نحوه شناسایی و حل تکینگی ها در مدل هنگام مش بندی

در پست قبلی ما در ملاحظات مش بندی برای مسائل استاتیک خطی ، متوجه شدیم که در حد پالایش مش، راه حل مدل المان محدود به سمت جواب واقعی همگرا می شود. ما همچنین دیدیم که از اصلاح مش تطبیقی ​​می‌توان برای تولید شبکه‌ای استفاده کرد که عناصر کوچک‌تری در مناطقی که خطا بیشتر است، به جای استفاده از عناصر کوچک‌تر در همه جای مدل استفاده شود. در این پست، چند مشکل رایج در مدل‌سازی اجزای محدود را که در صورت وجود تکینگی در مدل به وجود می‌آیند، بررسی می‌کنیم.

مثالی از مکانیک سازه

بیایید به مشکل یک صفحه مسطح تحت کشش تک محوری با یک سوراخ مربعی در آن نگاه کنیم. این شبیه به مثال قبلی است که می‌توانیم از تقارن استفاده کنیم و فقط یک چهارم ساختار را مدل‌سازی کنیم.

مانند قبل، می‌توانیم از پالایش مش تطبیقی ​​استفاده کنیم تا به COMSOL اجازه دهیم عناصر بیشتری را در مناطقی که خطا تخمین زده می‌شود بزرگ باشد وارد کند:

مشاهده می کنیم که عناصر کوچکتر و کوچکتر در گوشه داخلی سوراخ تیز وارد می شوند. بیایید تنش ها را در این گوشه داخلی به عنوان تابعی از اندازه مش ترسیم کنیم:

از این نمودار، به نظر می‌رسد که تنش‌ها بزرگ‌تر و بزرگ‌تر می‌شوند، مهم نیست که چقدر مش را خوب بسازیم. در واقع، این دقیقاً همان چیزی است که در اینجا رخ می دهد. تنش ها در گوشه تیز نسبت به پالایش مش غیر همگرا هستند زیرا ما یک تکینگی در مدل داریم. این در واقع کاملاً دقیق است – تنش ها در گوشه های تیز از نظر تئوری بی نهایت هستند. هر زمان که این نوع رفتار غیر همگرا را مشاهده کردید، احتمالاً به تجلی یک تکینگی در مدل خود نگاه می کنید.

در تمرینات مهندسی سازه، گوشه های تیز داخل چیزی است که باید از آن اجتناب کرد . اگر بگویید که یکی از راه‌های جلوگیری از این مشکل این است که گوشه‌های تیز مدل را که در آن تکینگی‌ها ظاهر می‌شوند، گرد کنید. انجام این کار منجر به مدلی می‌شود که تنش‌هایی را پیش‌بینی می‌کند که با پالایش مش همگرا می‌شوند، اما همچنان باید عناصر زیادی در این گوشه داخلی داشته باشد. پس بیایید روش های دیگری را برای مقابله با این تکینگی ها معرفی کنیم.

ارزیابی جهانی یک مدل

یک رویکرد برای مقابله با این تکینگی ها نادیده گرفتن آنهاست. یک ویژگی مهم برای درک در مورد روش اجزای محدود این است که امکان عدم دقت محلی را فراهم می کند ، زیرا به گونه ای فرموله شده است که خطای کلی در مدل را به حداقل می رساند. تنش‌هایی که در مدل بالا پیش‌بینی می‌کنیم نادرست هستند، اما اگر تنش‌ها را در فاصله‌ای حدود 2-3 عنصر مش دور از تکینگی ارزیابی کنید، راه‌حل تنش در آنجا همگرا می‌شود. بنابراین، اگر به تنش‌های دور از تکینگی علاقه‌مند باشیم، صرف وجود تکینگی پیش‌بینی‌های جاهای دیگر را آلوده نمی‌کند .

گرفتن مشتق از فیلد حل

همچنین توجه به این نکته مهم است که وقتی مشتق میدان راه حل را می گیرید، تکینگی ها ظاهر می شوند. در مکانیک سازه، میدان جابجایی را حل می کنیم،و تنش های حاصل از کرنش ها را محاسبه کنید،، که در آن کرنش بر حسب گرادیان میدان جابجایی تعریف می شود:. هنگامی که تنش را به عنوان گرادیان میدان جابجایی در نظر می گیرید، همچنین کمی واضح تر می شود که چرا راه حل تنش ها در یک گوشه تیز به بی نهایت می رود. با این حال، اگر فقط به حوزه راه حل علاقه دارید،، این حتی در گوشه تیز منفرد نیست و با اصلاح مش همگرا می شود.

ارزیابی انتگرال حول تکینگی

یک مورد رایج دیگر وجود دارد که یک تکینگی قابل قبول است: اگر شما فقط به یک کمیت انتگرال به عنوان خروجی مدل خود علاقه دارید. به عنوان مثال، کل انرژی کرنش الاستیک سیستمی که از یک ماده خطی تشکیل شده است:

اگر این را برای دامنه‌ای ارزیابی کنیم که دارای تکینگی است، مانند صفحه با سوراخ مربع، این انتگرال به سرعت با اصلاح مش همگرا می‌شود، حتی اگر انتگرال‌ها در نقطه(های) داخل دامنه غیرهمگرا باشند. بنابراین اگر تنها کمیتی که می‌خواهید از آن خارج شوید تابعی از یک انتگرال بر روی یک دامنه (یا مرز) در مدل شما باشد، مدل شما می‌تواند شامل تکینگی‌ها باشد. اگر از گوشه تیز یا گرد استفاده کنید، کمیتی که در حال ادغام هستید به همان مقدار همگرا می شود. این وضعیت به ویژه اغلب در الکترومغناطیسی رخ می دهد، جایی که اندوکتانس و خازن دستگاه هر دو به عنوان انتگرال میدان های الکتریکی و مغناطیسی بر روی حوزه ها ارزیابی می شوند.

اندیشه های پایانی در مورد مش بندی و تکینگی های مدل

به طور خلاصه، سه حالت متداول وجود دارد که وجود یک تکینگی در مدل قابل قبول است:

1. هنگامی که راه حل را در تکینگی ارزیابی نمی کنید، بلکه در فاصله کمی دورتر هستید
2. هنگامی که مشتق راه حل را در تکینگی ارزیابی نمی کنید
3. وقتی انتگرال مقداری از جمله مشتق راه حل را بر روی یک دامنه یا مرز حول تکینگی ارزیابی می کنید.

در این موارد، همگرایی محلول خود را با پالایش مش مشاهده خواهید کرد. با این اوصاف، شما همچنان باید مراقب رفتار غیر همگرا در هر جایی از مدل خود باشید و مطمئن شوید که تفسیر شما از نتایج را منحرف نمی کند.

در نهایت، مواردی وجود دارد که ما نیاز به محاسبه دقیق فیلدها در این تکینگی ها داریم ، اما مدل ما ممکن است آنقدر بزرگ باشد که نخواهیم فیله ها را روی همه این لبه ها قرار دهیم. در چنین مواردی، می‌توانیم از استراتژی به نام مدل‌سازی فرعی یا مدل‌سازی شکسته استفاده کنیم . این رویکرد از یک شبکه نسبتاً درشت برای یافتن میدان راه‌حل در مدل بزرگ‌تری استفاده می‌کند که ممکن است دارای تکینگی باشد، و سپس این اطلاعات را به مدل فرعی که دارای مش بسیار ظریف‌تر و گوشه‌های گرد است، منتقل می‌کند. این رویکرد در مدل فرعی در یک مثال رینگ چرخ ارائه شده است .