک رابط PDE با فرم ضعیف (w) و یک مطالعه Stationary استفاده می کنیم. متغیر وابسته را می توان برای مطابقت با نماد در معادله ما تنظیم کرد. برای هندسه، فاصله‌ای بین 1 و 5 ایجاد می‌کنیم. عبارت ضعیف زیر گره پیش‌فرض «شکل ضعیف PDE 1» می‌گوید:، که در آن عبارت اول با انتگرال در معادله ما مطابقت دارد. (1) و عبارت دوم مربوط به منبع گرمایی است که در مثال ساده ما نیست و باید از قسمت ورودی حذف شود.T-test(Tx)*Tx+1[m^-2]*test(T)

عبارت ضعیف اکنون می‌خواند:، نماد COMSOL Multiphysics برای -test(Tx)*TxکجاستTxاولین مشتق دما و test(Tx)اولین مشتق تابع تست است. علامت منفی از این قرارداد ناشی می شود که فیلد ورودی فرض می کند که عبارت در سمت راست علامت مساوی است (همانطور که در بخش “معادله” پنجره تنظیمات مشاهده می شود)، در حالی که انتگرال در معادله ما روی سمت چپ.

ویژگی مشارکت ضعیف

برای پیاده سازی اصطلاحات فرم ضعیف در سمت راست معادله. (1) برای شرایط مرزی، روی گره Weak Form PDE (w) راست کلیک کنید . می بینیم که ویژگی های مرزی داخلی مانند آیتم Dirichlet Boundary Condition وجود دارد که برای راحتی شما در منوی پاپ آپ موجود است. با این حال، از آنجایی که در اینجا ما خودمان علاقه مندیم معادله را وارد کنیم، ماوس را روی آیتم More در منوی پاپ آپ قرار می دهیم و در منوی پاپ آپ بعدی روی مورد Weak Contribution کلیک می کنیم.

در پنجره تنظیمات برای گره “کمک مالی 1” در زیر انتخاب مرز ، مرز 1 را در انتهای سمت چپ دامنه انتخاب می کنیم (در). سپس عبارت ضعیف را به صورت: -2*test(T)زیر قسمت Weak Contribution در همان پنجره تنظیمات وارد می کنیم. این عبارت از اولین عبارت در سمت راست معادله مراقبت می کند. (1) ، که شار خروجی را 2 در مرز مشخص می کند.

وضعیت مرزی ثابت

برای شرایط مرزی ثابت در، که در آن دو عبارت آخر در سمت راست معادله. (1) با هم مشخص کنید که، یک گره دیگر “Weak Contribution” در مرز 2 در انتهای سمت راست دامنه و یک زیرگره متغیر وابسته کمکی در زیر آن ایجاد می کنیم.

lambda2نام متغیر Field را در زیرگره وارد می کنیم و سپس عبارت ضعیف را به عنوان دو عبارت در معادله وارد می کنیم. (1) :-lambda2*test(T)-test(lambda2)*(T-9)

گسسته سازی

نرم افزار COMSOL دامنه را با ایجاد یک مش گسسته می کند. بیایید روی گره Mesh 1 کلیک راست کرده و Edge را انتخاب کرده و سپس روی Edge 1 راست کلیک کرده و توزیع را انتخاب کنید . سپس، «تعداد عناصر» را روی 4 قرار می دهیم و روی Build All کلیک می کنیم . ما عمداً تعداد عناصر را کوچک نگه می‌داریم تا وقتی که بعداً در مورد گسسته‌سازی با جزئیات بیشتر بحث می‌کنیم، آسان‌تر شود.

همچنین، در قسمت Discretization در پنجره تنظیمات گره واسط Weak Form PDE (w) ، “Element order” را روی Linear قرار می دهیم (روی دکمه Show در زیر Model Builder و سپس آیتم Discretization را در منوی پاپ آپ کلیک کنید. برای فعال کردن بخش Discretization ):

حل را در COMSOL Multiphysics محاسبه کنید

حالا ما آماده ایم که روی Compute کلیک کنیم و بررسی کنیم که آیا راه حل منطقی است یا خیر.

این محلول یک خط مستقیم را در دامنه ایجاد می کند که با مشخصات دما در حالت پایدار و بدون منبع گرما سازگار است. شیب خط 2 است که با شرایط مرزی که شار خروجی 2 است مطابقت دارد.. دما 9 درجه است، همانطور که توسط شرط مرزی ثابت مشخص شده است. از آنجایی که هیچ منبع گرمایی وجود ندارد، کل شار گرمایی که از دامنه خارج می شود باید در حالت پایدار به صفر برسد. بنابراین، شار خروجی باید -2 در باشد.

lambda2همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است، ما به راحتی این را با ارزیابی نقطه ای متغیر شار حرارتی تأیید می کنیم :

lambda2برخی از خوانندگان ممکن است تعجب کنند که آیا حل برای متغیر کمکی ، به اصطلاح ضریب لاگرانژ ، همیشه ضروری است ، به خصوص اگر برای مدل ساز نیاز نباشد و حل آن ناگزیر به محاسبات بیشتری نیاز دارد. همانطور که در پست های بعدی خواهیم دید، COMSOL Multiphysics ویژگی های جایگزینی را ارائه می دهد و به کاربر اجازه می دهد تصمیم بگیرد که آیا برای ضریب لاگرانژ حل کند یا نه.

خلاصه و بعدی

امروز، مفهوم فرمول ضعیف را تازه کردیم و یک معادله شکل ضعیف مثالی (1) را در COMSOL Multiphysics پیاده سازی کردیم. راه حل عددی به دست آمده همانطور که از آرگومان های فیزیکی ساده انتظار می رود رفتار می کند.

در پست‌های وبلاگ آینده، نگاهی به “زیر سرپوش” خواهیم انداخت تا ببینیم چگونه معادلات ضعیف مانند معادله شکل می‌دهند. (1) ، گسسته شده و به صورت عددی حل می شوند. خواهیم دید که چگونه یک مسئله را می توان به روش های مختلف حل کرد و چگونه می توان شرایط مرزی متفاوتی را برای انواع مختلف مسائل تنظیم کرد.

گوش به زنگ باشید!