ملاحظات مش بندی برای مسائل المان محدود استاتیکی غیرخطی

به‌عنوان بخشی از مجموعه وبلاگ حل‌کننده ، حل مسائل المان محدود استاتیکی غیرخطی، رمپ بار برای بهبود هم‌گرایی مسائل غیرخطی، و شیب‌بندی غیرخطی برای بهبود هم‌گرایی مسائل غیرخطی را مورد بحث قرار داده‌ایم. ما همچنین ملاحظات مش بندی را برای مسائل استاتیکی خطی، و همچنین نحوه شناسایی تکینگی ها و کارهایی که باید در مورد آنها هنگام مش بندی انجام دهیم، معرفی کرده ایم. با تکیه بر این موضوعات، اکنون به چگونگی آماده سازی مش برای حل موثر مسائل اجزای محدود غیرخطی می پردازیم.

خلاصه ای از مسائل استاتیکی خطی و غیرخطی

سه نکته کلیدی وجود دارد که باید از پست وبلاگ در مورد ملاحظات مشبک سازی مسائل استاتیک خطی به خاطر بیاورید . اینها هستند:

1. یک مسئله المان محدود استاتیک خطی، صرف نظر از اندازه مش، همیشه در یک تکرار نیوتن رافسون همگرا می شود.
2. شما همیشه باید تا حد امکان از یک مش درشت شروع کنید و یا به صورت دستی مش را اصلاح کنید یا از اصلاح مش تطبیقی ​​برای حل مش های ظریف تر استفاده کنید.
3. یک مطالعه پالایش مش همیشه باید برای ارزیابی دقت نتایج انجام شود، در حالی که همگرایی به دور از هر گونه تکینگی در مدل نظارت می شود.

هنگام پرداختن به مسائل غیرخطی ، قبلاً آموخته ایم که حتی یک مسئله المان محدود با یک درجه آزادی ممکن است همگرا نشود، حتی برای مسئله ای که راه حل دارد. ما چندین تکنیک را یاد گرفته‌ایم که می‌تواند به این موضوع رسیدگی کند، اما هنوز تعامل مش و حل‌کننده غیرخطی را معرفی نکرده‌ایم.

مش بندی مسائل غیر خطی

تنها مهم ترین نکته ای که باید هنگام مش بندی مسائل غیر خطی در نظر داشت این است:

حتی اگر مسئله به خوبی مطرح شده باشد، و حتی اگر یک روش راه‌حل خوب را انتخاب کرده باشیم، اگر مشکل به اندازه کافی در مناطق غیرخطی قوی مشبک نشود، ممکن است مشکل همچنان همگرا نشود.

برای درک این موضوع، اجازه دهید نگاهی به مسئله المان محدود حرارتی یک بعدی بیندازیم. ما دیواری به ضخامت 1 متر با دمای ثابت در نظر خواهیم گرفتدر یک انتها دردر سمت دیگر، همانطور که در زیر نشان داده شده است:

ما راه حل های این مشکل را برای رسانایی های حرارتی مختلف که در زیر ترسیم شده اند بررسی خواهیم کرد:

اگر جواب حالت خطی را ترسیم کنیم،، ما گرفتیم:

با بررسی می بینیم که راه حل یک خط مستقیم است. برای این مورد، راه حل را می توان با استفاده از یک عنصر خطی در کل دامنه پیدا کرد.

حال، اگر قضیه را طرح ریزی کنیم، با عناصری که با خطوط چین مشخص شده اند، دریافت می کنیم:

می‌توانیم ببینیم که راه‌حل این مسئله غیرخطی به بیش از یک عنصر در سراسر دامنه نیاز دارد. در واقع، صرف نظر از تعداد عناصری که استفاده می کنیم، تابع پایه چند جمله ای هرگز کاملاً با جواب واقعی مطابقت نخواهد داشت. می‌توانیم به‌طور متوالی مش را در همه جای دامنه اصلاح کنیم و به راه‌حل واقعی نزدیک‌تر و نزدیک‌تر شویم، درست همانطور که برای یک مسئله خطی انجام دادیم.

در نهایت، اگر مورد را طرح کنیم، ما گرفتیم:

این راه حل پیچیده تر است. به وضوح مناطقی از راه حل وجود دارد که یک عنصر واحد تقریباً برای توصیف کامل راه حل کافی است. با این حال، مناطقی وجود دارد که راه حل به سرعت به عنوان تابعی از موقعیت تغییر می کند. این مناطق در اطراف هستند، جایی که غیرخطی های قوی در تابع ویژگی ماده وجود دارد. اگرچه تابع ویژگی ماده تنها یک ناحیه غیرخطی قوی نسبت به دما دارد، محلول دو ناحیه را در دامنه نشان می‌دهد که محلول به سرعت در آن تغییر می‌کند. فقط این نواحی در فضا به مش ریزتری نیاز دارند. در واقع، اگر مش در این مناطق خیلی درشت باشد، ممکن است حل کننده اصلاً همگرا نشود.

برای این نوع مشکلات، پالایش مش تطبیقی ​​انگیزه بالایی دارد، زیرا مکان شیب‌ها در حوزه مدل‌سازی عموماً از قبل مشخص نیست. افزایش غیرخطی ها در مدل نیز مفید است، زیرا شروع با یک مسئله خطی منجر به مشکلی می شود که همیشه می تواند بدون توجه به مش حل شود. با افزایش تدریجی غیرخطی بودن، و انجام اصلاح مش تطبیقی ​​به صورت مکرر، امکان بهبود همگرایی مدل برای مسائل غیرخطی وجود دارد.

خلاصه

مش بندی مسائل المان محدود ثابت غیرخطی ذاتاً با مسئله همگرایی یک مدل غیرخطی مرتبط است. نرخ همگرایی، و حتی امکان همگرایی، هم به الگوریتم حل استفاده شده و هم به مش بستگی دارد. تمام تکنیک‌هایی که تا این مرحله ذکر شده‌اند: اصلاح دستی و تطبیقی ​​مش، انتخاب شرایط اولیه، شیب‌بندی بار، شیب‌داری غیرخطی، و هر ترکیبی از این تکنیک‌ها ممکن است با توسعه مدل‌های پیچیده‌تر و بیشتر مورد نیاز باشد. در نهایت، همیشه به خاطر داشته باشید که برای ارزیابی دقت محلول، یک مطالعه پالایش مش مورد نیاز است.

برای مثالی از مدلی که تمام تکنیک‌هایی را که تاکنون در مورد آنها آموخته‌ایم را در بر می‌گیرد، لطفاً مدل خنک‌سازی و انجماد فلز را ببینید . تسلط بر این تکنیک ها به شما امکان می دهد تا به سرعت و کارآمد مسائل غیرخطی را مدل سازی کنید.